1、复变函数复习2005.4.13一、内容复数的定义和代数；复函数的定义和代数；复函数的分析理论：微分和积分；中心：解析性可导性解析函数：定义域中可导函数必要条件：满足柯西黎曼方程积分：柯西定理（积分路径只要不经过奇点，可以连续变形）复函数的泰勒展开（在解析点的展开）复函数的洛朗展开（奇点邻域的展开）技巧：利用泰勒展开留数定理；留数的求法，留数定理求实函数的积分；傅立叶级数；傅立叶积分变换；拉普拉斯变换；复数项级数、复变项级数、幂级数复数的定义和代数复函数的定义和代数复函数的分析理论：微分和积分；解析函数柯西定理泰勒展开洛朗展开留数定理留数的求法求实函数的积分傅立叶变换拉普拉斯变换相互关系柯西公式
2、级数幂级数二、细节1.复数的定义和代数iyxzcossinizei复平面zyx11O2.复函数的定义和代数Ezzf)(E：定义域（复平面上）复函数有关概念邻域内点外点境界点 境界线区域闭区域ivu zeE:3.分析理论导数dfdz可能有方向性！在一点的可导性：导数与方向无关柯西黎曼方程柯西黎曼方程xvyuyvxu调和函数02222yuxu02222yvxv相互共轭：已知一个，可以求出另一个例：22vxxy 求 u选坐标系：22222212uvxxyxyxyyyxxy直角坐标22221222uyxxyxxy22002212()22zzuyu zdxdxxxyxxy？极坐标22cos(1 cos)
3、vxxy 22 sin211,uvvu 111(2sin)cos222uv2sin2(2sin)sin222uv 1cossincos22cos222222uududddddd全微分(2cos)2d0(,)2cos2uu 200(,)(,)(,)2cos2sin222ifuiviueu 0022ieuzu4.柯西定理在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零AB积分路径只要不经过奇点，可以连续变形公式：.,1,021lllSSzdzilndzz,0)(1n柯西公式1()()2lf z dzf aiz 例：求积分22(9)()zdi 2z 圆心在0的圆，-i 在其中22222922(9)()
4、()99 15izzddiiiii 路径的正方向,211kkk5.级数复数项级数收敛、绝对收敛、级数的运算与收敛性有关两个绝对收敛的和，积，仍绝对收敛例：正误：0)61514131211()61514131211()81614121(26151413121161514131211111111111111(1)()()2345623456102(21)nnn方法1方法25.级数复变项级数1111111111112345623456 此级数并不绝对收敛，上述运算无意义！,)()()()(211zzzzkkk收敛、一致收敛、绝对一致收敛例n311)1(3111101714113解01010,0101
5、)(1nnbababadtttdttt0101)1(nnnbadtt010)1(nnbandtnba0)1(nnnba10171411dtt10311231ln32ln31ii?111815121绝对一致收敛幂级数kkkkkzzazzazzaazza)()()()(020201000收敛的达朗贝尔判据绝对收敛1limlim010101zzaazzazzakkkkkkkk收敛圆1limkkkaaRkkkaR1lim例若0kkka z收敛101kkkazk证与它有同样收敛半径10kkkka z证：1lim,kkkaa1,R101kkkazk：11lim/lim,21kkkkkkaaakka10kk
6、kka z：11(1)limlim,kkkkkkkaakaa泰勒展开（在解析点）：,)()(00kkkzzazf.!)()()(21)(1kfdzfiakCkk与实函数展开无技术上区别例：在z=0展开1cosz11cos0在z=0解析待定系数法待定系数法：设01coskkka zz又20(1)cos(2)!kkkzzk为待定系数ka200(1)1(2)!kkkkkka zzk则2461111124!6!kkkkkkkaa za za zzzz1232345012301234567012311112222111114!4!4!4!aa za za za za za za za za za za
7、z12340120314201111()()()12224!aa zaa zaa zaaa z12340120314201111()()()12224!aa zaa zaa zaaa z01a 10a 20102aa31102aa42011024!aaa212a 32110kaaa4201111524!42424aaa2461561cos1224720zzzz 洛朗展开（奇点邻域的展开）技巧：利用泰勒展开kkkzzazf)()(0Ckkdzfia1)()(21例：在的洛朗级数0111111()222212kkziiiziziziziziiiii 001111()1()()222()42kkkk
8、zizif zziiziii6.留数定理.)(Re2)(1lnjjbsfidzzfl1l2l3l1b2b3b留数的计算单极点.)()(lim100azfzzzzm 阶极点1011)()(lim)!1(10azfzzdzdmmmmzz留数1.a例的奇点的类型令11z210(1)sin(21)!kkkk12121001(1)1(1)1sin()()1(21)!1(21)!1kkkkkkzkzkz无穷负幂本性奇点例的留数241()zef zz23441(2)(2)(2)()1(12)2!3!4!zzzf zzz 23441(2)(2)(2)2)2!3!4!zzzzz234321(2)1(2)1(2)
9、22!3!4!zzz 31(2)843!63a 实函数积分类型一ixez dzizdxzzixzzx1),(21sin),(21cos1120)sin,(dxxconxR111)2,2(zizdzizzzzR类型二dxxfI)(RCRRjjjdzzfdxxfzzsfi)()(,)(Re2上半平面R类型三上半平面。jimzljjimzzezsFidzezFmxdxxFj,)(Re)(21cos)(0上半平面。jimzljjimzzezsGdzezGimxdxxGj,)(Re)(21sin)(06.积分变换傅里叶级数基础：周期函数的傅里叶展开扩展奇函数和偶函数有限区间中的函数复数形式.sincos
10、)(10lxkblxkaaxfkkk,sin)(1lxkbxfkk,cos)(10kklxkaaxf奇、偶延拓,)(klxkikecxf展开系数.sin)(1,cos)(1dlkflbdlkflallkllkk.)(21*deflclxkillk三角函数展开复数展开傅里叶积分无限区间x,sin)(cos)()(00 xdBxdAxf11()()cos,()()sin.AfdBfd 时域到频域的变换()().ixf xFeddxexfFxi*)(21)(原函数像函数)()(xfFF)()(1Fxf F基本性质)(1)()(FidxxfxF)()(FixfF)(1)(aFaaxfF)()(00FexxfxiF)()(00FxfexiF)()(2)()(2121FFxfxfF例求xe的傅立叶变换xxee 0011()cossinxxcFexdxe dx020011sinsincosxxxe dxxe dxe dx 022200111coscoscosxxxexxe dxxe dx 2221()()FF 2212(1)()F 22212()F 22()(1)F()2()cFF
