1、第三章 含时间因素的货币等值计算2、复利计息n将本期的利息转为下期的本金，下期将按本利和的总额计息，将本期的利息转为下期的本金，下期将按本利和的总额计息，这种计息方式称为这种计息方式称为复利复利（计息）。（计息）。同样设同样设P P 代表本金，代表本金，n n 代表计息期数，代表计息期数，i 代表利率，代表利率，I I代表所代表所付或所收的总利息，付或所收的总利息，F F 代表本利和，则有：代表本利和，则有：F=P(1+i)n I=P(1+i)n 1符号定义符号定义：P P 现值现值 F F 终值终值 i i 年利率年利率 n n 计息期数计息期数 A A 年金（年值）年金（年值）Annuit
2、yAnnuity计息期末等计息期末等 额发生的现金流量额发生的现金流量 G G 等差支付系列中的等差变量等差支付系列中的等差变量（三）利息公式n1 1、一次支付复利公式、一次支付复利公式F F=P P（1+1+i i）n ni i 利率利率(interest rate)(interest rate)；n n 计息期数计息期数(number)(number)；P P 现在值现在值(Present Value/worth)(Present Value/worth)；F F 将来值将来值(Future Value/worth)(Future Value/worth)；(1+(1+i i)n n 一次
3、支付复利系数一次支付复利系数(single-payment compound(single-payment compound amount factor)amount factor)，有时记为（有时记为（F F/P P,i i,n n）,则有则有F F=P P(F F/P P,i i,n n)2、一次支付现值公式 一次支付现值一次支付现值系数系数案 例n为了在第四年年末得到为了在第四年年末得到1262.501262.50元，按年利率元，按年利率6%6%计计算，现在必须投资多少？算，现在必须投资多少？答：答：或或4111262.501000(1)(1 0.06)nPFi元/,6%,41262.5
4、0(0.7921)1000P FPF（P/F,i,n）元3、等额支付系列复利公式 等额支付系列等额支付系列复利系数复利系数案 例n连续连续5 5年每年年末借款年每年年末借款10001000元，按年利率元，按年利率6%6%计算，计算，第第5 5年年末累积借款多少？年年末累积借款多少？答：答：4、等额支付系列积累基金公式 等额支付系列等额支付系列积累基金系数积累基金系数案 例n如果要在第如果要在第5 5年年末得到资金年年末得到资金10001000元，按年利率元，按年利率6%6%计算，从现在起连续计算，从现在起连续5 5年每年必须存储多少？年每年必须存储多少？答：答：等额支付系列资金回收（恢复）公式
5、等额支付系列资金回收现金流量图等额支付系列资金回收现金流量图0 1 2 3 .n-1 n 年PA A A .？=A AF=（A/P，i，n）_资金回收系数 （capital recovery factor）(1+i)n-1i(1+i)n AFiin11FPin1而于是=P（A/P，i，n）i=(1+i)n-1A(1+i)n P5、等额支付系列资金恢复公式 等额支付系列等额支付系列资金恢复系数资金恢复系数案 例n如果现在以年利率如果现在以年利率5%5%投资投资10001000元，在今后的元，在今后的8 8年中，年中，每年年末以相等的数额提取回收本利和，则每年年每年年末以相等的数额提取回收本利和，
6、则每年年末可以等额提取多少？末可以等额提取多少？6、等额支付系列现值公式 等额支付系列等额支付系列现值系数现值系数案 例n按年利率按年利率6%6%计算，为了能够在今后计算，为了能够在今后5 5年中每年年末年中每年年末得到得到100100万元的利润，假设不考虑残值的影响，现万元的利润，假设不考虑残值的影响，现在应投资多少？在应投资多少？答：答：7、均匀梯度系列公式n某工厂购进一台机器设备，每年都需要设备制造商提供一次某工厂购进一台机器设备，每年都需要设备制造商提供一次有偿维护服务，该机器设备随着使用而日益老化，所需劳动有偿维护服务，该机器设备随着使用而日益老化，所需劳动力和备件将越来越多，所需维
7、护费用也将逐步增加，该工厂力和备件将越来越多，所需维护费用也将逐步增加，该工厂可选择以下两种维护费支付方式：可选择以下两种维护费支付方式：（1 1）在使用）在使用n n年以后再支付前年以后再支付前n n年的维护费；年的维护费；（2 2）在购进机器时一次性支付）在购进机器时一次性支付n n年维护费；年维护费；已知第一年年末的维护费用为已知第一年年末的维护费用为A A1 1，当每年的维护费用以当每年的维护费用以相同的金额相同的金额G G增加时，增加时，在考虑资金时间价值的情况下，这两在考虑资金时间价值的情况下，这两种方式分别应支付多少维护费？种方式分别应支付多少维护费？8、运用利息公式应注意的问题
8、n（1 1）为了实施方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初；）为了实施方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初；n（2 2）方案实施工程中的经常性支出，假定发生在计息期末；）方案实施工程中的经常性支出，假定发生在计息期末；n（3 3）本年的年末即是下一年的年初；）本年的年末即是下一年的年初；n（4 4）P P是在当前年度开始时发生；是在当前年度开始时发生；n（5 5）F F是在当前以后的第是在当前以后的第n n年年末发生；年年末发生；n（6 6）A A是在考察期间各年年末发生。当问题包括是在考察期间各年年末发生。当问题包括P P和和A A时，系列的第一个时，系列的第一个A A是在是在P P发
9、生一年后的年末发生；当问题包括发生一年后的年末发生；当问题包括F F和和A A时，系列的最后一个时，系列的最后一个A A是和是和F F同时发生；同时发生；n（7 7）均匀梯度系列中，第一个）均匀梯度系列中，第一个G G发生在系列的第二年年末。发生在系列的第二年年末。（四）名义利率和有效利率n当利率的时间单位与计息期不一致时，就出现了名义利率和当利率的时间单位与计息期不一致时，就出现了名义利率和有效利率的概念。有效利率的概念。有效利率有效利率(effective interest rate)(effective interest rate)：资金在计息期所发资金在计息期所发生的实际利率。生的实际
10、利率。(年年)名义利率名义利率(nominal interest rate)(nominal interest rate)：当计息期短于一当计息期短于一年时，每一计息期的有效利率乘上一年中计息期数所得到的年时，每一计息期的有效利率乘上一年中计息期数所得到的年利率。年利率。n例如，例如，“每半年计息一次，计息期的利率为每半年计息一次，计息期的利率为3%3%”，3%3%为实际计息用的利率，即有效利率。为实际计息用的利率，即有效利率。3%3%2=6%2=6%为为(年年)名义利率。名义利率。案 例n如果实际的年有效利率为如果实际的年有效利率为12%12%，按每月计息一次，那么，按每月计息一次，那么实际
11、的月有效利率为多少？年名义利率为多少？实际的月有效利率为多少？年名义利率为多少？解析：解析：假设月实际利率为假设月实际利率为r r，则有：，则有：(1+r)(1+r)1212=1+12%=1+12%从而可估算出月有效利率为从而可估算出月有效利率为0.95%0.95%；年名义利率为：年名义利率为：12120.95%=11.4%0.95%=11.4%。1、离散式复利n离散式复利：离散式复利：按期（年、季、月和日）计息的按期（年、季、月和日）计息的方法。方法。n例如：例如：年利率为年利率为6%6%，每半年计息一次，有效年利率是，每半年计息一次，有效年利率是多少？年利率为多少？年利率为6%6%，每月计
12、息一次，有效年利率又是，每月计息一次，有效年利率又是多少？两者进行比较后可以得出什么结论？多少？两者进行比较后可以得出什么结论？一年中计算复利的次数越频繁，则年有效利率比年名义一年中计算复利的次数越频繁，则年有效利率比年名义利率越高。利率越高。1、离散式复利n如果名义利率为如果名义利率为 r r，一年中计算利息，一年中计算利息 n n 次，每次计息次，每次计息的利率为的利率为r r/n n，根据一次支付复利系数公式，年末本利，根据一次支付复利系数公式，年末本利和为：和为：案 例n假定某人把假定某人把10001000元进行投资，时间为元进行投资，时间为1010年，利息按年年，利息按年利率利率8%
13、8%，每季度计息一次计算，求，每季度计息一次计算，求1010年末的将来值？年末的将来值？解析：每年计息解析：每年计息4 4次，次，1010年的计息期为年的计息期为4 410=4010=40次，每一次，每一计息期的有效利率为计息期的有效利率为8%8%4=2%2%，1010年末的将来值：年末的将来值：名义利率为名义利率为8%8%，每年的计息期，每年的计息期 n n=4,=4,年有效利率为：年有效利率为：/,2%,401000(2.2080)2208F PF 元40.08118.2432%1000(/,8.2434%,10)4iFF P n名义利率为名义利率为6%6%，计息期不同时的年有效利率比较：
14、，计息期不同时的年有效利率比较：由小到大由小到大频率增大频率增大即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等；即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等；反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值却可能相等。反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值却可能相等。货币的等值包括货币的等值包括三个因素三个因素 金额金额金额发生的时间金额发生的时间利率利率 如果两个现金流量等值，则在任何时间其相应如果两个现金流量等值，则在任何时间其相应的值必定相等。的值必定相等。货币等值是考虑了货币的时间价值货币等值是考虑了货币的时间价值 从利息表上查到，当从利息表上查到，当n=9，1.750
15、落在落在6%和和7%之间。之间。%41.6%1)838.1689.1750.1689.1(%6i6%的表上查到的表上查到1.6897%的表上查到的表上查到1.839从从用直线内插法可得用直线内插法可得(二二)计息期为一年的等值计算计息期为一年的等值计算相同相同有效利率有效利率名义利率名义利率直接计算直接计算 例：当利率为多大时，现在的例：当利率为多大时，现在的300元等值于第元等值于第9年年年年末的末的525元？元？解：解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750 计算表明，当利率为计算表明，当利率为6.41%时，现在的时，现在的3
16、00元等元等值于第值于第9年年末的年年末的525元。元。例：当利率为例：当利率为8%时，从现在起连续时，从现在起连续6年的年末等年的年末等额支付为多少时与第额支付为多少时与第6年年末的年年末的10000 等值？等值？A=F（A/F,8%,6）=10000(0.1363)=1363 元元/年年 计算表明，当利率为计算表明，当利率为8%时，从现在起连续时，从现在起连续6年年1363 元的年末等额支付与第元的年末等额支付与第6年年末的年年末的10000 等值。等值。解：10000 0 1 2 3 4 5 6 年 i=8%0 1 2 3 4 5 6 年 A=？i=8%n 1.计息期计息期和和支付期支付
17、期相同相同n 例：年利率为例：年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，每半年计息一次，从现在起，连续连续3年，每半年为年，每半年为100元的等额支付，问与其等值的元的等额支付，问与其等值的第第0年的现值为多大？年的现值为多大？n 解：每计息期的利率解：每计息期的利率%62%12i（每半年一期）（每半年一期）n=(3年年)(每年每年2期期)=6期期 P=A（P/A，6%，6）=100 4.9173=491.73元元 计算表明，按年利率计算表明，按年利率12%，每半年计息一次计算利息，从，每半年计息一次计算利息，从现在起连续现在起连续3年每半年支付年每半年支付100元的等额支付与第元的等额支付与
18、第0年的现值年的现值491.73元的现值是等值的。元的现值是等值的。例：求等值状况下的利率。假如有人目前借入例：求等值状况下的利率。假如有人目前借入2000元，元，在今后两年中分在今后两年中分24次等额偿还，每次偿还次等额偿还，每次偿还99.80元。复利按月元。复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。解：现在解：现在 99.80=2000（A/P，i,24）（A/P，i,24）=99.80/2000=0.0499 查表，上列数值相当于查表，上列数值相当于i=1.5%。因为计息期是一个月，。因为计息期是一个月，所以月有效利率为所以月有效利率
19、为1.5%。名义利率名义利率：r=(每月每月1.5%）（12个月）个月）=18%年有效利率：年有效利率：%56.1911218.011112nnri 2.计息期长于于支付期计息期长于于支付期 通常规定存款必须存满整个一个计息期时才计算利息，通常规定存款必须存满整个一个计息期时才计算利息，在计息期间存入的款项在该期不计算利息。在计息期间存入的款项在该期不计算利息。计息期间的存款应放在期末，而计息期间的提款应放在期初。计息期间的存款应放在期末，而计息期间的提款应放在期初。计息期间的存款应放在期末，而计息期间的提款应放在期初。每季度计息一次，年利率8，求年底帐户总额。例：250400100存款提款1
20、001000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12（月）(二)计息期大于支付期的情况解：按上述原则，现金流量图可改画为：10025040010020001234季度300（元）3.262 1002%,2,/2503003%,2,/1004%,2,/200400PFPFPFF 例:求每半年向银行借1400元，连续借10年的等额支付系列的等值将来值。利息分别按:1）年利率为12,每年计息一次。2）年利率为12，每半年计息一次 3）年利率12，每季度计息一次，这三种情况计息。01210年28002800140014002800解：1）计息期长于支付期14002）计息期等于支付期F=1
21、400(F/A,12%2，102）51500（元）3）计息期短于支付期F=1400(A/F，3%，2)(F/A，3%，410）52000（元）0123414001400i1243A=1400(A/F,3%,2)季度 3.计息期短于支付期计息期短于支付期 例：按年利率为例：按年利率为12%，每季度计息一次计算利，每季度计息一次计算利息，从现在起连续息，从现在起连续3年的等额年末支付借款为年的等额年末支付借款为1000元，元，问与其等值的第问与其等值的第3年年末的借款金额为多大？年年末的借款金额为多大？解：解：其现金流量如下图其现金流量如下图 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
22、2 季度 F=？100010001000n 第一种方法第一种方法：取一个循环周期，使这个周期的年：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：流量见下图：0 1 2 3 4239 239239 2390 1 2 3 410001000将年度支付转化为计息期末支付（单位：元）将年度支付转化为计息期末支付（单位：元）A=F（A/F，3%，4）=1000 0.2390=239元元（A/F，3%，4）239F=？季度 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 经转变后计息期与支付期重合（单位：
23、元）经转变后计息期与支付期重合（单位：元）F=A（F/A，3%，12）=239 14.192=3392元 第二种方法第二种方法：把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求：把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果。付的实际结果。F=1000(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000 =3392元元%55.121412.01114nnriF=A(F/A,12.55%,3)=1000 3.3923=3392元 第三种方法第三种方法：将名义利率转化为年有效利率，
24、以一年为基础：将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础进行计算。进行计算。年有效利率是年有效利率是 通过三种方法计算表明，按年利率通过三种方法计算表明，按年利率12%，每，每季度计息一次，从现在起连续三年的季度计息一次，从现在起连续三年的1000元元等额年末借款与第三年年末的等额年末借款与第三年年末的3392元等值。元等值。例例4:假定现金流量是：第假定现金流量是：第6年年末支付年年末支付300元，元，第第9、10、11、12年末各支付年末各支付60元，第元，第13年年末支年年末支付付210元，第元，第15、16、17年年末各获得年年末各获得80元。按年元。按年利率利率5计息，与此等值的现金流
25、量的现值计息，与此等值的现金流量的现值P为多为多少？少？P=?03006789 10 11 12 13 1415 16 172106080解：P=300(P/F,5%,6)60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8)210(P/F,5%,13)+80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14)=3000.716260 3.5456 0.6768210 0.5303 +80 2.7232 0.5051 =369.16 也可用其他公式求得 P=300(P/F,5%,6)60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12)210(P/F,5%,13)+80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17)=3000
26、.746260 4.3101 0.5568210 0.5303 +80 3.153 0.4363 =369.16 例例5:某项目第某项目第14年平均投资年平均投资50万元，第万元，第4年年建成投产，年净收益建成投产，年净收益40万元，第万元，第510年生产达产年生产达产后年均净收益后年均净收益70万元。第万元。第1112年生产约有下降，年生产约有下降，年均净收益年均净收益50万元，在年利率万元，在年利率8%时，求终值、现时，求终值、现值、第值、第4年期末的等值资金？年期末的等值资金？441 1、某工程投资、某工程投资100100万元，第三年开始投产，需要万元，第三年开始投产，需要流动资金流动资
27、金300300万元，投产后，每年销售收入抵万元，投产后，每年销售收入抵销经营成本后为销经营成本后为300300万元，第万元，第5 5年追加投资年追加投资500500万万元，当年见效且每年销售收入抵销经营成本后元，当年见效且每年销售收入抵销经营成本后为为750750万元，该项目的经济寿命为万元，该项目的经济寿命为1010年，残值年，残值100100万元，绘制该项目的现金流量图？万元，绘制该项目的现金流量图？452.2.贷款上大学，年利率贷款上大学，年利率5 5，每学年初贷款，每学年初贷款60006000元，元，4 4年毕业，毕业年毕业，毕业1 1年后开始还款，年后开始还款，6 6年内按年等额付清，每年应付多少？年内按年等额付清，每年应付多少？（1 1）绘制该问题的现金流量图）绘制该问题的现金流量图（2 2）写出计算式）写出计算式3.3.某投资工程，第某投资工程，第4 4年投产，生产期年投产，生产期2020年，预年，预测投产后年均净收益测投产后年均净收益180180万元，若基准投资收万元，若基准投资收益率为益率为1010，如果第，如果第1 1年投资年投资400400万元，第万元，第2 2年年投资投资300300万元，试求第万元，试求第3 3年尚需投资多少万元年尚需投资多少万元?（1 1）绘制该问题的现金流量图）绘制该问题的现金流量图（2 2）写出计算式）写出计算式谢谢观看！2020
