1、微积分（微积分（）复习）复习第五章第五章 不定积分与定积分不定积分与定积分 六六.不定积分不定积分(一一)基本概念基本概念1.原函数原函数上上的的一一个个原原函函数数。在在区区间间是是，则则称称上上若若在在区区间间IxfxFxfxFI)()()()(2.不定积分不定积分 CxFdxxfxfCCxFxf)()()()()(记记作作在在区区间间上上的的不不定定积积分分，任任意意常常数数）称称为为为为，（的的全全体体原原函函数数(二)基本性质CxFdxxF)()(.1)()(.2xfdxxf dxxfdxxfd)()(.30,)()(.4kdxxfkdxxkfdxxgdxxfdxxgxf)()()(
2、)(.5(三三)基本公式基本公式)1(11.11 CxdxxCxdxx ln1.2Cedxexx .3Cxxdx cossin.5Cxxdx sincos.6)1,0(ln1.4 aaCaadxaxxCxxdx tansec.72Cxxdx cotcsc.82Cxdxx arctan11.92Cxdxx arcsin11.102Cxxdxx secsectan.11Cxxdxx csccsccot.12)0(arctan11.1322 aCaxadxxa)0(arcsin1.1422 aCaxdxxaCxxxdx sectanlnsec.15Cxxxdx csccotlncsc.16Cxaxa
3、adxxa ln211.1722Cxaxdxxa )ln(1.182222Cchxshxdx .19Cshxchxdx .20(四四)计算方法计算方法利利用用基基本本公公式式.1CxFCtFdtttfdxxftx )()()()()(.31)(令令变变量量置置换换法法 vduuvudv分分部部积积分分法法.4 )()()()()(.2xdxgdxxxgdxxf 凑凑微微分分法法七七.定积分定积分(一一)基本概念基本概念1.定义则则称称此此极极存存在在如如果果极极限限令令及及划划分分的的任任意意对对上上有有定定义义在在设设,)(lim)(max),2,1(,),2,1(,:,)(10111210
4、0knkkknkkkkkkknnkkxfxnkxxxnkxxbxxxxaxbabaxf .,)()(lim)(,)(10上上可可积积在在此此时时称称上上的的定定积积分分，记记作作在在限限值值为为baxfxfdxxfbaxfnkkkba 2.定积分的几何意义.,)()(之之间间所所围围面面积积的的代代数数和和轴轴及及直直线线与与表表示示bxaxxxfdxxfba (二二)函数的可积性函数的可积性.,)(,)(.1上上有有界界在在上上可可积积，则则在在baxfbaxf.,)(,)(.2可可积积上上在在，则则若若baxfbaCxf.,)(,)(.3上上可可积积在在间间断断点点，则则上上有有界界，只只
5、有有有有限限个个在在若若baxfbaxf.,)(,)(.4上上可可积积在在上上单单调调有有界界，则则在在若若baxfbaxf(三三)定积分的性质定积分的性质.,)()(1为为常常数数）kdxxfkdxxkfbaba bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(2）abbadxxfdxxf)()(4）0)(3 dxxfaa）bccabadxxfdxxfdxxf)()()(5）.)()()()(,)()(;)()(,)()(6 babababadxxgdxxfxgxfbaCxgxfdxxgdxxfbaxxgxf则则、若若则则）若若dxxfdxxfbaba )()(7）)()()(,)(
6、8abMdxxfabmMxfmba 则则若若）估估值值定定理理).)()(,)(9abfdxxfbabaCxfba 使使得得则则存存在在若若）中中值值定定理理.)()()()(,)(,)(10 babadxxgfdxxgxfbababaRxgbaCxf 使使得得则则存存在在上上不不变变号号且且在在若若）广广义义中中值值定定理理(四四)变上限定积分变上限定积分称称为为变变上上限限定定积积分分。设设)(,)()(,)(xFbaxdxxfxFbaRxfxa .,)()(,)(1上上连连续续在在则则）若若badxxfxFbaRxfxa ).()(),()()(,)(2xfxFbadxxfxFbaCxf
7、xa 且且，内内可可导导在在则则）若若(五五)牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)()()()()()(,)(aFbFxFdxxfxfxFbaCxfbaba 则则，原原函函数数的的一一个个是是设设(六六)定积分计算定积分计算 dtttfdxxftbtabatxbaCxfba)()()()(,)(),(),()(,)(.1连连续续，则则满满足足设设变变量量置置换换法法 bababaxduxvxvxuxdvxu)()()()()()(.2 分分部部积积分分法法3.特殊函数的积分性质特殊函数的积分性质 为为奇奇函函数数，为为偶偶函函数数则则）设设)(0)(,)(2)(,)(10 xfxfdxxfdx
8、xfbaCxfaaa.,)()(,)(20RadxxfdxxfTxfTTaa 则则周周期期为为为为连连续续的的周周期期函函数数）设设(七）定积分应用可可加加性性。对对区区间间具具有有所所求求量量依依赖赖于于区区间间，并并）积积分分求求结结果果（）分分小小取取微微分分（量量求求出出其其微微分分通通过过分分析析未未知知函函数数的的增增21微微元元分分析析法法解解决决问问题题的的方方法法：定定积积分分应应用用问问题题的的特特征征应用问题平面图形的面积间体体积平行截面面积已知的空旋转体体积平面曲线的弧长旋转面的面积重心质量引力变力作功要求要求1.掌握定积分的概念及性质掌握定积分的概念及性质2.了解定积
9、分存在的条件与可积函数类了解定积分存在的条件与可积函数类3.能利用定积分性质对问题进行分析与证明能利用定积分性质对问题进行分析与证明4.掌握变上限积分求导掌握变上限积分求导5.掌握牛顿莱布尼兹公式掌握牛顿莱布尼兹公式6.掌握定积分的变量置换法与分部积分法掌握定积分的变量置换法与分部积分法8.会用定积分解决几何与物理的简单问题会用定积分解决几何与物理的简单问题7.掌握弧长的微分与曲率的计算掌握弧长的微分与曲率的计算二、典型例题二、典型例题例例1 1 计算计算.162dxxx解解2636213113113uduxdxdxxxxu.arcsin313Cx 例例2 2 计算.sincossincosd
10、xxxxx解解 原式原式 xxxxdsincos)sin(cosCxx|sincos|ln例例3 3 求求.11ln112dxxxx解解 因为因为,1211ln2xxx故原式故原式.11ln4111ln11ln212Cxxxxdxx例例4计算计算.22dxxax解解令令,sectax 则则原式原式tdtadtttadtttatata2222tancossincossinsectandttdtadtta22sec)1(secCattadttdatantan.arccos22Cxaax例例5.5.dxxx321解解 令令 6xt 即即6tx，则则原式原式 dtttdtttdtttt11161616
11、22543dttdttt1161162)1(116)1(6tdtdttCttt|1|ln62162.|1|ln663663Cxxx例例6 6 求求 .arctandxx解解dxxxxxxdxx121arctanarctan,121arctandxxxxx对于对于dxxx1应消去根号令应消去根号令,ux 则则 2ux duuuuduuudxxx22212211duuduuu22211121112.arctan22Cuu故故Cxxxxdxxarctanarctanarctan.arctan)1(Cxxx例例1313 求定积分求定积分 2ln0;1dxex解解 由于被积函数是由于被积函数是 1xe的
12、根式，为了消除，的根式，为了消除，根式根式 故可作代换故可作代换，tex1,此时此时),1ln(,122txtex,122ttdtdx且当且当 及及 时，时，0 x2lnx有有 及及 故故 0t,1t10102222ln0.4121112121dttdtttdxex例例1414 求求 21011lndxxxx解解 2102102221022210111ln211ln2111lndxxxxxxdxxxdxxxx21021113ln81dxx.3ln832111ln213ln81210 xxx例例1616试求由曲线试求由曲线 21yx及及1 xy所所平面图形的面积平面图形的面积.解解 作草图如右图
13、作草图如右图 由方程组由方程组 112xyyx解得曲线交点为（解得曲线交点为（0 0，1 1）与（）与（-3-3，-2-2）.围成围成yx1 xy)1,0(o1)2,3(21yx根据所围平面图形的特点，选根据所围平面图形的特点，选 为积分变量为积分变量由面积公式由面积公式 y.214)2()1()1(122122dyyydyyyS注注:此题若选用此题若选用 为积分变量为积分变量,计算比较麻烦计算比较麻烦,由此由此可见根据平面图形的特点、合理地选择积分变量可见根据平面图形的特点、合理地选择积分变量是非常重要的是非常重要的.x例例1717 求由曲线求由曲线 与与 轴所围成的轴所围成的平面图形绕平面图形绕 轴及轴及 轴旋转而成的旋转体体积轴旋转而成的旋转体体积.2)1(1xyxxy解解 绕绕 轴旋转轴旋转:x2020222)1(1 dxxdxyVx20432.1516)44(dxxxx绕绕 轴旋转轴旋转:y10102211,11 dyydyxVy1o121y10102222,11 dyydyxV1010222111 11 dyydyyVVV101021)1()1(414ydydyy.38)1(381023y
