1、电磁场导论主讲 仲慧2009年春学习内容静电场静电场1恒定场恒定场2时变电磁场时变电磁场3平面电磁波的传播平面电磁波的传播4先 修 课 程大学物理大学物理电磁学电磁学矢量分析矢量分析与与 场场 论论电磁场电磁场导论导论梯度 grad散度 div旋度 rot亥姆霍兹定理什么是电场？什么是电场？l有电荷接近或周围磁场强度有变化的区域,这个区域对引入的电荷施加机械力。任意一点的电场方向就是置于该点的一个小正电荷的受力方向。l电荷之间的相互作用是通过电场发生的.只要有电荷存在,电荷的周围就存在着电场电场，是物质存在的一种形式。电场的基本特性是对静止或运动的电荷有作用力，其作用力的大小为，正电荷受力方向
2、与场强的方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反。场强是描述电场特性的物理量。电场是一切物理、工业、化学、能源、电子、信息、生物等学科研究的本质对象l1、压力、推力、弹力、摩擦力的本质是电场；l2、分子之间的力由电场力组成；l3、生化反映的动源泉是电场；l4、电流，电压由电场力引起；l5、光、电磁波由电场引起；l6、信息技术也是研究电场的特性。电场的本质电场的本质l我们所见到的一切运动，反应，变化都是电场错综复杂，相互作用的结果。l电场就是原子核对核外电子的吸引力。当这种力分布不均匀时，物质就会对外界体现一些宏观力。我们就会感觉到有电场的存在。比如静电、电势等。这样我们就可以说原子核对电子的引力
3、是世界上一切运动的力量来源（当然外有引力除外）。为什么原子核会对电子有引力？为什么原子核会对电子有引力？l目前认为自然界中一共有四种力：分别是电场力，万有引力、强相互作用力、弱相互作用力。l茫茫宇宙，有物质存在的空间是极少数，绝大多数都是空空的，就连有物质存在的地方也是稀疏的分布着一些原子核、电子。原子核与电子之间的空旷也比他本身占的空间大得多。l这里所说的空是什么？当然不是真空，更不是空气。它是指什么都没有。什么都没有，什么都没有的两个东西之间（原子核与电子）有一个引力。这是一个十分奇妙的物理现象。l你觉得这里所说的“空”真的是什么都没有吗？l如果真的是什么都没有的话。原子核和电子之间就什么
4、联系都没有啦。你能想象两个实体之间什么联系都没有却能有相互吸引的力吗？l因此，有人认为在这里所说的“空”中并不是什么都没有，而是一种物质。这种物质不是颗粒，而是弥漫在整个空间。原子核和电子就像泡在这种物质中似的。这种物质没有质量，但却能够让两个有质量的物质产生引力。如果这样的话分子之间并不是什么都没有；如果这样，也许万有引力的本质也是电场。l电场分为两种：一种是静电场静电场，另外一个为感应电场感应电场。l静电场静电场是由静止电荷激发的电场。静电场的电场线起于正电荷终止于负电荷，或从无穷远到无穷远，其电场力移动电荷做功具有与路径无关的特点 l变化磁场激发的电场叫感应电感应电场场或涡旋电场涡旋电场
5、。磁 场l能够产生磁力的空间存在着磁场磁场。磁场是一种特殊的物质。磁体周围存在磁场，磁体间的相互作用就是以磁场作为媒介的。l电流、运动电荷、磁体或变化电场周围空间存在的一种特殊形态的物质。由于磁体的磁性来源于电流，电流是电荷的运动，因而概括地说，磁场是由运动电荷或变化电场产生的。l磁场的基本特征是能对其中的运动电荷施加作用力，磁场对电流、对磁体的作用力或力矩皆源于此。而现代理论则说明，磁力是电场力的相对论效应。磁现象磁现象l磁现象是最早被人类认识的物理现象之一，指南针是中国古代一大发明。磁场是广泛存在的，地球，恒星(如太阳)，星系（如银河系），行星、卫星，以及星际空间和星系际空间，都存在着磁场
6、。l为了认识和解释其中的许多物理现象和过程，必须考虑磁场这一重要因素。在现代科学技术和人类生活中，处处可遇到磁场，发电机、电动机、变压器、电报、电话、收音机以至加速器、热核聚变装置、电磁测量仪表等无不与磁现象有关。甚至在人体内，伴随着生命活动，一些组织和器官内也会产生微弱的磁场。地球的磁级与地理的两极相反.中国是磁的故乡l 中华民族很早就认识到了磁现象，磁学是一个历史悠久的研究领域。指南针是中国古代四大发明之一，古代中国在磁的发现、发明和应用上还有许多都居于世界首位，可以说中国是磁的故乡。公元前 3 世纪，战国时期，韩非子中这样记载：“先王立司南以端朝夕”。鬼谷子中记载：“郑人取玉，必载司南，
7、为其不惑也”。公元 1 世纪，东汉王充在论衡中写道：“司南之杓，投之于地，其柢指南”公元 11 世纪，北宋沈括在梦溪笔谈中提到了指南针的制造方法：“方家以磁石磨针锋，则能指南.水浮多荡摇，指抓及碗唇上皆可为之，运转尤速，但坚滑易坠，不若缕悬之最善。”同时，他还发现了磁偏角，即：地球的磁极和地理的南北极不完全重合。l磁石的发现、磁石吸铁的发现、磁石指南和最早磁指南器(司南)的发明、指南针的发明和应用、地球磁偏角的发现、地球磁倾角的利用、磁在医药上的应用，北极光地球磁现象和太阳黑子太阳磁现象的发现和最早最多的记载等，都是中国最早发现、发明、应用和记载的，或者居于世界的前列。电 磁 场学习内容场 论
8、 复 习0.1 0.1 标量场和矢量场标量场和矢量场场场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量.例如,在直角坐标下,标量场)()(),(222z2y1x45zyx 如温度场,电位场,高度场等;矢量场zy2x2xyzzxxy2)z,y,x(eeeA如流速场,电场,涡流场等.形象描绘场分布的工具-场线矢量场-矢量线标量场-等值线(面).constzyxh),(其方程为0d lA其方程为dzAdyAdxAzyx三维场在直角坐标下:二维场dyAdxAyx图0.1.2 矢量线图0.1.1 等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？0.2 0.2 标量场的梯度标量场的梯度
9、一.梯度)cos,cos,(cos)z,y,x(l),z,y,x(g)cos,cos,(cosle设当 ,即 与 方向一致时,为最大.0),(leglegl 设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P可微,则 在点P沿任意方向 的方向导数为:lgradzyxzyxeeeg梯度(gradient)哈密顿算子)z,y,x(式中),cos(|lleggegl则有:式中 ，分别是与x,y,z轴的夹角 例1 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。电位场的梯度 与过该点的等位线垂直；指向电位增加的方向。数值等于该点的最大方
10、向导数；二.梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数;图0.2.1 三维高度场的梯度图0.2.2 电位场的梯度梯度的解释梯度的解释l假设有一个房间，房间内所有点的温度由一个标量场给出的，即点(x,y,z)的温度是(x,y,z)。假设温度不随时间改变。然后，在房间的每一点，该点的梯度将显示变热最快的方向。梯度的大小将表示在该方向上变热的速度。l考虑一座高度在(x,y)点是H(x,y)的山。H在一点的梯度是在该点坡度（或者说斜度斜度）
11、最陡的方向。梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。l梯度也可以告诉我们一个数量在不是最快变化方向的其他方向的变化速度。再次考虑山坡的例子。可以有条直接上山的路其坡度是最大的，则其坡度是梯度的大小。也可以有一条和上坡方向成一个角度的路，例如投影在水平面上是60角。则若最陡的坡度是40%，这条路的坡度小一点，是20%，也就是40%乘以60的余弦。这个现象可以如下数学的表示：山的高度函数H的梯度点积点积一个单位向量向量给出了表面在该向量的方向上的斜率。这称为方向导数。l上面两个图中，标量场是黑白的，黑色表示大的数值，而其相应的梯度用蓝色箭头表示。0.3 矢量场的通量与散度一、通量 矢量 E E 沿有向曲
12、面S S 的面积分SE dS 0(有正源)0(有负源)=0(无源)图0.3.1 矢量场的通量 图0.3.2 矢量场的通量 若S 为闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:sdsE二、散度 如果包围点P的闭合面S S所围区域V V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在，即Sv10vdSAAlimdiv散度(divergence)计算公式zAyAxAzyxAA div三、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性 A A=0(无源）A A=0(负源)A A=0 (正源)在矢量场中，若 A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。矢量
13、的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；四、高斯公式(散度定理)V1nn0VnSdVVlimdnAASA高斯公式 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。VSdVdASA 矢量函数的面积分与体积分的互换。Sv10vdSAAlimdiv图0.3.3 散度定理 由于 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合面S S的通量AA0.4 矢量场的环量与旋度一、环量该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分环量LdlA例：流速场图0.4.2 流速场图0.4.1 环
14、量的计算二、旋度1.环量密度 过点P作一微小曲面S S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S S点P时,存在极限LdS1dSdPSllim环量密度取不同的路径，其环量密度不同。2.旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。AArot 旋度(curl)它与环量密度的关系为ndSdeA rot 在直角坐标系下zyxzyxzyxAAAeeeA三、旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；点P的旋度的方向是该点最大环
15、量密度的方向。四、斯托克斯(Stockes)定理 A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为iiddilSAAl)(SAlAd)(dSlStockes定理在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。矢量函数的线积分与面积分的互换。该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。图 0.4.3 斯托克斯定理0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度电流密度J场域边界条件（矢量A唯一地确
16、定）例：判断矢量场的性质?FF?FF?FF=0=0=000=00.6 三种特殊形式的场 1.平行平面场平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。2.轴对称场轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(r,)，则称这个场为轴对称场。3.球面对称场球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即 F=f(r)，则称这个场为球面对称场。作业.0013,ArrrrrrzzyyxxzyxzyxAAA)z,y,x(zyxzyxeeeAeeer
17、eeer2.3.式中：试证明下列各题1.高斯简介高斯简介l高斯是德国数学家，也是科学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。l最小二乘法原理。l算术研究（1801）中，是数论方面的划时代之作l证明了代数基本定理，存在性证明开创了数学研究的新途径。l高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。l复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。l发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。l1828年高斯出版了关于曲面的一般研究，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内
18、蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还有地磁概念和论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律等。高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。l1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧。那年的元旦，有一个后来被证认为小行星并被命名为谷神星的天体被发现当时它好像在向太阳靠近，天文学家虽然有40天的时间可以观察它，但还不能计算出它的轨道。高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨道参数的方法，而且达到的精确度使得天文学家在1801年末和1802年初能够毫无困难地再确定谷神星的位置。l高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最小二乘法（一种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法在天文学中这一成就立即得到公认。他在天体运动理论中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能适应现代计算机的要求。高斯在小行星“智神星”方面也获得类似的成功。亥姆霍茨（Hermann von Helmholtz，）德国物理学家他的工作是把能量守恒定律纳入力学的数学体系,在X射线的发现过程中，他对光的电磁本性进行了数学推导。
