1、-1高等代数第二学期总复习 第五章 二次型（1）二次型的定义，二次型的矩阵（2）化二次型为标准二次型、规范二次型（配方法，合同变换法、正交变换法）（3）二次型的正定性及其判别；（）矩阵合同 -2高等代数第二学期总复习 第六章 线性空间（1）线性空间的定义（集合、数域、二种运算）（2）线性空间中向量的线性相关与线性无关、线性空间的基、向量在一组基下的坐标的定义及判别（3）线性空间的基变换及坐标变换公式（4）线性子空间的定义及判别（5）线性子空间的交与和的定义、维数公式（6）直和的定义及判别定理（四个等价条件）-3高等代数第二学期总复习 第七章 线性变换（1）线性变换的定义、线性变换的加法与数量乘
2、法运算（2）线性变换在一组基下的矩阵表示（3）线性变换在不同基下的矩阵是相似的（4）线性变换的特征值与特征向量及求法（5）线性变换在某组基下的矩阵是对角矩阵的充要条件是线性变换有n个线性无关的特征向量：线性变换有n个不同的特征值所有不同特征子空间的维数之和=n（6）线性变换的值域与核的定义、秩和零度的定义、秩加零度=n（7）线性变换的不变子空间定义及线性变换在不变子空间上的限制（8）线性变换多项式、线性变换最小多项式及其求法-4高等代数第二学期总复习（9）各级行列式因子、不变因子及其相互关系（10）矩阵的初等因子及与不变因子之间的关系（11）复系数矩阵的约尔当标准形-5高等代数第二学期总复习
3、第八章 欧氏空间（1）欧氏空间的定义（线性空间加内积）（2）欧氏空间中向量的长度、向量与向量的夹角、正交的概念及判别（3）欧氏空间一组基的度量矩阵（4）欧氏空间的标准正交基的概念及判别（5）Schimidt正交化方法（6）欧氏空间的正交变换（第一类、第二类）（7）正交矩阵（8）正交子空间、正交补-6综合例题讲解 例1：设V是n维线性空间，证明V上任意线性变换必可表示为一个可逆线性变换与一个幂等线性变换的乘积。2幂等变换就是我们知道线性变换与矩阵是一一对应的我们利用矩阵来证明-712,n 证明:设 为线性变换,在基下的矩阵为A1,000rP QEPAQC设秩A=r,若r=0,结论显然成立.若r则
4、存在可逆矩阵使得211111CCAP CQP Q QCQ则于是111RP QSQCQ记2SSR则可逆-8122,n 记为线性变换,在基下的矩阵为R,S.则 可逆,且-9综合例题讲解 例2：设V是n维复数域上的线性空间，证明V上任意线性变换必可表示为一个可以对角化的线性变换与一个幂零线性变换的和。0m幂零变换就是存在m使得我们还是利用矩阵来证明-1012,n 证明:设 为线性变换,在基下的矩阵为A121,sPJJP APJ则存在可逆矩阵使得111iiiiiiJJ 其中 为约尔当块,-1112sB0101010iiiiJE 记1122ssEECE-12C则:为对角矩阵,B为幂零矩阵111P APB
5、CAPBPPCP且11,PBPPCP为幂零可对角化-13综合例题讲解 例3设 是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，且 ,证明:kerVV2-14:kerVV证明 只需证明,()()(),()kerVV 任取有-15综合例题讲解 例4设 是数域P上维线性空间V的一个线性变换,证明:的充要条件为kerVV22()VV秩秩-16:kerVV证明只需证明222,()()()()()VVV 任取由秩秩,存在,使得而=-17:,()VV 证明任取存在使得222ker,(),ker()()()()VVVVVV 由于有=+从而存在,故-18综合例题讲解 例5设 是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，且
6、,证明:kerVV2kerker-19:ker0V证明 只需证明22ker,(),()0()0,kerker()0,0V 任取存在有因此即-20综合例题讲解 例6,(),()()()()(),()1,:()()()Vf x g xP xh xf x g xf x g xKerhKerfKerh设 是线性空间 上的线性变换若(证明()()()(2)()()0KerhKerfKerhKerfKerh分析:只须证明(1)-21 证明（1）12121212,(),()()()0,()()()()()0()()()KergKerfgfhfgKerfKerhKerh 反之则有从而1212(),()1,()
7、,(),1()()0()()()()()()0,()()()f x g xu x v xufvgKerhhufvggfKerhKerfKerh 由(存在使得而故有(2)()()()0()()()()0KerfKergfufvg -22综合例题讲解 例7121212,:dimkkkVWWWk 设 是线性空间 上的线性变换是 的互不相等的特征值,是相应的特征向量是 的不变子空间 如果证明-23:kW证明 由于属于不同特征值的特征向量线性无关只需证明对每一个k有即可 01211211222222112211221111122,)kkkkkkkkkkkkkkW WWWW 由为 的不变子空间有(-240
8、1211122111112211112212121121212111,kkkkkkkkkkkkkkkkkkkW 利用方程组即（，）=（，）可以得到为的线性组合从而-25综合例题讲解 例8：-2612121212,;,rsrsjnrsnVVA BVVVWWWVVVVWWWW提示：利用线性变换证明设，为 维线性空间 的一组标准正交基，为 上的线性变换且在这组基下的矩阵为则，可对角化，。记，的不有的特征值分别为，；，对应的特征子空间为.由于，可对角化则如果能证明：121jjjrjWVWVWVWVVV成立，中的向量都是，的特征向量，从而就得到可表示成上面形式的子空间的直和，将各子空间的基拼成 的一组基
9、，在这组基下，的矩阵为对角矩阵。-271211111121,(jjjjrjijjijjjriiirrrrrrrrrriWWVWVWVWVVWWVWWW 证明：有 只须证明，从而就有由由可得，从而可证明参见例）-28综合例题讲解 例9：-29()()0PP APEP SPP AS PP AS PAS提示：实可逆矩阵，使得又仍为实反对称矩阵，而实反对称矩阵的特征值为或纯虚数并且纯虚数与其共轭纯虚数成对出现因此，的特征值为或 bi为全部特征值的积，有-30综合例题讲解 例10：-31211212221112112()()()00,0,()(),()V,()V()()VVxxxxfax Ex Ex E
10、x Ex ExVx Ex Ex Ex Exx提示：使有为 的特征值。有-32综合例题讲解 例11：-331111111111111,(,),(,)0rrnrrrnrnVVLFAAXV 提示：为 的标准正交基,将扩充为的一组标准正交基，记矩阵则的解空间就是-34综合例题讲解 例12：-351212(,),00,(,)niiinA AQQ A AQdiagaBdiag a aaBBBBQ A AQBEAQBPPAQB 提示：为正定矩阵，正交矩阵 使记则 且 可逆，有从而有为正交矩阵有-36综合例题讲解 例13：:nA证明 任一可逆的 阶实矩阵 都可以分解成一个正交矩阵与一个主对角线上元素非负的上三角矩阵的乘积,并且分解唯一1212,nnABABC C 分析:存在性:将矩阵 的列向量组施行Schimidt正交化方法得到正交向量组=且有为主对角线上元素非负的上三角形1122121211221212,TTTAB CB CB BC CA AC CC CCCBB唯一性:设为正交阵为主对角线上元素非负的上三角阵则有从而有-37综合例题讲解 例14：-3832211111(1)(1)(1)2AAEA提示：二次型的矩阵为的特征值为，可得到 -39综合例题讲解 例15：-40综合例题讲解 例16：
