1、 第 2 节 含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法 1绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|axR|x0Raxa或或xc(c0)和|axb|0)的解法|axb|c ；|axb|c .(3)|f(x)|g(x)的解法|f(x)|g(x)axbc或或axbccaxbcg(x)f(x)g(x)或或f(x)000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的实根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|x x|x1x0 或 ；F(x)f(x)g(x)0(或0或f(x)0；0或 .f(x)g(x)0 1已知集合Mx|x1|2，xR，Px|1，xZ，
2、则MP等于()Ax|0 x3，xZBx|0 x3，xZ Cx|1x0，xZ Dx|1x0，xZ【解析】Mx|1x3，Px|1x4，xZ，MPx|0 x3，xZ故选B.【答案】B 2不等式1|x1|3的解集是()A0,2 B2,0(2,4)C(4,0)D(4，2)(0,2)【解析】原不等式可化为 .0 x2或4x2.故选D.【答案】D 3已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集是B，不等式x2axb0的解集是AB，那么ab等于()A3 B1 C1 D3【解析】由题意：Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1xk，求k的取值范围【思路点拨】可分段去掉绝对值，由函数性质得|x1|x2|
3、的最小值，也可利用绝对值的几何意义或绝对值不等式进行转化求解【解析】解法一根据绝对值的几何意义，|x1|可以看作点x到点1的距离，|x2|可以看作是x到点2的距离，在数轴任取三个点xA1，1xB2，xC2，如图：可以看出|xA1|xA2|3，3|xB1|xB2|k恒成立，则kk恒成立，k3.【答案】k(或)c类绝对值不等式问题；处理含有多个绝对值不等式的基本方法是根据各个绝对值的零点分段去掉绝对值，把问题转化为不含绝对值问题，法二就是这样处理的 1若不等式|x4|3x|a的解集是，求实数a的取值范围【解析】解法一分别求|x4|和|3x|的零点，即4,3.由3,4将数轴分成三部分 当x3时，原不
4、等式化为72x .则据题意有 3a1.当3x4时，原不等式化为4xx31，据题意a1不成立 当x4时，原不等式化为2x7a，解得x ，则根据题意有 4a1.综上得a1.解法二不等式|x4|3x|0.【思路点拨】因为本题最高次项的系数中含有待定字母，所以需要分类讨论，再根据不等式的特点进行求解【解析】原不等式可化为(x2)(ax2)0.(1)当a0时，原不等式化为x20，解集为x|x2(2)当a0时，原不等式化为(x2)(x )，所以解集为x|x0时，原不等式化为(x2)(x )0.当0a1时，两根的大小顺序为2 或x1时，两根的大小顺序为2 ，解集为x|x2或x 综上所述，不等式的解集为：a0
5、时，x|x2；a1时，x|x2；a0时，x|x2；0a 或x1时，x|x2或x1(a1)【解析】原不等式可化为 0，同解于(a1)x(a2)(x2)0.当a1时，原不等式等价于(x )(x2)0.若 2，即0a1矛盾，不成立；若 2，即a1，于是a1时，原不等式的解集为(，)(2，)；当a1时，原不等式等价于(x )(x2)2，即0a1时，原不等式的解集为(2，)；若 1或a0，于是a1时，解集为(，)(2，)；当0a1时，解集为(2，)；当a0时，解集为；当a0时，解集为(，2).若1x2，不等式ax22ax10恒成立，求实数a的取值范围【思路点拨】不等式的二次项系数为待定参数a，故要先分a
6、0和a0两大类进行讨论，然后结合数形结合法求解【解析】解法一从函数图象与不等式解集入手，不等式在(1,2上恒成立，即f(x)ax22ax1 在x(1,2时图象恒在x轴下方 当a0时，不等式变为10时，只需 可得a0；当a0时，只需f(1)0 即1a0，综上可得a1.解法二因不等式恒成立，所以不等式对应的函数在(1,2上的最大值恒小于0，从而转化为二次函数在闭区间上的最大值问题 设f(x)ax22ax1，当a0时，f(x)1，满足不等式f(x)0时，f(x)对称轴为x1，结合二次函数图象区间(1,2为f(x)的增区间，f(x)maxf(2)10成立 当a0时，f(x)对称轴为x1，区间(1,2为
7、f(x)的减区间，f(x)maxf(1)a10，a1，1af(x)恒成立kf(x)max(kf(x)max)；kf(x)(kf(x)恒成立kf(x)min(kf(x)min)3(理科)已知不等式mx22xm10.(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立，求x的取值范围【解析】(1)不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方注意讨论m0时的情况 当m0时，12x时不等式恒成立；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即 ，解得m.综上可知m.(2)从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为2,2，求参数x的取值范围 设f(m)(x21)m(12x)，它是一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当2m2时线段在x轴下方，即 ，解得 x .x的取值范围为x|x m0不符合题意【答案】x|x0恒成立，1k0不恒成立，当k1时，y3，对于y0恒成立，综上，k的取值范围是1k19.【答案】1k19
