1、高考第一轮复习（第高考第一轮复习（第10讲）讲）一、定义域为一、定义域为R R的二次函数的值域的二次函数的值域;44,0;,440442022222abacaabacyaabacabxayRxacbxaxy值域为时当时当为时的值域是先把它配方当求二次函数另外也可以从函数的图象上去理解。另外也可以从函数的图象上去理解。4,4)1(32:22值域为如xxxy21-121-13021-121-1302b4acbA(,)2a4a2b4acbA(,)2a4a二、定义域不为二、定义域不为R R的二次函数的值域的二次函数的值域练习练习322 xxy、的值域的值域当当x x(2,3 时时,求函数求函数例例1
2、1 3,03,2(yx时时从图象上观察得到当从图象上观察得到当)4,1)1(x322 xxy的值域的值域在下列条件下求函数在下列条件下求函数)11,2)1(y答答24x4321y1(1,4)3-1解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上例例2 求函数求函数y=x2-2x+3在区间在区间0，a上的最上的最 值，并求此时值，并求此时x的值。的值。2yxo13a 当当x=0时，时，ymax=3 当当x=a时，时，ymin=a2-2a+31.当当0a1时，函数在时，函数在0，a上单调递减，上单调递减，三、定函数动区间的二次函数的值三、定函数动区间的二次函数的值域域 当当x=0时，时，ymax=
3、3 当当x=a时，时，ymin=a2-2a+3 ,函数在函数在0,1上单上单 调递减调递减,在在1,a上单调递增上单调递增,当当x=1时时,ymin=2 当当x=0时，时，ymax=3yxo1322a解解:函数图象的对称轴为直线函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上抛物线开口向上例例2 求函数求函数y=x2-2x+3在区间在区间0，a上的最上的最 值，并求此时值，并求此时x的值。的值。2.当当1a2时时1.当当a1时，函数在时，函数在0，a上单调递减，上单调递减，,函数在函数在0,1上单调上单调 递减递减,在在1，a上单调递增上单调递增,当当x=1时时,ymin=2,当当x=a时时,ym
4、ax=a2-2a+3yxo132a2例例2 求函数求函数y=x2-2x+3在区间在区间0，a上的最上的最 值，并求此时值，并求此时x的值。的值。3.当当a2时时2.当当1a-1,-,对称轴在对称轴在x=-的右边的右边.2a2121(1)当当 -1 a时时,即即a0时时,由二次函数图象由二次函数图象2a可知可知:ymax=f()=2a4a24a22axyo-1a五、动函数动区间的二次函数的值域五、动函数动区间的二次函数的值域(2)当当a 时时,即即-1a0时时,2a综上所述综上所述:当当-1a-1,-,对称轴在对称轴在x=-的右边的右边.2a2121(1)当当 -1 a时时,即即a0时时,由二次
5、函数图象由二次函数图象2a可知可知:ymax=f()=2a4a2(2)当当a 时时,即即-1a0),方程方程 f(x)-x=0 的两根的两根x1,x2 满足满足 0 x1x2 .(1)当当 x(0,x1)时时,证明证明:xf(x)x1;(2)设函设函数数 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x=x0 对称对称,证明证明:x0 .1a2x10 x1x20,1+a(x-x2)=1+ax-ax21-ax20.1a当当 x(0,x1)时时,由由 x10 有有:F(x)=a(x-x1)(x-x2)0.即即 f(x)-x0,从而从而 f(x)x.又又 x1-f(x)=x1-x+F(x)=x1-x-a(x
6、-x1)(x-x2)=(x1-x)1+a(x-x2).x1-f(x)0,从而从而 x1f(x).故当故当 x(0,x1)时时,有有 xf(x)x1;(2)依题意依题意 x0=-.2ab由于由于 x1,x2 是方程是方程 f(x)-x=0 即即 ax2+(b-1)x+c=0 的两根的两根,x1+x2=-,b=1-a(x1+x2).b-1 a x0=-2ab1-a(x1+x2)2a=-a(x1+x2)-1 2a=.ax21,即即ax2-10,2x1a(x1+x2)-1 2a=.x0 2aax1故故 x00),方程方程 f(x)-x=0 的两根的两根x1,x2 满足满足 0 x1x2 .(1)当当
7、x(0,x1)时时,证明证明:xf(x)x1;(2)设函设函数数 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x=x0 对称对称,证明证明:x00 在在 0,上恒成立上恒成立,求实数求实数 a 的取值范围的取值范围.解解:(1)令令 t=sinx,则方程则方程 2sin2x-4asinx+1-a=0 在在 0,上有两个上有两个 不同的解等价于不同的解等价于:方程方程 2t2-4at+1-a=0 有一根为有一根为 0,另一根不在另一根不在(0,1)内内;或方程或方程 2t2-4at+1-a=0 在在(0,1)内有两等根内有两等根;或方程或方程 2t2-4at+1-a=0 有一解在有一解在(0,1)内内
8、,另一解在另一解在 0,1 外外.当当 t=0 时时,a=1,方程方程 2t2-4at+1-a=0 的另一根为的另一根为 2 且且 2(0,1),a=1 适合题意适合题意;方程方程 2t2-4at+1-a=0 有两等根时有两等根时,由由=16a2-8(1-a)=0 得得:a=-1 或或.12例例8.(1)设方程设方程2sin2x-4asinx+1-a=0 在在 0,上有两个不同的解上有两个不同的解,求实数求实数a 的取值范围的取值范围;(2)若不等式若不等式2sin2x-4asinx+1-a0 在在 0,上恒成立上恒成立,求实数求实数 a 的取值范围的取值范围.a=-1时时,方程方程 2t2-
9、4at+1-a=0 的两等根为的两等根为-1 但但-1(0,1),a=-1 不合题意不合题意,舍去舍去;12又又a=时时,方程方程 2t2-4at+1-a=0 的两等根为的两等根为 且且(0,1),1212a=适合题意适合题意;12 设设 f(t)=2t2-4at+1-a,则方程则方程 2t2-4at+1-a=0有一解在有一解在(0,1)内内,另一解在另一解在 0,1 外等价于外等价于:f(0)f(1)0,即即(1-a)(3-5a)0.解得解得 a1.35综上所述综上所述,实数实数 a 的取值范围是的取值范围是 a=,或或 a1.3512解法二解法二:分离参数分离参数:a=(0sinx0 在在
10、 0,上恒上恒成立等价于不等式成立等价于不等式 2t2-4at+1-a0 在在 0,1 上恒成立上恒成立.等价于等价于 或或 或或a0 0a1 f(a)0 a1 f(1)0.即即 或或 或或a0 0a1 2a2+a-11 3-5a0.解得解得 a0 在在 0,上恒成立上恒成立,求实数求实数 a 的取值范围的取值范围.【例例8】(06浙江浙江)设设 ，若，若a+b+c=0,f(0)0,f(1)0,求证：求证：（1）a0且且（2）方程）方程f(x)=0在在(0,1)内有两个实根。内有两个实根。2()32f xaxbxc21;ba【分析分析】通过已知条件消去通过已知条件消去c便可得到便可得到a与与b的关系的关系,从而得出从而得出b/a的范围，要证的范围，要证f(x)=0在在(0,1)内有两个实根，只需证明对称内有两个实根，只需证明对称轴在轴在(0,1)之间且顶点的纵坐标小于之间且顶点的纵坐标小于0即可。即可。
