1、 河南省百校联盟 2020 届高三联合检测 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.本试卷满分 150 分，测试时间 120 分钟. 5.考试范围：必修 15，选修 2-1，2-2，2-3. 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 2 340Mxxx， 1 0 3 N x x ，则MN等于（ ） A.43xx B.13xx C.34xx D.13xx 2.设复
2、数 z 满足 2 z i z ，则2z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知 2 log 6a ， 5 log 3b ， 0.8 2c ，则（ ） A.bac B.acb C.cab D.bca 4.2019 年 7 月 1 日， 上海市生活垃圾管理条例正式实施，生活垃圾要按照“可回收物” 、 “有害垃圾” 、 “湿 垃圾” 、 “干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚.若 某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物” 、 “有 害垃圾” 、 “湿垃
3、圾” 、 “干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为（ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 1 4 D. 3 4 5.函数 2 ln1x f x x 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 5 2 1 21x x 的展开式中 2 x的系数为（ ） A.15 B.5 C.10 D.15 7.已知非零向量a，b满足ak b，且 2bab，a，b的夹角为 2 3 ，则实数 k 的值为（ ） A.4 B.3 C.2 D. 1 2 8.周髀算经向来被认为是中国最古老的天文学及数学著作， 周髀算经的内容是以商高与周公的问答 形式陈述而成，主要阐明当时的盖天说、四分历法.由周髀算经
4、中关于影长的问题，可以得到从冬至起， 小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次构成等 差数列，若冬至的日影长为 13.5 尺，现在我们用如图所示的程序框图来求解这十二个节气日影长的和，执 行该程序框图，则输出的结果是（ ） A.94 尺 B.95 尺 C.96 尺 D.97 尺 9.在三棱锥PABC中，PA 底面 ABC，ABBC，E，F 分别为棱 PB，PC 的中点，过 E，F 的平面 分别与棱 AB，AC 相交于点 D，G，给出以下四个结论： /EFDG；/PAED；EDDG；ACFG. 则以上正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4
5、10.已知椭圆 22 22 :10 xy ab Cab的左右焦点分别为 1 F， 2 F，点 A 是椭圆上一点，线段 1 AF的垂直平 分线与椭圆的一个交点为 B，若 2 3ABF B，则椭圆 C 的离心率为（ ） A. 1 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 6 3 11.关于函数 coscosf xxx有下述四个结论： f x是偶函数； f x在区间,0 2 上单调递增； f x在, 上有 4 个零点； f x的最 大值为 2. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. B. C. D. 12.已知四棱锥P ABCD 的五个顶点都在球 O 的球面上，ABADCD，/BCAD，60ABC， P
6、AB是等边三角形，若四棱锥P ABCD 体积的最大值9 3，则球 O 的表面积为（ ） A.56 B.54 C.52 D.50 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.曲线21 lnyxx在点1,0处的切线方程为_. 14.若 x，y 满足约束条件 430 290 1 xy xy x ，则32zxy的最小值为_. 15.中国诗词大会是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美” 为宗旨.每一期的比赛包含以下环节： “个人追逐赛” 、 “攻擂资格争夺赛”和“擂主争霸赛” ，其中“擂主争 霸赛”由“攻擂资格争夺赛”获胜者与上一场擂主进行比拼.“擂主
7、争霸赛”共有九道抢答题，抢到并答对 者得一分，答错则对方得一分，率先获得五分者即为该场擂主.在中国诗词大会的某一期节目中，若进 行“擂主争霸赛”的甲乙两位选手每道抢答题得到一分的概率都是为 0.5，则抢答完七道题后甲成为擂主的 概率为_. 16.已知双曲线 22 22 :10,0a xy C ab b的右焦点为,0F c，离心率为 3 2 ，直线3: l yxc 与 C 交于 A， B 两点 （其中点 A 在 x 轴上方） ，OAF和OBF的面积分别记为 1 S和 2 S， 则 1 2 S S _. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 已知公差
8、不为 0 的等差数列 n a的前n项和为 n S，且 5 25S ， 2 a是 1 a和 5 a的等比中项. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T，若不等式 4 n k T 对任意的nN 都成立，求整数 k 的最小值. 18.（本小题满分 12 分） 在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2 3sin2cos0 2 AC B . （1）求角 B 的大小； （2）若 2 sin2sinsinBAC，且ABC的面积为4 3，求ABC的周长. 19.（本小题满分 12 分） 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中，1
9、ABAC， 且A BA C， 点 M 在棱 1 CC上， 点 N 是 BC 的中点， 且满足 1 AMB N. （1）证明：AM 平面 11 AB N； （2）若 1 CMC M，求二面角 111 AB NC的正弦值. 20.（本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点为 F，直线:1l yx与抛物线 C 相切于点 P，过点 P 作抛物线 C 的割线 PQ，割线 PQ 与抛物线 C 的另一交点为 Q，A 为 PQ 的中点.过 A 作 y 轴的垂线与 y 轴交于点 H，与 直线 l 相交于点 N，M 为线段 AN 的中点. （1）求抛物线 C 的方程； （2）在 x 轴上
10、是否存在一点 T，使得当割线 PQ 变化时，总有MTMH为定值？若存在，求出该点的 坐标；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 1 1ln 2 f xxaxx aR. （1）当 1 2 a 时，求 f x的单调区间； （2）若 f x存在两个极值点 1 x， 2 x，且 12 xx，证明： 12 12 1 4 4 f xf x a xx . 22.（本小题满分 12 分） 随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，有颜值、有口味、有趣味的产品更容 易得到甜品爱好者的喜欢，创新已经成为烘焙作品的衡量标准.某“网红”甜品店生产有几种甜品，由于口 味独特
11、，受到越来越多人的喜爱，好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡” ，已知该甜品店同一种甜 品售价相同， 该店为了了解每个种类的甜品销售情况， 专门收集了该店这个月里五种“网红甜品”的销售情况， 统计后得如下表格： 甜品种类 A 甜品 B 甜品 C 甜品 D 甜品 E 甜品 销售总额（万元） 10 5 20 20 12 销售额（千份） 5 2 10 5 8 利润率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 （利润率是指：一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值.） （1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于 0.2 的概率； （2）从该甜品店的五种
12、“网红甜品”中随机选取 2 种不同的甜品，求这两种甜品的单价相同的概率； （3）假设每类甜品利润率不变，销售一份 A 甜品获利 1 x元，销售一份 B 甜品获利 2 x元，销售一份 E 甜品获利 5 x元， 依据上表统计数据， 随机销售一份甜品获利的期望为 E x， 设 12345 5 xxxxx x ， 试判断 E x与x的大小. 参考答案 1.B 【解析】集合14Mxx ，集合3Nx x，所以13MNxx . 2.A 【解析】 由 2 z i z 可得， 2 12 1 111 iii zi iii ， 所以21zi 在复平面内对应的点为1,1， 位于第一象限. 3.D【解析】 22 log
13、 6log 42a ， 55 log 3log 51b ， 00.81 12222，即12c ，所以 bca. 4.D【解析】厨房里产生的“湿垃圾”只能丢到放“湿垃圾”的垃圾桶，该上海居民向四种垃圾桶内随意的 丢垃圾，有 4 种可能，投放错误有 3 种结果，故会被罚款和行政处罚的概率为 3 4 . 5.D 【解析】 因为函数 2 ln1x fx x ， fxf x， 所以函数 f x是偶函数， 图象关于 y 轴对称， 故排除 A、C 选项；又 ln1 20 2 f， ln3 20 2 f，故排除 B 选项. 6.A 【解析】 5 1x的通项公式为 5 155 C1C rrrrr r Txx ，
14、 当2r 时， 222 35 C10Txx， 当4r 时， 444 55 C5Txx，故 5 2 1 21x x 的展开式中 2 x的系数为521015 . 7.A【解析】 2bab， 2 2 222cos,0babba bba ba b ，且0a ，0b ， 2 2cos0 3 ba ，即 1 20 2 ba，4ab，4k . 8.C【解析】由程序框图可知， 1213.52.5 13.5 12.5 11.52.596 2 S . 9.B【解析】因为 E，F 分别为棱 PB，PC 的中点，所以/EFBC，可得/ /EF平面 ABC，平面 EFGD 与 平面 ABC 的交线为 DG，所以/EFD
15、G，故正确；当截面 EFGD 与棱 AB 的交点 D 是 AB 的中点时， /PAED， 否则PA与ED相交， 故错误； 由PA 底面ABC， 可得PADG， 由/EFDG可得/DGBC， 又ABBC，所以ABDG，所以DG 平面 PAB，所以EDDG，故正确；只有当截面 EFGD 与 AC 的交点 G 是 AC 的中点时，/PAFG，此时可得ACFG，否则 AC 与 FG 不垂直，故错误.所以正 确结论的个数是 2. 10.B 【解析】 由题意知 1 ABBF， 又 2 3A BFB， 所以线段 AB 过点 2 F且 22 2AFF B， 不妨设 2 F Bm， 故 1222 33FBABA
16、FF BF Bm，由椭圆定义可得 12 24FBF Bam，故 2 1 2 F Ba， 1 3 2 BFa， 2 AFa， 12 2AFaAFa，故点 A 为椭圆短轴的一个端点，不妨设0,Ab，过点 B 作BMx轴于 M，由 2 AOF和 2 BMF相似，又 22 2AFF B，可得 1 22 b MBAO，所以点 22 1 22 c F MF O， 所以点 3 , 22 cb B ， 代入椭圆的方程可得 22 22 9 1 44 cb ab ， 解得 2 2 1 3 c a ， 即 3 3 e . 11.A【解析】分段函数讨论.由 coscoscoscosfxxxxxf x，故正确； ,0
17、2 x 时， coscos2cosf xxxx，单调递增，故正确；, 2 x 时， coscos0f xxx，函数有无数个零点，故错误；函数为偶函数，故只需讨论 x 为正数的情况. 3 02,22,22 22 xkkkkkN 时， coscos2cosf xxxx，最大值为 2 3 2,2 22 xkkkN ， coscos0f xxx.故函数最大值为 2.故正确. 12.C【解析】 由题意知， 当四棱锥PABCD体积最大时， 平面PAB 平面 ABCD， 设PAB的边长为 a， 在等腰梯形 ABCD 中，易知ABADCDa，又60ABC，可得2BCa，所以等腰梯形 ABCD 的面积 2 13
18、3 3 2 224 Saaaa， 平面PAB 平面 ABCD 时， 棱锥的高即为PAB的高为 3 2 a， 所以四棱锥PABCD体积最大值为 23 13 333 9 3 3428 a Vaa， 解得2 3a ， 取BC的中点 1 O， 因为BAC与BDC是直角三角形，所以梯形 ABCD 的外接圆圆心是边 BC 的中点 1 O；又PAB是等边 三角形，其外接圆圆心 2 O是等边PAB的中心. 分别过 1 O， 2 O作梯形 ABCD、PAB所在平面的垂线， 则两垂线的交点 O 即是四棱锥PABCD的外接球球心，则四棱锥PABCD外接球的半径为 2 22 11 2 3113ROBBOOO ，所以球
19、 O 的表面积为 2 452R. 13. 330xy【解析】求导可得 21 2ln x yx x ，故切线斜率为3 1 y x ，故切线方程为 31yx，即330xy. 14. 5 【解析】如图所示，可行域为ABC，其中1,4A，1,1B，5,2C，当直线32zxy经 过点1,4A时， min 3 1 2 45z . 15. 15 128【解析】 抢答完七道题后甲成为擂主， 则第 7 题甲得 1 分， 前 6 题甲得 4 分乙得 2 分， 甲最后以 5:2 获胜，概率为 442 6 15 0.50.50.5 128 PC. 16. 1 7 【解析】设双曲线左焦为 F ，直线:3l yxc 过双
20、曲线的右焦点,0F c，倾斜角为120， 因为 3 2 e ，所以 3 2 c a ，可得 2 2 2 5 3 4 b a ，所以直线 l 与 C 的右支交于 A，B 两点，设FBm， FAkm，由双曲线的定义可知，2FBam，2FAakm，在 AF F 中，由余弦定理可得， 222 222 2cos60akmckmckm ，在 BF F 中，由余弦定理可得， 222 222 2cos120akmckmcm ， 整理得， 3 22 21 2 3 27 22 2 c ac a k c ac a ，又 1 2 FAS k SFB ，所以 1 2 1 7 S S . 17.【解析】因为 53 525
21、Sa，所以 3 5a ； 因为 2 a是 1 a和 5 a的等比中项，所以 2 215 aa a， 1 分 设公差为0d d ， 由题 1 2 111 25 4 ad ada ad ， 解得 1 1a ，2d . 4 分 所以21 n an. 5 分 （2）证明： 1 11111 21 212 2121 nn a annnn ， 6 分 111111111 11 233521212212 n T nnn . 8 分 所以 1 42 k ，2k ，故整数 k 的最小值为 2. 10 分 18.【解析】 （1）因为 2 3sin2cos0 2 AC B ， 所以 2 3sin2cos0 2 B B
22、 ， 2 分 所以 2 2 3sincos2sin0 222 BBB ， 又sin0 2 B ，所以3cossin0 22 BB ， 4 分 所以tan3 2 B ，因为0,B， 所以 23 B ，所以 2 3 B . 6 分 （2）由（1）知， 2 3 B ，ABC的面积为 123 sin4 3 234 acac ，所以16ac ， 由余弦定理得， 222 2cosbacacB， 222 2 2cos 3 bacac ， 222 bacac， 8 分 又 2 sin2sinsinBAC， 由正弦定理得 2 2bac，所以 2 32b ， 所以4 2b， 9 分 2 222 bacacacac
23、， 2 2 348acbacac，4 3ac ， 11 分 所以ABC的周长为4 34 2. 12 分 19.【解析】 （1）证明：因为 111 ABCABC是直三棱柱，所以 1 AAAB， 又ABAC， 1 ACAAA， 所以AB 平面 11 ACC A； 2 分 又AM 平面 11 ACC A，所以ABAM， 又 11 / /ABAB， 所以 11 ABAM，又 1 AMB N， 1111 ABB NB， 所以AM 平面 11 AB N. 5 分 （2）以 AB，AC， 1 AA分别作为 x，y，z 轴正方向建立空间直角坐标系Axyz，如图， 设 1 AAa，则0,0,0A，1,0,0B，
24、0,1,0C， 1 1,0,Ba，0,1, 2 a M ， 1 1 ,0 2 2 N ； 0,1, 2 a AM ， 1 1 1 , 2 2 B Na ； 7 分 因为 1 AMB N，所以 2 1 1 0 22 a AM B N， 解得1a ，即 1 1AA ， 所以 1 1,0,1B， 1 0,1, 2 M ， 1 0,1,1C， 1 0,1, 2 AM ， 1 1 1 , 1 2 2 B N ， 1 11 , 1 22 C N ， 设平面 11 B NC的法向量, ,nx y z， 则 1 1 0 0 B N n C N n ， 11 0 22 11 0 22 xyz xyz ，不妨设1
25、x ，则1y ，0z ， 故可取1,1,0n ， 9 分 由（1）知 1 0,1, 2 AM 可以作为平面 11 AB N的一个法向量. 于是 110 cos, 55 2 2 n AM n AM n AM . 11 分 所以，二面角 111 AB NC的正弦值为 15 5 . 12 分 20.【解析】 （1）由 2 1 2 yx ypx ，得 2 21yp y， 即 2 220ypyp. 依题意， 2 280pp . 解得2p . 所以抛物线 C 的方程为 2 4yx. 4 分 （2）由2p ，代入得 2 440yy，解得2y ，代入切线 l 得1x ，所以点1,2P， 5 分 设,Q m n
26、，则 2 4nm，所以 12 , 22 mn A . 7 分 依题意，将直线 2 2 n y ，代入直线 l， 得 2 , 22 n n N ， 所以 AN 的中点为 12 , 42 mnn M ， 7 分 又 2 4nm，所以 2 2 12 41 442 mnnn n ， 所以 AN 的中点 M 在抛物线 C 上. 9 分 由抛物线的定义可知，当 T 为抛物线 2 4yx的焦点1,0时，MT等于 M 到抛物线准线1x的距离， 所以1MTMH. 11 分 所以存在点1,0T，使得MTMH恒为定值 1. 12 分 21.【解析】 f x的定义域为0,， 当 1 2 a 时， 2 11 ln 24
27、 fxxxx， 2 211112 2222 xxxx fxx xxx . 令 0fx，则1x ， 当1x 时， 0fx；当01x时， 0fx. 所以 f x在1,上单调递增，单调减区间为0,1. 4 分 （2）因为 2 111 1lnln 222 f xxaxxxaxx， 所以 2 1122 22 axx fxax xx . 5 分 因为 f x存在两个极值点，所以 2 220axx在0,上有两个不同实根. 且 12 1 2 xx a ， 12 1 x x a ，所以 0 1 160 a a ， 所以 1 0 16 a. 7 分 因为 22 121212 12 1212 11 lnln 22
28、xxa xxxx f xf x xxxx 12 12 lnln1 4 xx xx . 9 分 要证 12 12 1 4 4 f xf x a xx ， 只需证 12 1212 lnln2 4 xx a xxxx 9 分 即证 1 2 1 1 2 2 21 ln 1 x xx x x x . 令 1 2 1 x t x ，只需证 21 ln 1 t t t . 10 分 令 21 ln 1 t g tt t ， 10g， 所以 2 2 114 0 1 1 t gt tt t t ， 所以 g t在1,上单调递增， 因为1t ，所以 1g tg， 即 21 ln0 1 t t t . 所以 12
29、12 1 4 4 f xf x a xx . 12 分 22.【解析】 （1）由题意知，本月共卖出 3 万份甜品， 利润率高于 0.2 的是 A 甜品和 D 甜品，共有 1 万份. 设“这份甜品利润率高于 0.2”为事件 A，则 3 1 P A . 4 分 （2）用销售总额除以销售量得到甜品的销售单价，可知 A 甜品与 C 甜品的销售单价为 20 元， 从五种“网红甜品”中随机选取 2 种不同的甜品共有 2 5 C种不同方法， 设“两种甜品的单价相同”为事件 B， 则 2 2 2 5 1 10 C P B C . 6 分 （3）由题意可得，x 可能取的值为 8，5，3，10， 7 分 51 8 306 P x ， 21 5 3015 P x ， 1083 3 305 P x ， 51 10 306 P x ， 因此 113177 85310 6155615 E x ； 10 分 又 853 10329 55 x ， 所以 E xx. 12 分
