1、 1 江苏省江苏省 2020 年年 2 月高三最后一届特供模拟试卷月高三最后一届特供模拟试卷 数学试题含附加题数学试题含附加题 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分请把答案写在答题纸的指定位置上分请把答案写在答题纸的指定位置上 1已知集合 A2，1，2，Bx|x22，则 AB 2设 i 为虚数单位，若复数满足（1i）zi，则的虚部为 3采取分层抽样的方式从军区总院和鼓楼医院共抽取 100 名医生支援湖北，已知从军区总院全体 900 名医 生中抽取的人数为 40，则鼓楼医院的医生总人数为 4在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C：
2、y24x21 的渐近线方程为 5已知某厂生产的 6 个网球中有 2 个是劣等品，且劣等品只要被检测就一定会被发现，现从这 6 个网球中 任取 3 个进行检测，则检测出劣等品的概率是 6执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 7等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S104S5100，则 an的通项公式为 8已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x）在区间0，+）上单调递增，则不等式 f（1）f（2lgx） 的解集为 9在平面直角坐标系 xOy 中，奇函数 yf（x）的图象可由函数 g（x）cos（3x+） （| 2）的图象向左 平移 4个单位得到，则 10已知某四面体 ABCD 的
3、两个面 ABC 和 BCD 均是边长为 2 的正三角形，且 AD1，则该四面体的体 积为 11在平面直角坐标系 xOy 中，A 的坐标为（2，0） ，B 是第一象限内的一点，以 C 为圆心的圆经过 O、A、 B 三点，且圆 C 在点 A，B 处的切线相交于 P，若 P 的坐标为（4，2） ，则直线 PB 的方程为 2 12已知函数 f（x）= 1 ，0 + ，0 ，若 g（x）f（x）kx 有两个不等的零点，则实数 k 的取值范围 为 13 在ABC 中， D 为 AC 的中点， 若 cosDBC= 3 5， cosDBA= 7 25， 且 =2， 则 的值为 14在平面直角坐标系 xOy 中
4、，异于原点的 A、B、C 三点满足 OA2+2OB2+3OC26，则ABC 面积的最大 值为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过 程或演算步骤程或演算步骤 15 （14 分）已知角 （0，） ，且满足 sin= 15 4 （1）若 是锐角，求 tan（ 3） ； （2）若 是钝角，求 cos（2+ 4） 16 （14 分）将正方体 ABCDA1B1C1D1沿三角形 A1BC1所在平面削去一角可得到如图所示的几何体 （1）连结 BD，BD1，证明
5、：平面 BDD1平面 A1BC1； （2）已知 P，Q，R 分别是正方形 ABCD、CDD1C1、ADD1A1的中心（即对角线交点） ，证明：平面 PQR 平面 A1BC1 17（14 分） 某工厂打算设计一种容积为 2m3的密闭容器用于贮藏原料， 容器的形状是如图所示的直四棱柱， 其底面是边长为 x 米的正方形，假设该容器的底面及侧壁的厚度均可忽略不计 （1）请你确定 x 的值，使得该容器的外表面积最小； （2）若该容器全部由某种每平方米价格为 100 元的材料做成，且制作该容器仅需将购置的材料做成符合 需要的矩形，这些矩形即是直四棱柱形容器的上下底面和侧面（假设这一过程中产生的费用和材料损
6、耗 可忽略不计） ，再将这些上下底面和侧面的边缘进行焊接即可做成该容器，焊接费用是每米 500 元，试确 定 x 的值，使得生产每个该种容器的成本（即原料购置成本+焊接费用）最低 3 18 （16 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左右焦点分别为 F1、F2，左右顶点分别为 A、B，上顶点为 T，且TF1F2为等边三角形 （1）求此椭圆的离心率 e； （2）若直线 ykx+m（k0）与椭圆交与 C、D 两点（点 D 在 x 轴上方） ，且与线段 F1F2及椭圆短轴分 别交于点 M、N（其中 M、N 不重合） ，且|CM|DN| 求 k 的值； 设 AD、BC 的斜率分别为 k1
7、，k2，求1 2的取值范围 19 （16 分）已知函数 f（x）axa x，a0 且 a1，函数 g（x）= 1:2 （1）判断并证明 f（x）和 g（x）的奇偶性； （2）求 g（x）的值域； （3）若xR，都有|f（x）|g（x）|成立，求 a 的取值范围 20 （16 分）若数列an满足：对任意 nN*，均有 anbn+cn成立，且bn，cn都是等比数列，则称（bn， cn）是数列an的一个等比拆分 （1）若 an2n，且（bn，bn+1）是数列an的一个等比拆分，求bn的通项公式； （2）设（bn，cn）是数列an的一个等比拆分，且记bn，cn的公比分别为 q1，q2； 若an是公比为
8、 q 的等比数列，求证：q1q2q； 若 a11，a22，q1q21，且对任意 nN*，an+13anan+1an+2+an+2an恒成立，求 a3的取值范围 选做题选做题 （在 （在 21、22、23 三小题中选做三小题中选做 2 题，若多做按前两题计分，每小题题，若多做按前两题计分，每小题 10 分，计分，计 20 分请把答案写分请把答案写 在答题纸的指定区域内 ）在答题纸的指定区域内 ）选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）已知 A= 3 1 10，= 3 2，求 A 1a 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）曲线 C 的参数方程
9、为 = 1;22 1:22 = 22 1:22 ，直线 l 的参数方程为 = 1 + 2 = 3 （1）求曲线 C 的一般方程； 4 （2）求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 x，y0，且 xy4，证明： 2:4 + 2:4 1 2 必做题必做题（第（第 24、25 题，每小题题，每小题 10 分，计分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）分请把答案写在答题纸的指定区域内） 24 （10 分）如图所示是一个上下底面均是边长为 2 的正三角形的直三棱柱，且该直三棱柱的高为 4，D 为 AB 的中点，E 为 CC1的中点 （1）求 DE
10、与平面 ABC 夹角的正弦值； （2）求二面角 AA1DE 的余弦值 25 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A1，A2，An，B1，B2，Bn，均在抛物线 xy2 上， 线段 AnBn与 x 轴的交点为 Hn 将OA1B1， H1A2B2， ， HnAn+1Bn+1， 的面积分别记为 S1， S2， ， Sn+1，已知上述三角形均为等腰直角三角形，且它们的顶角分别为 O，H1，Hn， （1）求 S1和 S2的值； （2）证明：nsnn2 5 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分请把答案写在答题纸的指定位置上分请把
11、答案写在答题纸的指定位置上 1 【详解详析】集合 A2，1，2， Bx|x22x|x 2或 x2， AB2 故答案为：2 2 【详解详析】由（1i）zi，得 z= 1; = (1:) (1;)(1:) = 1 2 + 1 2， = 1 2 1 2， 则的虚部为 1 2 故答案为： 1 2 3 【详解详析】已知从军区总院全体 900 名医生中抽取的人数为 40，则则从鼓楼医院抽取的医生总人数为 1004060， 设鼓楼医院的医生总人数为 m，这由60 = 40 900，m1350， 故答案为：1350 4 【详解详析】由题意 a21，b2= 1 4，焦点在 y 轴上，所以渐近线的方程为：y= x
12、，即 y 2x， 故答案为：y 2x 5 【详解详析】某厂生产的 6 个网球中有 2 个是劣等品，且劣等品只要被检测就一定会被发现， 现从这 6 个网球中任取 3 个进行检测， 基本事件总数 n= 6 3 = 20， 检测出劣等品包含的基本事件个数 m= 2 142 + 2 241 =12， 则检测出劣等品的概率是 p= = 12 20 = 3 5 故答案为：3 5 6 【详解详析】i3，n1， 第一次执行循环体后，n4，i6，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，n10，i9，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，n19，i12，不满足退出循环的条件； 第四次执行循环体后，n31
13、，i15，不满足退出循环的条件； 第五次执行循环体后，n46，i18，满足退出循环的条件； 故答案为：输出 i 值为 18， 6 7 【详解详析】设公差为 d，由 S104S5100，可得 101+ 109 2 = 100 51+ 54 2 = 25 ，解得 a11，d2， 故 an2n1， 故答案为：an2n1 8 【详解详析】函数 f（x）是偶函数，xR，都有 f（x）f（x）f（|x|） ； 又由于 f（x）在区间0，+）上单调递增， 不等式 f（1）f（2lgx）f（1）f（|2lgx|）12|lgx|； lgx 1 2或 lgx 1 2 解得 x10或 0x 10 10 ； 不等式
14、f（1）f（2lgx）的解集为：x|x10或 0x 10 10 故答案为：x|x10或 0x 10 10 9 【详解详析】由题意可得函数 g（x）cos（3x+） （| 2）的图象向左平移 4个单位得到奇函数 yf（x） 的图象， 而把函数 g（x）cos（3x+） （| 2）的图象向左平移 4个单位得到 ycos（3x+ 3 4 +）的图象， 3 4 +k+ 2，kZ，= 4， 故答案为： 4 10 【详解详析】如图， ABC 与BCD 均为等边三角形，边长为 2，AD1， 取 AD 中点 O，连接 OB，OC，可得 OBOC= 22 (1 2) 2 = 15 2 ， = 1 2 2 ( 1
15、5 2 )2 12= 11 2 ;= 1 3 11 2 1 = 11 6 故答案为： 11 6 7 11 【详解详析】根据题意，A 的坐标为（2，0） ，以 C 为圆心的圆经过 O、A、B 三点，则圆心 C 在线段 OA 的垂直平分线上， 设圆心 C 的坐标为（1，b） ， 圆 C 在点 A，B 处的切线相交于 P，若 P 的坐标为（4，2） ，则 kPA= 2;0 4;2 =1，则 kAC= ;0 1;2 = 1， 解可得：b1，即 C（1，1） ，圆 C 的半径 r|AC|= 2， 其圆 C 的方程为（x1）2+（y1）22，直线 PB 的斜率必定存在， 设 PB 的方程为 y2k（x4）
16、 ，即 kxy4k+20， 则有|;3:1| 1:2 = 2，解可得 k= 1 7或 1（舍） ； 故 PB 的方程为 y2= 1 7（x4） ，变形可得 x+7y180； 故答案为：x+7y180 12 【详解详析】函数 g（x）f（x）kx 有两个不等的零点，即方程 f（x）kx 有 2 个不等根， 因为 x0，所以也等价于() =k 有 2 个不等实根，根据条件令 h（x）= () = 1 1 2 ，0 + ，0 ， 因为 x0 时，h（x）1 1 2 1， x0 时，h（x）= 1; 2 ，当 0xe 时，h（x）单调递增，当 xe 时，h（x）单调递减， 且当 x+时，h（x）e，
17、作出函数 f（x）的图象如图： 根据图象可知，k（，1）（e，e+ 1 ） ， 故答案为： （，1）（e，e+ 1 ） 8 13 【详解详析】记 ABc，ACb，BCa， 则 =cbcosBAC= 2:2;2 2 =2，即 b24+a2c2， 因为 D 为 AC 的中点，所以 SDCBSDBA，即4 5 = 24 25，所以 a= 6 5， 又由 cosABCcos（DBA+DBA）= 7 25 3 5 24 25 4 5 = 3 5 = 2:2;2 2 ，解得 c2= 50 43， 则 = 3 5ac= 3 5 6 5c 2= 36 43， 故答案为： 36 43 14 【详解详析】如图，以
18、 A 为坐标原点建系，设 ABa，O（x，y） ， OA2+2OB2+3OC26， OA2+2OB263OC2， x2+y2+2（xa）2+y263OC2，化简得( 2 3) 2 + 2= 2 2 2 9 2， 所以 y 的最大值为2 2 2 9 2， 所以 2 2 2 9 2+ 2(2 2 2 9 2+ 2) = 21 1 9 2， 所以 1 2 1 1 9 2= 2(1 1 9 2) = 31 9 2(1 1 9 2) 3 2，当且仅当“ = 32 2 ”时取等号，经 验证成立 故答案为：3 2 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域
19、内作答，解答时应写出文字说明，证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过 程或演算步骤程或演算步骤 15 【详解详析】 （1） 时锐角， cos0， = 1 2 = 1 4， = = 15， ( 3) = ; 3 1: 3 = 43;15 11 ； 9 （2） 是钝角， cos0， = 1 2 = 1 4， 2 = 2 2 = 7 8，2 = 2 = 15 8 ， (2 + 4) = 2 4 2 4 = 30;72 16 16 【详解详析】证明： （1）连接 AC，正方体 ABCDA1B1C1D1， AA1CC1， A，A1，C，C1共面， 正方体 ABCDA1B1C1D1
20、， DD1平面 A1C1D1， A1C1在平面 A1C1D1内， DD1A1C1， 正方体 ABCDA1B1C1D1， 四边形 ABCD 为正方形， ACBD， 正方体 ABCDA1B1C1D1， AA1平面 ABCD， BD 在平面 A1C1D1内， AA1BD， ACAA1A 且都在平面 AA1C1C 捏， BD平面 AA1C1C， A1C1在平面 AA1C1C 内， BDA1C1， BDDD1D，且都在平面 BDD1内， A1C1平面 BDD1， A1C1在平面 A1BC1内， 平面 BDD1平面 A1BC1； （2）连接 A1D，BD，C1D， P，Q，R 分别是正方形 ABCD，CD
21、D1C1，ADD1A1的中心， P，Q，R 分别是 BD，C1D，A1D 的中点， 10 PQBC1， BC1在平面 A1BC1内，PQ 不在平面 A1BC1内， PQ平面 A1BC1， 同理可得 PR平面 A1BC1， 又 PQPRP 且都在平面 PQR 内， 平面 PQR平面 A1BC1 17 【详解详析】 （1）设该容器高为 h，据体积为 2m3得 x2h2，即 = 2 2， 设该容器的外表面积为 S，则 = 22+ 4 = 22+ 8 ，0，则 = 4 8 2 = 4(; 2 3 )(2: 2 3 : 4 3 ) 2 ， 令 S0，解得2 3 ，此时函数 S（x）单调递增，令 S0，解
22、得02 3 ，此时函数 S（x）单调递减， 当 = 2 3 时，该容器的表面积最小； （2）设生产每个容器的成本为 C（单位：元） ，则 = 100 + 500(8 + 4) = 200(2+ 20 + 4 + 20 2)，0， = 400(:10)(; 2 3 )(2: 2 3 : 4 3 ) 3 ， 令 C0，解得2 3 ，此时函数 C（x）单调递增，令 C0，解得02 3 ，此时函数 C（x）单调递 减， 当 = 2 3 时，生产每个容器的成本最低； 18 【详解详析】 （1）设 2 2 + 2 2 = 1(0)的半焦距为 c， 由TF1F2为等边三角形得 a2c， 即椭圆的离心率 =
23、= 1 2； （2）设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，由 ykx+m，可知( ，0)，N（0，m） ， 联立 ykx+m 与 2 2 + 2 2 = 1，整理得（a2k2+b2）x2+2kma2x+a2m2a2b20， 11 其中4a2b2（a2k2+b2m2）0， 易值，x1+x2xM+xN，即 22 22:2 = ， 解得2= 2 2 = 1 2= 3 4， 因为，k0，所以 = 3 2 ， 由 M 在线段 F1F2，且 M，N 不重合， 可知，= = ，0) (0， 从而 ，0) (0， ， 即1= 2 2:，1 = 1 1;，并结合在曲线上，则有， 所以1 2 2 2= 2
24、2 1 2 (1;)2 (2:)2 = 2;2 2 ;1 2 (1;)2 (2:)2 = (1;)(2;) (1:)(2:) = 12;(1:2):2 12:(1:2):2 = (:)2 (;)2， 从而可得，1 2 = : ; = 1 2 ; ; : ，1) (1， : ;， 所以1 2的取值范围为 1 3，1) (1，3 19 【详解详析】 （1）首先，f（x） ，g（x）的定义域都是 R，是关于原点对称的， 其次，f（x）a xa（x）（axax）f（x） ，() =; 1:(;)2 = 1:2 = ()， 函数 f（x） ，g（x）均为奇函数； （2）当 x0 时，g（0）0； 当 x
25、0 时，() = 1:2 = 1 :1 ， 令 = + 1 ( 0)，则由双勾函数的性质可知，t（，22，+） ， 1 1 2，0) (0， 1 2，即此时() 1 2，0) (0， 1 2， 综上，函数 g（x）的值域为 1 2， 1 2； （3）考虑到函数 f（x） ，g（x）都是奇函数，故只需保证 x0 时都有|f（x）|g（x）|即可， 这是因为当 x0 时，|f（x）|f（x）|，|g（x）|g（x）|， 先考虑 a1 的情形，此时 f（x）axa x110，g（x）0， 因此只需当 x0 时，f（x）g（x）0 恒成立即可， 令() = ; 1:2 ， 0，则() = (+ ;)
26、+ 2;1 (1:2)2， 令() = 2;1 (1:2)2 ， 0，则() = 2(3;2) (1:2)3 ， 12 当 0，3)时，（x）0，即 （x）单增，故此时 （x）min（0）1； 当 3，+ )时，() = 2;1 (1:2)2 0，故 x0 时，（x）气的最小值1， 若 ，则 h（x）（ax+a x）lna+（x）2lna10， h（x）单增，故 h（x）h（0）0，符合题设； 若1，则(0) = 10，(1) = ( + 1 )0，且 0x1 时，() = ( ;)2 + 2(3;2) (1:2)3 0，h（x）单增， 故由零点存在性定理可知存在 x0（0，1） ，使得 h（
27、x0）0， 且 x（0，x0）时 h（x）0，h（x）单减，当 x（x0，1）时 h（x）0，h（x）单增， 则 h（x0）h（0）0，不符合题意， 故 ，+ )； 再考虑 0a1 的情形，此时|()| |()| = (1 ) (1 ) ; 1:2， 此时的1 与中的 a 地位等价，同理可知 1 ，即 (0， 1 ， 综合可知，实数 a 的取值范围是(0， 1 ，+ ) 20 【详解详析】 （1）设数列bn的公比为 q0，则1 0;1+ 1 0= 2（b1q00）对任意 nN*成立， 令 n1，2 可得：1 + 10= 2 10+ 102= 4，解得： 1= 2 3 0= 2， = 2 3 2
28、;1= 2 3 ，经检验符合题意； （2）由 anbn+cn，可得1;1= 11;1+ 12;1， 令 n1，2，3 得： 1= 1+ 1(1) 1 = 11+ 12(2) 12= 112+ 122(3) （1）代入（2）得 b1（q1q）c1（qq2） ， （2）代入（3）得 b1q1（q1q）c1q2（qq2） ， 如果 q1，q2不全等于 q，显然它们一定都不等于 q， 因此考虑 q1q 且 q2q 的情况，此时用后式除以前式可得 q1q2， 再将其代入到 a1b1+c1，a1qb1q1+c1q2，可得 q1q2q，矛盾， 因此只能 q1q2q，经验证符合题意； 令 Tn= :12 :2
29、， 则当 n 为偶数时，= (11+ 1 1 1) 2 (11;1 1 1 11)(11 :1 1 1 1+1) = 11(1 + 1 1) 2， 同理，当 n 为奇数时，可算的= 11(1+ 1 1) 2， 13 所以对任意 nN*，均有 Tn+1Tn成立 由 Tn+1Tn可得:22 :1:3= :12+ :2， 因为 an0，因此可化简得+2; +1 = +3;+1 +2 ， 所以+2; +1 = 3;1 2 = 3;1 2 ， 要使原不等式恒成立，显然必有 an0，即:12:2+ +2; +1 恒成立， 而 T14a3，因此可得 4 3 3;1 2 3 4 3;1 2 ，解得 3a37，
30、 综上所述，a3的取值范围为（3，7） 选做题选做题 （在 （在 21、22、23 三小题中选做三小题中选做 2 题，若多做按前两题计分，每小题题，若多做按前两题计分，每小题 10 分，计分，计 20 分请把答案写分请把答案写 在答题纸的指定区域内 ）在答题纸的指定区域内 ）选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 【详解详析】设 A 1= ，由 A 1A= 10 01，可得： 3 3 = 10 01， 3ab1，a0，3cd0，c1 解得 a0，b1，c1，d3 A 1a= 01 13 3 2 = 2 9 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 【详解详析】 （1）
31、曲线 C 的参数方程为 = 1;22 1:22 = 22 1:22 ，x2+y2= 1;42:44 1:42:44 + 82 1:42:44 =1， 即曲线 C 的一般方程为 x2+y21 （2）直线 l 的参数方程为 = 1 + 2 = 3 ，即 y= 3（;1 2 ） ，即 3x2y3 =0， 圆心 O 到直线 l 的距离为 d= |0;0;3| 3:4 = 3 7， 弦长为 222=21 3 7 = 47 7 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 【详解详析】x，y0 且 xy4， 2:4 + 2:4 = 2: + 2: = (:) + (:) = 1 1 : + 1 1 :
32、= 1 + 1 2 : 2 1 2 2 = 1 2，当且仅当 xy2 时等号成立， 2:4 + 2:4 1 2 14 必做题必做题（第（第 24、25 题，每小题题，每小题 10 分，计分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）分请把答案写在答题纸的指定区域内） 24 【详解详析】 （1）如图所示，建立空间直角坐标系 D（ 3 2 ，1 2，0） ，E（0，2，2） ， =（ 3 2 ，3 2，2） ， 平面 ABC 的法向量为 =（0，0，1） DE 与平面 ABC 夹角的正弦值|cos ， |= | | | | |= 2 7 = 27 7 （2）设平面 A1DE 的法向量为 =（x，
33、y，z） ，由 = 1 =0，可得 3 2 x+ 3 2y+2z0，2y2z0， 取 =（7，3，3） 同理可得平面 AA1D 的法向量 = =（ 3 2 ，3 2，0） ， cos ， = ;23 553 = 255 55 二面角 AA1DE 的余弦值为255 55 25 【详解详析】 （1）由 OA1：yx 与 xy2联立可得 x0 或 1，故 A1（1，1） ，即 S11， 由 H1A2：yx1 与 xy2联立可得 x= 35 2 ， 故 A2（3:5 2 ，1:5 2 ） ， 因此 S2（1:5 2 ）2= 3:5 2 ； （2）设 A1，A2，An，的纵坐标为 x1，x2，xn， 可
34、得 Snxn2，且 HnAn+1：yx（xn+xn1+x1） ， 与 xy2联立可得 xn+1xn+12（xn+xn1+x1） ，即 :1 1 xixn+12， 将 :1 1 xixn+12与 1 xixn2相减可得 xn+1xn+12xn2， 进而解得 xn+1= 1 2 + 2+ 1 4， 15 下面运用数学归纳法证明 nSnn2 当 x1，2 时，S11，S23:5 2 ，符合题意； 当 nk 时，假设 xkk 成立， 一方面，xk+1 + 1 = 1 2 + 2+ 1 4 + 1 1 2 + + 1 4 + 1 = 2(:1 4:1);3 4(:1 4:1) 0，即有 + 1 xk+1； 另一方面，xk+1（k+1）= 1 2 + 2+ 1 4 （k+1） 2+ 1 4 （k+ 1 2）0，即有 xk+1k+1 可得 nk+1 时， + 1 xk+1k+1 因此 xnn，即 nSnn2
