1、深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 1 页 共 16页 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试 理科数学试题答案及评分参考 一、选择题 1. B 2. B 3. C 4. A 5. C 6. D 7. B 8. A 9. D 10. B 11. D 12. C 12. 解析：当 462 时，即 8 3 时， max ( )1 3 f x = =，解得3=； 当 462 时，即 8 0 3 时， max ( )sin() 463 f x =， 令 ( )sin() 46 g =，( ) 3 h =， 如图，易知 ( )yg= ， ( )yh=
2、的图象有两个交点 11 (,)Ay， 22 (,)By， 所以方程 sin() 463 =有两个实根 12 ， 又 888 ( )1( ) 393 gh= =，所以易知有 12 8 3 ， 所以此时存在一个实数 1 =满足题设， 综上所述，存在两个正实数满足题设，故应选 C. 二、填空题： 13. 3 14. 63 15. 4 15 16. 4 3 16. 解析：由对称性不妨设m n ，易知线段MN所在直线的方程为 1 2 yx=， 又 2 11 22 xxx+，点P必定不在曲线C上， 不妨设 1 ( ,) 2 P t t ，()mtn ，且过点P的直线l与曲线C相切于点 2 000 1 (,
3、) 2 Q xxx+， 易知 0 |x x PQ yk = =，即 2 00 0 0 11 ()() 22 1 xxt x xt + + = ，整理得 2 00 210xtx =， （法一）显然 0 0x ，所以 0 0 1 2tx x =， 令 1 ( )f xx x =， 1,0)(0,3x U， 绝密绝密启封并使用完毕前启封并使用完毕前 试题类型：试题类型：A 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 2 页 共 16页 如图，直线2yt=和函数( )yf x=的图象有两个交点， 又( 1)0f =，且 8 (3) 3 f=， 8 02 3 t，即 4
4、 0 3 t ， 4 0 3 mn，|mn的最大值为 4 3 ，故应填 4 3 （法二）由题意可知 0 13x ，令 2 ( )21f xxtx=， 函数( )f x在区间 1,3上有两个零点， 则 2 ( 1)20 (3)860 13 440 ft ft t t = = =+ V ，解得 4 0 3 t ， 4 0 3 mn，|mn的最大值为 4 3 ，故应填 4 3 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S， 222 +2abcS=. （1）求cosC； （2）若cossinaBbA
5、c+=，5a =，求b. 解：（1） 222 1 =sin2 2 SabCabcS+=， 222 sinabcabC+=， 2 分 在ABC中，由余弦定理得 222 sinsin cos 222 abcabCC C abab + =， sin=2cosCC， 4 分 又 22 sin+cos C=1C， 2 5 5cos C=1cosC= 5 ， 由于 (0,)C ，则sin0C ，那么cosC0，所以 5 cosC= 5 . 6 分 （2）（法一）在ABC中，由正弦定理得sincossinsinsinABBAC+=，7 分 sinsin()sin()sincoscossinCABABABAB
6、=+=+=+ ， 8 分 sincossinsinsincoscossinABBAABAB+=+，即sinsincossinBAAB=， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 3 页 共 16页 又 ,(0,)A B ，sin0B，sin=cosAA，得 4 A =. 9 分 sinsin()sin()BACAC=+=+ ， 10 分 2522 53 10 sinsincoscossin 252510 BACAC=+=+= ， 11 分 在ABC中，由正弦定理得 3 10 5 sin 10 3 sin2 2 aB b A =. 12 分 （法二）coss
7、inaBbAc+=， 又coscosaBbAc+=， cossincoscosaBbAaBbA+=+， 8 分 即sincosAA=，又 (0,)A ， 4 A=. 9 分 在ABC中，由正弦定理得 2 5 5 sin 5 2 2 sin2 2 aC c A =. 10 分 coscosbCAaC=+， 25 2 253 25 c =+=. 12 分 （法三）求A同法一或法二 在ABC中，由正弦定理得 2 5 5 sin 5 2 2 sin2 2 aC c A =， 10 分 又由余弦定理 222 2coscababC=+，得 2 230bb =，解得1b =或3b =. 所以3b =. 12
8、 分 （余弦定理 222 2 cosabcbA=+，得 2 430bb+=，解得1b =或3b =. 因为当1b =时， 222 +-20abc=，不满足cosC0 (不满足 222 +22abcS= )，故舍去，所以3b =） 【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三 角形问题，检验学生的数学知识运用能力. 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 4 页 共 16页 （第 18 题图） 18（本小题满分 12 分） 如图， 在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD是平行四边形， 点M，N分别在棱
9、 1 CC， 1 A A上，且 1 2C MMC=， 1 2ANNA=. （1）求证： 1/ NC平面BMD； （2）若 1 322AAABAD=， 3 DAB=，求二面角 NBDM的正弦值. 解：（1） 证明：（法一） 如图， 连接AC交BD于点G， 连接MG 设 1 C M的中点为E，连接AE2 分 ,G M是在ACE边,CA CE的中点， /MG AE， 3 分 又 1 2C MMC=， 1 2ANNA=， 11 /AA CC， 四边形 1 ANC E是平行四边形，故 1/ NCAE， 1/ NCGM， 4 分 GM 平面BMD， 1/ NC平面BMD. 5 分 （法二） 如图， 设E是
10、 1 BB上一点， 且 1 2BEBE=， 连接 1 EC. 设G是BE的中点，连接GM. 1 分 11 /BEMCBE MC=， 四边形 1 BEC M是平行四边形，故 1/ ECBM， 2 分 又BM 平面BMD， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 5 页 共 16页 1/ EC平面BMD， 3 分 同理可证/NE AG，/AG DM，故/NE DM， /NE平面BMD， 4 分 又 1 ECNE ，平面 1 NEC，且 1 NEC EE=， 平面 1/ NEC平面BMD， 又 1 NC 平面 1 NEC，所以 1/ NC平面BMD.5 分 （2
11、）（法一）设二面角NBDM为，二面角 NBDA为，根据对称性，二面角MBDC 的大小与二面角NBDA大小相等，故2=， sinsin(2 )sin2=. 下面只需求二面角MBDC的大小即可. 7 分 由余弦定理得 222 2cos3BDADABAD ABDAB=+=， 故 222 ABADBD=+ ，ADBD. 8 分 四棱柱 1111 ABCDABC D为直棱柱， 1 DD 底面ABCD， 1 DDBD ， 9 分 又 1 ,AD DD平面 11 ADD A， 1 ADDDD= ， BD平面 11 BDD B， 10 分 ND平面 11 ADD A， NDBD ， 所以二面角NBDA的大小为
12、NDA，即 NDA= ， 在RtNAD中， 12 sin 22 AN ND = ， 11 分 4 =， 2 =， 二面角NBDM的正弦值为1. 12 分 （法二）由余弦定理得 222 2cos3BDADABAD ABDAB=+=， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 6 页 共 16页 故 222 ABADBD=+，ADBD. 6 分 以D为坐标原点O，以 1 ,DA DC DD分别为, , x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意有(0,0,0)D，(0, 3,0)B，( 1, 3,1)M ，(1, 3,1)N， (0, 3,0)DB =，
13、( 1, 3,1)DM = ，(1, 3,1)DN =，7 分 设平面MBD的一个法向量为( , , )nx y z=， 0 0 n DB n DM = = ， 30 30 y xyz = += ， 令1x =，则1z =，0y =，(1,0,1)n =，9 分 同理可得平面NBD的一个法向量为(1,0, 1)m=，10 分 所以 0 cos,0 |22 m n m n m n = ， 11 分 所以二面角NBDM的大小为 2 ， 正弦值为1. 12 分 【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力， 考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力. 19（本小
14、题满分 12 分） 已知以F为焦点的抛物线 2 :2(0)C ypx p=过点(1, 2)P，直线l与C交于A，B两点，M为 AB中点，且OMOPOF+= uuuruu u ruuu r . （1）当=3时，求点M的坐标； （2）当12OA OB= uur uu u r 时，求直线l的方程. 解：（1）因为(1, 2)P在 2 2ypx=上，代入方程可得2p =， 所以C的方程为 2 4yx=，焦点为 (1,0)F ， 2 分 设 00 (,)M x y ，当=3时，由 3OMOPOF+= uuuruu u ruuu r ，可得 (2,2)M ， 4 分 （2）（法一）设 11 ( ,)A x
15、 y， 22 (,)B x y， 00 (,)M x y， 由OM OPOF+= uuuruu u ruuu r ，可得 00 (1,2)( ,0)xy+=，所以 0=2 y， 所以l的斜率存在且斜率 12 12120 42 =1 yy k xxyyy = + ， 7 分 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 7 页 共 16页 可设l方程为y xb=+ ， 联立 2 4 yxb yx =+ = 得 22 (24)0xbxb+=， 22 44=16 160bbb=（2），可得 1b， 9 分 则 12 42xxb+=， 2 12 x xb=， 2 121
16、 212 ()4y yx xb xxbb=+=， 所以 2 1212= 412OA OBx xy ybb=+= uur uu u r ， 11 分 解得6b = ，或2b =（舍去）， 所以直线l的方程为6yx=. 12 分 （法二）设l的方程为x myn=+ ， 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 00 (,)M x y， 联立 2 4 xmyn yx =+ = 得 2 440ymyn=， 2 16160mn=+， 6 分 则 12 4yym+=， 12 4y yn=， 2 1212 ()242xxm yynmn+=+=+， 所以 2 (2,2 )Mmnm+， 7 分 由OM
17、 OPOF+= uuuruu u ruuu r ，得 2 (21,22)( ,0)mnm+=，所以1m=， 8 分 所以l的方程为x yn=+ ， 由16 160n=+可得，1n， 9 分 由 12 4y yn= 得 2 2 12 12 () 16 y y x xn=， 所以 2 1212= 412OA OBx xy ynn=+= uur uu u r ， 11 分 解得6n =，或2n = （舍去）， 所以直线l的方程为6yx=. 12 分 【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量 的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.
18、 20（本小题满分 12 分） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始 呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区名患者的 相关信息，得到如下表格： 潜伏期（单位:天） 2 , 0 4 , 2( 6 , 4( 8 , 6( 10, 8( 12,10( 14,12( 人数 85 205 310 250 130 15 5 （1） 求这名患者的潜伏期的样本平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； 1000 1000x 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 8 页 共 16
19、页 （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否 超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表. 请将列联表补 充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期6天 潜伏期6天 总计 岁以上（含岁） 100 岁以下 总计 （3）以这名患者的潜伏期超过天的频率，代替该地区 名患者潜伏期超过天发生的概 率，每名患者的潜伏期是否超过天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者， 其中潜伏期超过天的人数最有可能 （即概率最大 ）是多少？ 附： 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.
20、635 )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K + =，其中dcban+=. 解：（1）5.451315111309250731052053851 1000 1 =+=）（x天. 2 分 （2）根据题意，补充完整的列联表如下： 潜伏期6天 潜伏期6天 总计 50岁以上 （含50岁） 65 35 100 50 岁以下 55 45 100 总计 120 80 200 则 21 25 10001080120 200)35554565( 2 2 = =K2.083 ， 5 分 经查表，得3.8412.083 2 K，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关. 6 分 （3）由题可
21、知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 5 2 1000 400 =， 7 分 设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为X， 则) 5 2 , 02( BX, kk k CkXP = 02 02 5 3 5 2 )(，0=k，1，2，20， 8 分 1000200 95% 5050 5055 200 1000616 6 6 )( 0 2 kKP 0 k 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 9 页 共 16页 由 = += ) 1()( ) 1()( kXPkXP kXPkXP 得 + + kk k kk k kk k kk k
22、 CC CC 121 1 02 02 02 911 1 02 02 02 5 3 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 ， 10 分 化简得 + kk kk 3)12(2 )02(2) 1(3 ，解得 5 42 5 37 k, 又Nk,所以8=k,即这 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数最有可能是 8 人.12 分 【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概 率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养. 21（本小题满分 12 分） 已知函数( )eln(1) x f xax=.（其中常数e=2.
23、718 28，是自然对数的底数） （1）若aR，求函数( )f x的极值点个数； （2）若函数( )f x在区间(1,1+e ) a 上不单调，证明： 11 1 a aa + + . 解：（1）易知 (1)e ( ) 1 x xa fx x = ，1x ， 1 分 若0a，则( )0fx，函数( )f x在(1,)+上单调递增， 函数( )f x无极值点，即函数( )f x的极值点个数为0； 2 分 若0a ， （法一）考虑函数(1)e(1) x yxa x=， Q 1 (1)e0 a yaaaaa + +=，(1)0ya= ， 函数(1)e(1) x yxa x=有零点 0 x，且 0 11
24、xa +， Qe0 x yx = ，函数(1)e(1) x yxa x=为单调递增函数， 函数(1)e(1) x yxa x=有唯一零点 0 x， (1)e ( ) 1 x xa fx x = 亦存在唯一零点 0 x， 4 分 当 0 (1,)xx时，易知( )0fx，即函数( )f x在 0 (1,)x上单调递减， 当 0 (,)xx+时，易知( )0fx，即函数( )f x在 0 (,)x +上单调递增， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 10 页 共 16页 函数( )f x有极小值点 0 x，即函数( )f x的极值点个数为1， 5 分 综上
25、所述， 当0a时， 函数( )f x的极值点个数为0； 当0a 时， 函数( )f x的极值点个数为1. （法二）易知函数exy =的图象与 1 a y x = (0)a 的图象有唯一交点 00 (,)M x y， 0 0 e 1 x a x = ，且 0 1x ，3 分 当 0 (1,)xx时，易知( )0fx，即函数( )f x在 0 (1,)x上单调递减， 当 0 (,)xx+时，易知( )0fx，即函数( )f x在 0 (,)x +上单调递增， 函数( )f x有极小值点 0 x，即函数( )f x的极值点个数为1， 4 分 综上所述， 当0a时， 函数( )f x的极值点个数为0；
26、 当0a 时， 函数( )f x的极值点个数为1. （注：第（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣采用法二作答的考生应扣 1 分，即总分不得超过分，即总分不得超过 4 分）分） （法三）对于0a ，必存在 * nN，使得 2lna n a ，即2lnnaa， Qe1 na ， 1e2ln eee0 na nanaa aaa + =， 1 e ee (1e)0 e na na na na a f + +=， 又 1 1 e (1)=e10 a a aa fa a + + += ， 函数 (1)e ( ) 1 x xa fx x = 有零点，不妨设其为 0 x， 显然( )e(1) 1 x a f
27、xx x = 为递增函数， 0 x为函数( )fx的唯一零点， 4 分 当 0 (1,)xx时，易知( )0fx，即函数( )f x在 0 (1,)x上单调递减， 当 0 (,)xx+时，易知( )0fx，即函数( )f x在 0 (,)x +上单调递增， 函数( )f x有极小值点 0 x，即函数( )f x的极值点个数为1， 5 分 综上所述， 当0a时， 函数( )f x的极值点个数为0； 当0a 时， 函数( )f x的极值点个数为1. （2）Q函数( )f x在区间(1,1+e ) a 上不单调， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 11 页
28、 共 16页 存在 0 (1,1+e ) a x 为函数( )f x的极值点， 6 分 由（1）可知0a ，且 1+e ee (1+e )0 e a a a a a f =，即 1+e e a a a ， 两边取对数得1+eln a aa ，即1+eln a aa ， 7 分 （法一）欲证 11 1 a aa + + ，不妨考虑证 11 1+eln 1 a a aa + + ， 先证明一个熟知的不等式：e1 x x +， 令g( )e1 x xx=，则g( )e1 x x=，g (0)0=， 不难知道函数g( )x的极小值（即最小值）为g(0)0=， e10 x x ，即e1 x x +， 8
29、 分 （思路 1：放缩思想） 11 e= e1 a a a + ， 即 1 e 1 a a + ， 9 分 又 1 1 1 ea a ， 1 1 e a a ， 1 1lna a ，即 1 1lna a ， 11 分 11 1+eln 1 a a aa + + ， 11 1 a aa + + . 12 分 （思路 2：构造函数）令 1 ( )ln1aa a =+，则 22 111 ( ) a a aaa =， 不难知道，函数( )a有最小值(1)0=，( )0a， 10 分 当0a 时， 1e1 e0 1(1)e a a a a aa = + ， 11 分 11 ln1e0 1 a a aa
30、+ + + ，即 11 1+eln 1 a a aa + + ， 11 1 a aa + + . 12 分 （法二）令( )1+eln x F xxx =，则 1 ( )e10 x F x x = ， 函数( )F x为单调递减函数， 显然(2)2ln220F，且( )0F a ，02a， 若01a，则 111 1 a aaa + + ，即 11 1 a aa + + 成立； 8 分 若12a，只需证 11 1+eln 1 a a aa + + ， 不难证明 1114 173aaa + + ，只需证明 14 1+eln 73 a a a + ， 9 分 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上
31、统一测试数学（理科）试题参考答案 第 12 页 共 16页 令 14 ( )eln1 73 a G aa a =+ + ，12a，则 22 198198 ( )e (73)(73) a G a aaaa =+ + ， 当12a时， 2 22 19849569 (73)(73) aa aaaa + = + ， 显然函数 2 49569yaa=+在1,2上单调递增，且(1)20y=， ( )0G a，即函数( )G a为单调递增函数， 10 分 当12a时， 212e5 ( )(1)0 5e5e G aG =，即( )0G a ， 11 分 14 1+eln 73 a a a + ，即 11 1
32、a aa + + ， 综上所述，必有 11 1 a aa + + 成立. 12 分 （法三）同（法二）得02a， 若01a，则 111 1 a aaa + + ，即 11 1 a aa + + 成立； 8 分 若12a，只需证 11 1+eln 1 a a aa + + ， 令 11 ( )eln1 1 a G aa aa =+ + ，12a， 则 222 111 ( )ee (1)(1) aa a G a aaa =+ + ， 下证当12a时， 2 1 e0 (1) a a + ，即证 2 e(1) a a+，即证 2 e1 a a+， 9 分 令 2 ( )e1 a H aa=，12a，
33、则 2 1 ( )e1 2 a H a=，当2ln2a =时，( )0H a=， 不难知道，函数( )H a在1,2ln2)上单调递减，在(2ln2,2上单调递增， 函数( )H a的最大值为(1)H，或(2)H中的较大值， 显然(1)e20H=，且(2)e30H= ， 函数( )H a的最大值小于0，即( )0H a ，亦即 2 e1 a a+，10 分 2 1 e0 (1) a a + ，即( )0G a， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 13 页 共 16页 函数 11 ( )eln1 1 a G aa aa =+ + ，12a单调递增， 易
34、知 11 (1)0 2e G=，( )0G a ，即 11 1+eln 1 a a aa + + ，11 分 当12a时，有 11 1 a aa + + 成立， 综上所述， 11 1 a aa + + . 12 分 【命题意图】 本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题 的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性. 22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 = += ,sin ,cos32 ty tx （t为参数，为倾斜角）， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标
35、系，曲线 2 C的极坐标方程为sin4= （1）求 2 C的直角坐标方程； （2） 直线 1 C与 2 C相交于FE,两个不同的点， 点P的极坐标为(2 3,)， 若PFPEEF+=2， 求直线 1 C的普通方程 解：（1）由题意得， 2 C的极坐标方程为sin4=，所以sin4 2 =，1 分 又 sin,cos=yx ，2 分 代入上式化简可得，04 22 =+yyx，3 分 所以 2 C的直角坐标方程4)2( 22 =+ yx4 分 （2）易得点P的直角坐标为)0 , 32( ， 将 = += ,sin ,cos32 ty tx 代入 2 C的直角坐标方程，可得 012)sin4cos3
36、4( 2 =+tt，5 分 22 (4 3cos4sin )48=8sin()480 3 =+ ， 解得 3 sin() 32 +，或 3 sin() 32 + ， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 14 页 共 16页 不难知道必为锐角，故 3 sin() 32 +， 所以 2 333 +，即 0 3 ,6 分 设这个方程的两个实数根分别为 1 t， 2 t，则 sin4cos34 21 +=+tt，12 21 =tt，7 分 所以 1 t与 2 t同号， 由参数t的几何意义可得， 1212 8 sin() 3 PEPFtttt+=+=+=+ ，
37、22 12121 2 ()44 4sin ()3 3 EFttttt t=+=+，8 分 所以 2 2 4 4sin ()38 sin() 33 +=+ ， 两边平方化简并解得 sin()1 3 +=，所以 2 6 k=+，kZ, 因为 0 3 ，所以 6 =，9 分 所以直线 1 C的参数方程为 = += , 2 1 , 2 3 32 ty tx 消去参数t，可得直线 1 C的普通方程为0323=+yx10 分 【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的 几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养， 考察考生的
38、化归与转化能力 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知, ,a b c为正数，且满足1.abc+= 证明： （1） 111 9 abc +； （2） 8 . 27 acbcababc+ 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 15 页 共 16页 证明：（1）因为 () 111111 abc abcabc +=+ 3 bacacb abacbc = + 3222=9 b ac ac b a ba cb c + （当且仅当 1 3 abc=时，等号成立）. 5 分 （2）（法一）因为, ,a b c为正数，且满足1abc+ +=， 所以1c
39、ab= ，且10a，10b，10c ， 所以acbcababc+ ()abab cab=+ + () 1abababab=+ +（） (1)(1)()baab=+ (1)(1)(1)abc= 3 (1)(1)(1)8 327 abc+ = ， 所以 8 . 27 acbcababc+ （当且仅当 1 3 abc=时，等号成立）. 10 分 （法二）因为, ,a b c为正数，且满足1abc+ +=， 所以1cab= ，且10a，10b，10c ， ()1acbcababcabcacbcababc+= + ()()()()1111ab ac abca=+ ()()11abcbc=+ ()()()111abc= 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 16 页 共 16页 () 3 38 327 abc+ = 所以 8 . 27 acbcababc+ （当且仅当 1 3 abc=时，等号成立）. 10 分 【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及 代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察
