1、2.3二次函数与一元二次方程、不等式2.3.42.3.4 不等式恒成立、存在性问题不等式恒成立、存在性问题学习目标：（学习目标：（1 1分钟）分钟）1.1.会求解一元二次不等式恒成立问题会求解一元二次不等式恒成立问题2.2.会求解一元二次不等式存在性问题会求解一元二次不等式存在性问题问题导学：（问题导学：（5 5分钟）分钟）2 2思思考考：已已知知不不等等式式mx-2x+m-2 0mx-2x+m-2 0，若若对对于于所所有有的的实实数数x x不不等等式式恒恒成成立立，求求m m的的取取值值范范围围2 22 2方方法法一一：对对于于所所有有实实数数x x都都有有不不等等式式mx-2x+m-2 0
2、mx-2x+m-2 0恒恒成成立立，即即函函数数y=mx-2x+m-2y=mx-2x+m-2的的图图象象全全部部都都在在x x轴轴下下方方当当m=0m=0时时，-2x-2 0,-2x-2 0,显显然然对对于于任任意意x x不不能能恒恒成成立立；m 0m 0当当m m 0 0时时，由由二二次次函函数数的的图图象象可可知知有有,=4-4m(m-2)0=4-4m(m-2)0解解得得m 1-2m 1-2综综上上可可知知，m m的的取取值值范范围围是是m|m 1-2.m|m 1-2.点拨精讲：（点拨精讲：（2626分钟）分钟）2 2已已知知不不等等式式mx-2x+m-2 0mx-2x+m-2 0，若若对
3、对于于所所有有的的实实数数x x不不等等式式恒恒成成立立，求求m m的的取取值值范范围围2 2maxmaxmaxmax2 2方方法法二二：设设y=mx-2x+m-2y=mx-2x+m-2，则则y 0y 0恒恒成成立立，只只需需要要y 0,y 0,m 0m 011211121当当x=x=时时，y=-+m-2=m-2.y=-+m-2=m-2.mmmmmmmm1 1 m-2 0m-2 0,m-2m-1 0,m m解解得得m 1-2m 1+2m 1+2又又m 0,m 0,m m的的取取值值范范围围是是m|m 1-2.m|m 0a=b=0a 0（1 1）不不等等式式ax+bx+c 0ax+bx+c 0对
4、对任任意意实实数数x x恒恒成成立立 或或c 0c 0 0 0a=b=0a 0a=b=0a 0（2 2）不不等等式式ax+bx+c 0ax+bx+c 0对对任任意意实实数数x x恒恒成成立立 或或c 0c 0 0 02 2跟跟踪踪训训练练：若若不不等等式式ax+ax-1ax+ax-1 0 0的的解解集集为为实实数数R R，则则实实数数a a的的取取值值范范围围为为解解：当当a=0a=0时时，不不等等式式化化为为-1-1 0,0,解解集集为为实实数数集集R R；a 0a 0当当a a 0 0时时，应应满满足足，0 0解解得得-4-4 x 0 x ay a成成立立，求求a a的的取取值值范范围围
5、。maxmax2222maxmax解解：即即y ay a成成立立y=x-2x+3=(x-1)+2y=x-2x+3=(x-1)+2当当1 1 x x 2 2时时，y=3y=3即即a 3a ay a y ay a存存在在一一个个x x在在某某一一范范围围，使使得得y y a a y y a a课堂小结：（课堂小结：（1 1分钟）分钟）1.1.一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题2.2.一元二次不等式存在性问题一元二次不等式存在性问题当堂检测：（当堂检测：（1212分钟）分钟）1.1.在在R R上上定定义义运运算算：xy=x(1-y),xy=x(1-y),若若不不等等式式(x-a)(x+
6、a)1(x-a)(x+a)1对对任任何何实实数数x x恒恒成成立立，则则实实数数a a的的取取值值范范围围为为实数m的取值集合是实数m的取值集合是则则0恒成立”是真命题，0恒成立”是真命题，1 11)x1)x(m(mmxmxR,R,2.命题“对任意x2.命题“对任意x2 222223.3.存存在在x x R,R,使使得得不不等等式式x-2xx-2x 1-k1-k 成成立立，则则k k的的取取值值范范围围22222 2解解：根根据据题题意意得得(x-a)(x+a)=(x-a)(1-x-a)1(x-a)(x+a)=(x-a)(1-x-a)0 x-x+(1-a+a)0恒恒成成立立即即=1-4(1-a
7、+a)0=1-4(1-a+a)01313解解得得-a.-a.22221.1.在在R R上上定定义义运运算算：xy=x(1-y),xy=x(1-y),若若不不等等式式(x-a)(x+a)1(x-a)(x+a)0m 0当当m m 0 0时时，由由已已知知有有(m+1)-4m(m+1)-4m 0 0解解得得m=1m=1综综合合得得，实实数数m m的的取取值值集集合合是是1.1.实数m的取值集合是实数m的取值集合是则则0恒成立”是真命题，0恒成立”是真命题，1 11)x1)x(m(mmxmxR,R,2.命题“对任意x2.命题“对任意x2 222223.3.存存在在x x R,R,使使得得不不等等式式x-2xx-2x 1-k1-k 成成立立，则则k k的的取取值值范范围围2222minmin22222 22 2解解：即即(x-2x)(x-2x)1-k1-k x-2x=(x-1)-1x-2x=(x-1)-1 -1-1 1-k1-k 1 1 k k 2 2-2-2 k k 2 2
