1、3.1.1 函数的概念函数的概念函数是刻画变量之间函数是刻画变量之间对应关系的数学模型对应关系的数学模型和工具和工具.初中函数的定义初中函数的定义:如果有两个变量如果有两个变量x与与y,并且并且对于对于x的每个确定的值的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应，都有唯一确定的值与其对应，我们就说我们就说x是自变量是自变量,y是是x的函数的函数问：问：（1）正方形的周长）正方形的周长l与边长与边长x的对应关系：的对应关系：l=4x 对于每一个确定的对于每一个确定的x都有唯一的都有唯一的l与之与之 对应，所以对应，所以l是是x的函数的函数.这个函数与正比例函数这个函数与正比例函数y=4x相同吗？相
2、同吗？是同一个函数吗？与xxyxy2)2(问题问题1.某某“复兴号复兴号”高速列车加速到高速列车加速到350km/h后后保持匀速运行半小时保持匀速运行半小时.(1)在这半小时内，列车行进的路程在这半小时内，列车行进的路程S （单位（单位:km）与运行时间）与运行时间 t(单位：单位：h)的的 关系如何表示？这是一个函数吗？关系如何表示？这是一个函数吗？S=350t对于任一时刻对于任一时刻t,都有唯一确定的路程都有唯一确定的路程s和它对应和它对应.问题问题1.某某“复兴号复兴号”高速列车加速到高速列车加速到350km/h后后保持匀速运行半小时保持匀速运行半小时.(2)有人说：有人说：“这趟列车加
3、速到这趟列车加速到350km/h后，后，运行运行1小时就前进了小时就前进了350km.”你认为这个说法你认为这个说法正确吗？正确吗？问题问题1.某某“复兴号复兴号”高速列车加速到高速列车加速到350km/h后后保持匀速运行半小时保持匀速运行半小时.(3)你认为如何表述你认为如何表述s与与t的对应关系才更精确？的对应关系才更精确？S=350t对于任一时刻对于任一时刻t,都有唯一确定的路程都有唯一确定的路程s和它对应和它对应.中的数集5.001ttA中在数集17501ssB11BA 集合与集合对应变量与变量对应变量与变量对应 t s5.001ttA17501SSBs=350t对于对于_中的任一时刻
4、中的任一时刻t,按照按照_,在在_中都有唯一确定的路程中都有唯一确定的路程s和它对应和它对应.自变量的集合自变量的集合函数值的集合函数值的集合对应关系对应关系对应关系s=350t数集A1数集B1问题问题2.某电器维修公司要求工人每周工作至少某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至天，至多不超过多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资元，而且每周付一次工资.那么那么(1)你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资的工资w（单位：元）是他工作天数（单位：元）是他工作天数d的函
5、数吗？的函数吗？w=350d 对于任一个工作天数对于任一个工作天数d,都有唯一确定的工资都有唯一确定的工资w和它对应和它对应.问题问题2.某电器维修公司要求工人每周工作至少某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至天，至多不超过多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资元，而且每周付一次工资.那么那么 (2)你能仿照问题你能仿照问题1，给出这个问题中，给出这个问题中w与与d的对应关系的对应关系的精确表示吗？的精确表示吗？自变量的集合自变量的集合函数值的集合函数值的集合对应关系对应关系6,5,4,3,2,12Aw=350d 对于
6、对于_中的任一个工作天数中的任一个工作天数d,按照按照_,在在_中中都有唯一确定的工资都有唯一确定的工资w和它对应和它对应.数集数集A2对应关系对应关系w=350d数集数集B2B2=350,700,1050,1400,1750,2100问题问题2.某电器维修公司要求工人每周工作至少某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至天，至多不超过多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资元，而且每周付一次工资.那么那么 (3)问题问题1和问题和问题2中的函数有相同的对应关系，你认中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为它们
7、是同一个函数吗？对应关系对应关系影响函数的要素有哪些？影响函数的要素有哪些？函数值的集合函数值的集合自变量的集合自变量的集合问题问题3.图图3.1-1是北京市是北京市2016年年11月月23日的空气日的空气质量指数质量指数(Air Quality Index,简称简称AQI)变化图变化图.(1)如何根据该图找到下午如何根据该图找到下午4h的的AQI的值的值I?对应关系：对应关系：图图3.1-1图图3.1-115010050004:0008:0012:00 16:0020:00 24:00北京空气质量指数北京空气质量指数IIIt优良轻度污染问题问题3.图图3.1-1是北京市是北京市2016年年1
8、1月月23日的空气日的空气质量指数质量指数(Air Quality Index,简称简称AQI)变化图变化图.(2)你认为这里的你认为这里的I 是是 t的函数吗？如果是，你的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法描述能仿照前面的方法描述I与与t的对应关系吗？的对应关系吗？对应关系：对应关系：图图3.1-1对于任一时刻对于任一时刻t,都有唯一确定的值都有唯一确定的值I和它对应和它对应.图3.1-1 15010050004:0008:0012:00 16:0020:00 24:00北京空气质量指数北京空气质量指数IIIt优良轻度污染自变量的集合自变量的集合函数值的集合函数值的集合对应关系对应关系150
9、03IIB2403ttA图图3.1-1所在所在对于对于_中的任一时刻中的任一时刻t,按照按照_.在在_中都有唯一确定的值中都有唯一确定的值I和它对应和它对应.数集数集A3数集数集B3对应关系对应关系 15010050004:0008:0012:00 16:0020:00 24:00北京空气质量指数北京空气质量指数IIIt图图3.1-1优良轻度污染图图3.1-1所示的所示的 问题问题4.国国际际上常用恩格尔系数上常用恩格尔系数r反映一个地区人民生活反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数低，生活质量越高。表质量的高低，恩格尔系数低，生活质量越高。表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
10、，从中可以是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。年份年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系数r()36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.5700表表3.1-1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况(1)你认为按表你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数给出的对应关系，恩格尔系数r是年份是年份y的函数吗？的函数吗？对于任一个年份对于任一个年份y,都有唯一确定的系数
11、都有唯一确定的系数r和它对应和它对应.对应关系对应关系 问题问题4.国国际际上常用恩格尔系数上常用恩格尔系数r反映一个地区人民生活反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数低，生活质量越高。表质量的高低，恩格尔系数低，生活质量越高。表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。年份年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系数r()36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.892
12、9.3528.5700表表3.1-1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况(2)你能仿照前面的方法给出精确刻画吗？你能仿照前面的方法给出精确刻画吗？年份年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系数r()36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.5700表表3.1-1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况A4=2006，2007，2008，2009，2010,2011，2012，2013，2014，2015表表3.1-1 自变量
13、的集合自变量的集合函数值的集合函数值的集合对应关系对应关系对于对于_中的任一年份中的任一年份y,按照按照_,在在_中都有唯一确定的系数中都有唯一确定的系数r和它对应和它对应.表表3.1-1 所示的对应关系所示的对应关系数集数集B4数集数集A4可以吗？你认为104rrBB4=0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.355,0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.28700100总支出金额食物支出金额r01r年份年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系数r()36.6936.8138.1735.6935.
14、1533.5333.8729.8929.3528.5700表表3.1-1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况A4=2006，2007，2008，2009，2010,2011，2012，2013，2014，2015表表3.1-1 自变量的集合自变量的集合函数值的集合函数值的集合对应关系对应关系对于对于_中的任一年份中的任一年份y,按照按照_,在在_中都有唯一确定的系数中都有唯一确定的系数r和它对应和它对应.表表3.1-1 所示的对应关系所示的对应关系数集数集B4数集数集A4可以吗？你认为104rrBB4=0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0
15、.355,0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.287思考：上述四个问题中的函数有哪些共同特征？思考：上述四个问题中的函数有哪些共同特征？问题1234自变量的集合自变量的集合函数值所在的集合函数值所在的集合对应关系对应关系5.001ttA17501SSBs=350t6,5,4,3,2,12Aw=350d B2=350,700,1050,1400,1750,210015003IIB2403ttA图图3.1-1104rrBA4=2006，2007，2008，2009，2010,2011，2012，2013，20142015表表3.1-1 数集数集A数集数集Bf设设A，B是是_
16、，如果对于，如果对于_中中的任意一个数的任意一个数x，按照，按照_，在在_中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数_和它对应，和它对应，那么就称那么就称_为从集合为从集合A到集合到集合B的一个的一个函数函数.函数的概念函数的概念:非空的非空的 实数集实数集集合集合A某种确定的对应关系某种确定的对应关系f集合集合Byf：ABAxxfy),(:记作注注:f(x)表示表示x 对应的函数值，而不是对应的函数值，而不是f 乘乘 x.一一.对应关系对应关系?1)(12xxxf）如何理解（.)1()2(，并解释计算过程计算f.)12()3(，并解释计算过程计算xf111)1()2(2f1)12()12()12(
17、)3(2xxxf加工厂加工厂总结：总结：(1)在很多情况下，在很多情况下，f表现形式是表现形式是 一系列的运算，运算对象是一系列的运算，运算对象是 括号里的内容括号里的内容.(2)括号内的取值一定使函数本身括号内的取值一定使函数本身 有意义有意义.(3)y=f(x)中的中的f是一个对应关系的记号，是一个对应关系的记号，可以用任意字母代替，可以用任意字母代替，例如例如y=g(x),y=h(x.)设设A，B是是_，如果对于，如果对于_中中的任意一个数的任意一个数x，按照，按照_，在在_中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数_和它对应，和它对应，那么就称那么就称_为从集合为从集合A到集合到集合B的一个
18、的一个函数函数.其中，其中，x叫做自变量，叫做自变量，x的取值范围的取值范围_叫做函叫做函数的数的_,与与x的值相对应的的值相对应的y值叫做函数值叫做函数值，函数值的集合值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数叫做函数_。函数的概念函数的概念:Axxfyy,非空的非空的 实数集实数集集合集合A某种确定的对应关系某种确定的对应关系f集合集合Byf：ABAxxfy),(:记作定义域定义域值域值域AAxxxyy,322例：思考：上述四个问题中的函数有哪些共同特征？思考：上述四个问题中的函数有哪些共同特征？问题1234函数值的集合函数值的集合函数值所在的集合函数值所在的集合17501SSBB2=350,
19、700,1050,1400,1750,210015003IIB104rrB17501SSBB2=350,700,1050,1400,1750,2100C4=0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.355,0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.287数集数集B值域值域 函数的三要素：函数的三要素：定义域、对应关系、值域定义域、对应关系、值域）的函数关系的是（到集合其中能表示从集合给出如下四个图象，设例BAyyBxxA,20,20.1y120 xy12A.12120 xyB.C.12120 x312120 xyD.对于集合A中的任意元素，在集合B中都存在唯
20、一确定值与之对应B函数函数定义域定义域值域值域)0(abaxy一次函数)0(xxky反比例函数)0(2acbxaxy二次函数RRR0 xx0yyabacyy4420a0aabacyy4424,1)2(4,2)1(.32)(2xxxxxf在下列条件下的值域例：求函数113)1(yy值域：3111-12340 xy4,1)2(.32)(2xxxxf在下列条件下的值域例：求函数1121-12340 xy112)2(yy值域：最低点最低点不是不是最低点最低点试构建一个问题情境，使其中的变量关系试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式可以用解析式y=x(10-x)来描述来描述.).10(20 xxyyx那么，面积为设一边长为，长方形的周长为100 xxA定义域为250yyB值域为010525xy（1）正方形的周长）正方形的周长l与边长与边长x的对应关系：的对应关系：l=4x 这个函数与正比例函数这个函数与正比例函数y=4x相同吗？相同吗？是同一个函数吗？与xxyxy2)2(作业：作业：课本课本63页页 练习练习1,3
