1、第三章第三章 函数概念和性质函数概念和性质 3.2.1 3.2.1 函数的单调性函数的单调性 第一课时第一课时 函数的单调性函数的单调性 情境引入情境引入:函数值的函数值的变化情况变化情况怎样怎样？教学目标：教学目标：1、理解函数的单调性、理解函数的单调性;2、结合图像、结合图像会判断函数的单调区间会判断函数的单调区间,确定函确定函数在相应区间上的单调性；数在相应区间上的单调性；3、能利用定义证明、能利用定义证明一些简单一些简单函数的单调性函数的单调性 一一)新课引入新课引入 前面我们学习了函数的定义及表示法，知道函数前面我们学习了函数的定义及表示法，知道函数y=f(x)(xy=f(x)(xA
2、),),它描述了客观世界变量之间的一种对应它描述了客观世界变量之间的一种对应关系。这样我们就可以通过研究函数的变化规律关系。这样我们就可以通过研究函数的变化规律(函数函数性质性质)来把握客观世界事物的变化规律。这节课，我们来把握客观世界事物的变化规律。这节课，我们先研究函数性质之一：函数的单调性。先研究函数性质之一：函数的单调性。我们知道函数值的变化情况可以通过函数图像来观察我们知道函数值的变化情况可以通过函数图像来观察.观察下列函数图像观察下列函数图像,它们的特点各是什么它们的特点各是什么?有无共性？有无共性？f(x)=x0321-1-2-312-2-1xy二）讲授新课二）讲授新课.上面三个
3、图像上面三个图像,随着自变量的增加随着自变量的增加,函数值总是增大或减小函数值总是增大或减小,即各作一种变即各作一种变化化.像这样性质，叫函数的像这样性质，叫函数的单调性。单调性。下面进一步用符号语言刻画这一性质。下面进一步用符号语言刻画这一性质。v以函数以函数f(x)=x2 为例：为例：vf(x)=x2 图象：在图象：在y轴左侧，从左至右图像是轴左侧，从左至右图像是下降下降的的，即，即随着随着x的增大，的增大，f(x)v的值随着的值随着减小减小.用用数学数学符号语言符号语言描述：任意取描述：任意取x1,x2 (-,0,得到f(x1)=x1 2 f(x2)=x2 2 .xOy1x)(1xf2x
4、2()f x当当x1 f(x2),这时就说f(x)=x2 在区间在区间(-,0上单调递减的.做出证明:作差 f(x1)-f(x2)=x1 2-x2 2=(x1-x2)(x1+x2)0 0 x1 x2 x1-x2 0,x1+x2 0 f(x1)f(x2)同理，同理，x1,x2 0,+),当x1 x2 时，时，f(x1)f(x2)即 函数函数f(x)=x2 在区间在区间(-,0上单调递增的.跟踪练习：函数函数f(x)=|x|，f(x)=-x2各有怎样的单调性？各有怎样的单调性？0321-1-2-31234xy0321-1-2-31-2-3-1xy函数函数f(x)=|x|在区间在区间(-(-,0,0
5、上上是单调是单调 递减递减 的的,在在0,+0,+)上上是单调是单调 递增递增 的的 函数函数f(x)=-x2在区间在区间(-(-,0,0上上是是单调单调_递增递增_的的,在在0,+0,+)上上是单调是单调 递减递减 的的 定义：定义：设函数设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间DI.x x1 1,x,x2 2 D,当x x1 1 x x2 2 时，时，f(x x1 1)f(x x2 2),则称函数则称函数f(x)f(x)在区间在区间D上单调递增，区间上单调递增，区间D称为函数的单调递增称为函数的单调递增区间；区间；特别地，当特别地，当函数函数f(x)在在它的定义域上单调递它的
6、定义域上单调递 增时，我们就称它是增时，我们就称它是增函数增函数.若若x1,x2 D,当x1 f(x2),则称函则称函数数f(x)在区间在区间D上单调递减上单调递减区间区间D称为函数的单调递减区间称为函数的单调递减区间.特别地，当特别地，当函数函数f(x)在在它的定义域上单调它的定义域上单调递减时递减时，我们就称它，我们就称它是是减函数减函数.如果函数如果函数y=f(x)在某个在某个区间区间D上是单调递增或单调递减上是单调递增或单调递减，那么就，那么就说函数说函数y=f(x)在这一区间在这一区间具有具有(严格的严格的)单调性单调性，区间，区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.概念巩固
7、.（1 ）函数在）函数在定义域定义域R上上是增函数是增函数（2）、（）、（3）（）（4）函数在整个定义域函数在整个定义域不具有单调性不具有单调性但在某个区间上具有但在某个区间上具有单调性。比如单调性。比如（4）函数函数f(x)在在(-(-,0,0）、）、（0,+0,+)分别递减分别递减 （1 1）（2 2）（3 3）（4 4）例例1 根据定义，研究函数根据定义，研究函数 f(x)=kxb(k0)的的单调单调性性证明：证明：设设 x1，x2 是是 R上任意两个实数，且上任意两个实数，且x1x2 则则 f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2)由由 x1x2 ，得，得
8、 x1-x20时，时，f(x1)-f(x2)0 即即 f(x1)f(x2)当当k0 即即 f(x1)f(x2)所以所以 当当k0时，时，f(x)=kx+b是增函数是增函数 当当k0时，时，f(x)=kx+b是减函数是减函数.例例2、物理学中的玻意耳定律、物理学中的玻意耳定律 告诉我们告诉我们，对于一定量的气体，当其体积，对于一定量的气体，当其体积V减减 小时小时，压强压强p将增大将增大.试试对此对此用用函数的函数的单调性单调性 )(为正常数kVkp.00)(000),0(,)(),0(,2121211212212121211221212121将增大减小时，压强当体积，即，又，可得，且由，则，且证明：pVppppVVVVkkVVVVVVVVVVVVkVkVkppVVVV三）课堂小结三）课堂小结v学生回答：学生回答：v1 函数的单调性函数的单调性v2 单调性的判定与证明单调性的判定与证明四）作业四）作业v课本课本P 79 第第2,3题题
