1、1.1.若函数若函数f(x)f(x)对对定义域内每一个定义域内每一个x x都有都有：f(xf(xT)T)f(x)f(x)，则函数则函数f(x)f(x)的周期为的周期为T.T.温故而知新温故而知新（1 1）正正弦弦函函数数y=sinxy=sinx和和余余弦弦函函数数y=cosxy=cosx的的周周期期注注：都都是是2(2 2)自自 变变 量量本本 身身 加加 的的 常常 数数 才才 是是 周周 期期;x(3 3)常常 函函 数数 为为 常常 数数的的 周周 期期 为为 任任 一一 实实 数数(,()CxRfxC 2 2.函函数数y yA Ax xx xR R及及函函数数y yA Ax xx xR
2、 R其其中中A A为为常常数数 且且A A的的周周期期为为 T Tsin(),cos(),2(,0,0):.|3.y=|sinx|3.y=|sinx|及及y=|cosx|y=|cosx|的周期为的周期为 5.4.2 5.4.2 正弦、余弦函数的性质（第二课时）正弦、余弦函数的性质（第二课时）X 2.2.奇偶性奇偶性 正弦、余弦函数的图象和性质正弦、余弦函数的图象和性质 x6 yo-12 3 4 5-2-3-4 1 y=sinx (x R)x6 o-12 3 4 5-2-3-4 1 y y=cosx (x R)定义域：定义域：值域：值域：周期性：周期性：R R 1 1，1 1 T=2T=2 x2
3、2322523yO23225311 若从正弦函数上任取一点若从正弦函数上任取一点 ，即，即 ，(,)P x y(,sin)P xx其关于原点的对称点其关于原点的对称点 ，即，即 ，由，由(,)Pxy(,sin)Pxx诱导公式诱导公式 知这个点也在正弦函数的知这个点也在正弦函数的sin()sinxx 图像上。这说明什么？图像上。这说明什么？PP 这说明：将正弦函数曲线绕原点旋转这说明：将正弦函数曲线绕原点旋转180180度后所得度后所得的曲线能够和原来的曲线重合。即的曲线能够和原来的曲线重合。即正弦函数关于原点正弦函数关于原点对称。对称。y=sinx 正弦函数的奇偶性正弦函数的奇偶性y=sinx
4、yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 y=sinx(xy=sinx(x R R)图象关于图象关于原点原点对称对称 因为因为关于原点对称的函数一定是奇函数，且奇函数关于原点对称的函数一定是奇函数，且奇函数的图像一定关于原点对称的图像一定关于原点对称。所以。所以正弦函数是奇函数。正弦函数是奇函数。那大家思考一下，余弦函数是否也如此呢？那大家思考一下，余弦函数是否也如此呢？点点 ，即，即 ，由诱导公式，由诱导公式(,)Px y(,cos)Pxxcos()cosxx任取一点任取一点 ，即，即 ，其关于，其关于y轴的对称轴的对称(,)P x y(,cos)P xx请观察余弦函数
5、的图像回答。请观察余弦函数的图像回答。分析分析：设设)(cosRxxy，从余弦函数的图像上，从余弦函数的图像上知这个点也在余弦函数的图像上。这说明什么？知这个点也在余弦函数的图像上。这说明什么？PPx22322523yO23225311 这说明：若将余弦曲线延着这说明：若将余弦曲线延着y y轴折叠，轴折叠，y y轴两旁的部分轴两旁的部分能够互相重合能够互相重合 ，即，即余弦曲线关于余弦曲线关于y y轴对称轴对称。因为关于因为关于y y轴对称的函数一定是偶函数，且偶函数的图轴对称的函数一定是偶函数，且偶函数的图像一定关于像一定关于y y轴对称。所以轴对称。所以余弦函数是偶函数。余弦函数是偶函数。
6、y=cos x 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性sin(x)=sinx(x R)y=sinx(x R)是是奇函数奇函数x6 o-12 3 4 5-2-3-4 1 ycos(x)=cosx(x R)y=cosx (x R)是是偶函数偶函数图像关于原点对称图像关于原点对称图像关于图像关于y y轴对称轴对称x6 yo-12 3 4 5-2-3-4 1 X 3.3.单调性单调性 5.4.2 5.4.2 正弦、余弦函数的性质（第二课时）正弦、余弦函数的性质（第二课时）1、，则，则 在在 上是上是)()(21xfxf)(xfB增函数；增函数；复习函数的单调性复习函数的单调性函数函数),)(Dx
7、xfy若对于任意若对于任意 ，12xxB、且且 ，都有：，都有：21xx)(DB减函数；减函数；2、，则，则 在在 上是上是12()()f xf x)(xfB函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。请认真观察正弦、余弦函数的图像，看看请认真观察正弦、余弦函数的图像，看看其是否具有这类性质？其是否具有这类性质？正弦函数图像正弦函数图像从从xysin的图像上可以看到函数具有什么特征？的图像上可以看到函数具有什么特征？5335,222222、，、，当当 在区间在区间上时，上时，x曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，sin的的值由值由 增大到增大到 。1175335
8、7,22222222、，、，、当当 在区间在区间x上时，曲线逐渐下降，上时，曲线逐渐下降，sin的值由的值由 减小到减小到 。11x22322523yO232253117272 正弦函数的单调性正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增区间增区间为为 ，其值从，其值从1 1增至增至1 12 2 xsinx2 2 23 0 1 0 1 0 1减区间减区间为为 ，其值从其值从1 1减至减至1 12 23 +2k,+2k,k Z2 2 +2k,+2k,k Z2 23 x22322523yO232253117272；减小到减小到，其值从，其值从上都是上都是在每个闭区间在每个闭区间；增大到增大到其值从
9、其值从上都是上都是在每一个闭区间在每一个闭区间正弦函数正弦函数11 223,221 122,22sin kkkkxyyo 2 4 6 1 1x 2 4 6增函数增函数减函数减函数正弦函数的单调性正弦函数的单调性yx2346021-15 y=sinx(x R)当当x=x=时，时，sinxsinx取得最大值取得最大值1 1；k22当当x=x=时，时，sinxsinx取得最小值取得最小值1 1k22对对称称中中心心：（,0)k 2对对 称称 轴轴：xk 观察下面图象：观察下面图象：余弦函数图像余弦函数图像从从cosyx的图像上可以看到函数具有什么特征？的图像上可以看到函数具有什么特征？3,2 0 2
10、 3,4、，、，当当 在区间在区间x上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，coscos的值由的值由1增大到增大到1 1。曲线逐渐下降曲线逐渐下降,cos,cos的值由的值由1 1减小到减小到1 1 。2,0 23 、，、，当当 在区间在区间x上时，上时，x22322523yO23225311 y=cosx (x R)x cosx2 2 0 1 0 1 0 1增区间增区间为：为：+2k,2k ,k Z，减区间减区间为为：，2k,2k +,k Z，余弦函数的单调性余弦函数的单调性x22322523yO23225311其值从其值从1 1增至增至1 1；其值从其值从1 1减至减至1 1；221122
11、11cos,yx yxkkkk k kk k 同同理理：余余弦弦函函数数在在每每一一个个闭闭区区间间上上都都是是，其其值值从从增增大大到到；在在每每个个闭闭区区间间上上都都是是，其其值值从从 减减小小到到；增函数增函数减函数减函数yo 2 4 6 1 1x 2 4 6正弦、余弦函数的性质正弦、余弦函数的性质33单调性单调性yx2346021-15 y=cosx(x R)当当x=x=时，函数值时，函数值y y取得最大值取得最大值1 1；k2当当x=x=时，函数值时，函数值y y取得最小值取得最小值1 12k 对对称称中中心心：（,0)2k 对对称称轴轴：xk 观察下面图象：观察下面图象：函数函数
12、y=sinxy=cosx图形图形定义域定义域值域值域最值最值单调性单调性奇偶性奇偶性周期周期对称性对称性2522320 xy21-1xRxR11,y 22xk时，时，1maxy22xk 时，时，1miny 2xk时，时，1maxy2xk时，时，1miny 在在上上递递增增-2,222xkk 在在上上递递减减32,222xkk 22在在上上递递增增,xkk 22在在上上递递减减,xkk 2522320 xy1-122对称轴：对称轴：,2xkkZ 对称中心：对称中心：0(,)kkZ 对称轴：对称轴：,xkkZ 对称中心：对称中心：(,0)2kkZ 奇函数奇函数偶函数偶函数11,y 例例3.3.下列
13、函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量小值时的自变量x x的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos,sin,yxxRyx xR (1)(2)1 13 32 2解：解：这两个函数都有最大值、最小值这两个函数都有最大值、最小值.（1 1）使函数）使函数 取得最大值的取得最大值的x x的集合，就是的集合，就是使函数使函数 取得最大值的取得最大值的x x的集合的集合cos1,yxxRcos,yx xR|2,x xkkZ 使函数使函数 取得最小值的取得最小值的x x的集合，就是的集合，就是使函
14、数使函数 取得最小值的取得最小值的x x的集合的集合cos1,yxxRcos,yx xR|(21),x xkkZ 函数函数 的最大值是的最大值是1+1=21+1=2；最小值是；最小值是1+1=0.1+1=0.cos1,yxxR例例3.3.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量小值时的自变量x x的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：（2）令）令t=2x,因为使函数因为使函数 取最大值的取最大值的t的集合是的集合是3si
15、n,yt tR 22|,t tkkZ 由由 ，222xtk 4得得 xk 所以使函数所以使函数 取最大值的取最大值的x的集合是的集合是3sin2,yx xR|,4x xkkZ 同理，使函数同理，使函数 取最小值的取最小值的x的集合是的集合是3sin2,yx xR|,4x xkkZ 函数函数 取最大值是取最大值是3 3，最小值是，最小值是3 3。3sin2,yx xR 请看课本请看课本P207P207：第：第1-31-3题题解：解：（1）021018 且正弦函数且正弦函数y=sinxy=sinx在区间在区间,02上是增函数，上是增函数，1018sin()sin()例例4 4：利用三角函数的单调性
16、，比较下列各组数的的大小利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小.2317sin()sin();cos()cos().181054(1)(1)与与(2)(2)与与例例4 4：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小.2317sin()sin();cos()cos().181054(1)(1)与与(2)(2)与与解：解：23233cos()coscos5551717444cos()coscos（2）30,45 且函数且函数 是减函数是减函数cos,0,yx x 345coscos即即1723cos()cos()45 请看课本请看课本P207P2
17、07：第：第4 4题题例例、求求函函数数的的单单调调递递增增区区间间15sin(),2,2.23yxx 124,2,2,233324sin,3315,2 222323315sin(),2,2,.2333 解解：令令zxxzxx，则则z z因因为为yzyz，z z的的单单调调递递增增区区间间是是，且且由由x x，得得x x所所以以函函数数yxxyxx的的单单调调递递增增区区间间是是 请看课本请看课本P207P207：第：第5 5题题1sin(),2,223.求求 函函 数数的的 变变 式式：单单 调调 递递 增增 区区 间间yxx 函数函数y=sinxy=cosx图形图形定义域定义域值域值域最值最值单调性单调性奇偶性奇偶性周期周期对称性对称性2522320 xy21-1xRxR11,y 22xk时，时，1maxy22xk 时，时，1miny 2xk时，时，1maxy2xk时，时，1miny 在在上上递递增增-2,222xkk 在在上上递递减减32,222xkk 22在在上上递递增增,xkk 22在在上上递递减减,xkk 2522320 xy1-122对称轴：对称轴：,2xkkZ 对称中心：对称中心：0(,)kkZ 对称轴：对称轴：,xkkZ 对称中心：对称中心：(,0)2kkZ 奇函数奇函数偶函数偶函数11,y
