1、 20192020 学年高三核心模拟卷（上）学年高三核心模拟卷（上） 数学理科数学理科（五五） 注意事项注意事项： 1本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡 上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡，上的指定位置。 2选择题的作答： 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效。 4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写
2、在答题卡上对 应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题一、选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分。在每小题给出的四个选项中分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目 要求的。要求的。 1已知集合410Ax xx， 1 24 2 x Bx ，则 R AB （ ） A21x xx 或 B42xx C 3 2 x x DR 2设1zi （i是虚数单位） ，则 2 4 z z （ ） A5 2 B4 C20 D2 5 3某学校食堂对 30 名高三学生偏爱蔬菜与
3、偏爱肉类进行了一次调查，将统计数据制成如下表格： 偏爱蔬菜 偏爱肉类 男生人 4 8 女生人 16 2 则认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关的把握至少有 附： 2 2 , n adbc Knabcd abcdacbd 2 0 P Kk 0.010 0.005 0.001 0 k 6.635 7.879 10.828 A95% B99% C99.5% D99.9% 4已知抛物线 2 8xy，圆 22 :131Mxy，则圆心M到抛物线的准线的距离为（ ） A5 B4 C2 D4 2 5函数 2 2 x x fx e 的图象大致是（ ） A B C D 6执行如图所示的程序框图，则输出的 S 是（ ）
4、 A-1 B1 C-3 D3 7 已知实数x，y满足不等式组 20 30 1 xy xy y ， 若目标函数1zmxy m的最大值为 5， 则m（ ） A2 B3 C4 D5 8 如图，AC，BD上分别是大圆O的两条相互垂直的直径， 4 个小圆的直径分别为OA，OB，OC，OD， 若向大圆内部随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ） A 4 B 8 C 1 D 2 9已知 cos26 5 sin 4 ， 3 , 44 ，则cos 4 （ ） A 3 5 B 4 5 C 3 5 D 4 5 10已知函数 sin0,0 2 f xAxA ,的部分图象如图所示，则不等式 3f x 的 解集为（
5、 ） A 15 4,4 1212 kkkZ B 51 2,2 1212 kkkZ C 15 2,2 1212 kkkZ D 15 , 1212 kkkZ 11在三棱锥A SBC中，10AB ， 4 ASCBSC ，ACAS，BCBS，若该三棱锥的体 积为 15 3 ，则三棱锥SABC外接球的体积为（ ） A B4 3 C5 D 3 12已知双曲线 22 2 10 4 xy b b 右焦点为 1 F，过 1 F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，抛 物线 2 16yx 的焦点为F，若ABF为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A 113 , 2 B 13, C1,3 D 113
6、 1, 2 二、填空题二、填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分。分。 13 已知向量0,1a ， 2 2,bxxR， 若213ab， 则向量b在向量a上的投影为_ 14已知 5 2 2 2311 a xx x 的展开式中各项系数之和为 0，则该展开式的常数项是_ 15已知函数 ,0 2 ,0 x ex f x xx x 若函数 1 2 2 h xfxxm有且仅有三个零点，则实数m的取值 范围是_ 16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若1CD，且 1 sinsinsin 2 abAcbCB ，则当ab取最大值时ABC的周长为
7、_ 三、解答题三、解答题：共共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第都必须作答。第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答。考生根据要求作答。 （一一）必考题必考题：共共 60 分。分。 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2* 235 n Snn nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）若等比数列 n b满足 12 ba， 24 ba，求数列23 nn ab-的前n项和 n T 18 （本小题满分 1
8、2 分） 某市政府为了节约生活用电， 计划在本市试行居民生活用电定额管理， 即确定一户居民月用电量标准a， 用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费为此，政府调查了 100 户居民的月平均用电 量 （单位： 度） ， 以160,180，180,200，200,220，220,240，240,260，260,280，280,300 分组的频率分布直方图如图所示，用电量在240,260的居民户数比用电量在160,180的居民户数多 11 户 （1）求直方图中x，y的值； （2） （i）用样本估计总体，如果希望至少 85%的居民月用电量低于标准，求月用电量的最低标准应定 为多少度，并说
9、明理由； （ii）若将频率视为概率，现从该市所有居民中随机抽取 3 户，其中月用电量低于（i）中最低标准 的居民户数为，求的分布列及数学期望 E 19 （本小题满分 12 分） 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点E为AB的中点，F为 1 DC的中点 （1）证明：EF平面 11 ADD A； （2）若2AE ，求二面角DEFC的余弦值 20 （本小题满分 12 分） 已知函数 ln x f xaebxb a bR，若曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为 2120exy （1）求a，b的值； （2）证明： 3 ln2f x 21 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22
10、 10 xy Wab ab :的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 上、 下顶点分别为A，B， 直线 2 AF 的倾斜角为 2 3 ，椭圆上的点到焦点的最大距离为 3 （1）求椭圆W的标准方程； （2）若经过左焦点 1 F的直线l与椭圆W交于C，D两点，且C，D两点均在y轴的左侧，记ABD 和ABC的面积分别为 1 S和 2 S，求 12 SS的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系
11、与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 4 24 xt yt ， （t为参数） 以坐标原点O为极点，x轴 非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4 2sin 4 （1）求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，求PQ的长 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 21f xx （1）求不等式 3f xx 的解集； （2）若对任意 11 , 22 x ， 2 1 43 21 f xmm x 恒成立，求实数m的取值范围 20192020 学年高三核心模拟卷学年高三核心模拟卷（上上）
12、数学理科数学理科（五五）参考答案参考答案 lB 依题意，得41Axx ，21Bxx ， 所以21 RB x xx 或，所以42 R ABxx 故选 B 2D 因为1zi ，则1zi ， 所以 2 2 44 122224 1 ziiii iz -， 则 2 4 162 5 4 z z 故选 D 3C 由已知，2 2列联表为 偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计 男生人 4 8 12 女生人 16 2 18 合计 20 10 30 则 2 K的观测值 2 304 2 16 8 107879 12 18 20 10 k .， 故至少有 99.5%的把握认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关，故选 C 4A 因为抛物线
13、方程为 2 8xy，所以准线方程为2y ， 圆 22 131Mxy:的圆心坐标为1,3， 所以M到抛物线的准线的距离为 5故选 A 5C 因为函数 2 2 x x fx e 的定义域为R，所以排除选项 A，B； 当0x时， 22 222 xx xxx f xfx ee ， 令 0fx ，解得13x ， 0,13x， 0fx ， f x在 0,13上单调递增，排除 D故选 C 6A 该程序框图的功能是计算 12999129991 2lglglg2lg2lg231 2310002310001000 S 故选 A 7A 不等式组表示的平面区域如图中的ABC（包括边界） ，易求得1,1A ，2,1B
14、1zmxy m的最大值为 5， 由图知，平移直线1zmxy m当经过点2,1B处取得最大值， 即521m，得2m故选 A 8D 不妨设大圆的半径为 2，则大圆的面积为4，小圆的半径为 1， 如图，设图中阴影部分面积为S，由图形的对称性知，8SS 影阴 又 222 111 11121 242 S ， 则所求概率为 82 4 故选 D 9B 因为 sin 2 cos 262 2 cos2 sin2 sin 42445 sinsin 44 ， 所以 3 sin 45 因为 3 , 44 ，所以, 42 ， 所以 4 coscos 445 ，故选 B 10C 由图知，2A ，函数 f x的最小正周期
15、31 42 44 T ， 由 2 T ，得， 所以 2sinf xx 因为点 1 ,2 4 在图象上，所以 1 2sin2 4 因为 2 ，所以 4 ，即 2sin 4 f xx 由2sin3 4 x ，得 3 sin 42 x ， 所以 2 22 343 kxkkZ ， 解得 15 22 1212 kxkkZ， 即不等式 3f x 的解集为 15 2,2 1212 kkkZ 故选 C 11B 如图，设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA，OB，OD 因为 4 ASCBSC ，ACAS，BCBS， 所以90SACSBC， 所以OAOBOCOSR 又ODAB，且10AB ， 所以 10 2
16、ADDB， 2 5 2 ODR， 则 2 11 1025 22 OAB SAB ODR 又易证SC 平面OAB， 所以 2 1 115 1025 2 3 23 A SBC VRR ，解得3R 所以外接球的体积 3 4 34 3 3 V 故选 B 12D 在双曲线 22 2 1 4 xy b 中，当xc时， 2 2 b y ，取 2 , 2 b A c 因为ABF是锐角三角形，所以 1 4 AFF ， 则 2 1 2 tantan1 44 b AFF c ，即 2 82bc 因为双曲线 22 2 1 4 xy b 中2a， 所以 2222 4bcac，所以 2 482cc， 解得113113c
17、，所以1 13113 22 c a 因为1 c e a ，则 113 1 2 e ， 所以双曲线的离心率的取值范围是 113 1, 2 故选 D 131 由已知，得 2 222abx， 因为213ab，所以 42 44413xx， 即 42 450xx，所以 2 1x ，所以2,1b ， 所以 222 0,12,15 cos, 5 1021 a b ， 故向量b在向量a上的投影为 22 5 cos,211 5 ba b 149 令1x ，则有 5 610a，所以1a 又 5 2 1 1 x 展开式的通项为 210 15 1 k kk k TC x ， 令4k ，则常数项为 4 5 210C ；
18、 令5k ，则常数项为 5 5 1C ， 故展开式的常数项为10 1 9 15 3, 函数 1 2 2 h xfxxm有三个零点等价于方程 1 20 2 f xxm有三个不同的根， 即函数 yf x与函数 1 2 2 yxm 的图象有三个不同的交点， 在同一坐标系内作出两个函数图象，如图： 设直线 1 2 2 yxm 与函数 2 0yxx x 相切于 11 ,A x y， 2 2 1y x ，则 1 2 1 21 1 2 y x ， 解得 1 2 3 3 x （舍去）或 1 2 3 3 x ， 所以 1 2 325 3 332 3 3 y ， 所以 5 312 3 2 323 m ，解得3m
19、结合图象可知，实数m的取值范围是 3, 16 4 102 15 5 如图，设CDA，则CDB 在CDA和CDB中，分别由余弦定理可得 2 2 1 4 cos c b c ， 2 2 1 4 cos c a c ， 两式相加，整理得号 2 22 20 2 c ab， 所以 222 24cab， 由 1 sinsinsin 2 abAcbCB 及正弦定理得 1 2 ab acbcb ， 整理得 222 2 ab abc， 由余弦定理的推论可得 222 1 cos 24 abc C ab ，所以 15 sin 4 C 把代入整理得 22 4 2 ab ab， 又 22 2abab，当且仅当ab时等号
20、成立， 所以 5 42 22 abab ab， 所以 8 5 ab ，即 2 10 5 ab时等号成立 此时 2 8812 24 555 c ，即 2 15 5 c ， 所以当ab取最大值时ABC的周长为 4 102 15 5 17解： （1）因为在数列 n a中， 2 235 n Snn， 所以 2 1 231512 n Snnn ， 两式相减得268 n an，即342 n ann， 当1n 时， 11 1aS ， 所以 * 34 n annN （2）由（1）知， 12 2ba， 24 8ba， 因为数列 n b是等比数列，设公比为q，所以 2 1 8 4 2 b q b ， 所以 121
21、 2 42 nn n b ， 所以 3 4 232 34 2 n nn abn ， 所以 1212 23 nnn Taaabbb 1123 23 4444 22 nn n aa 4 1 4 3 1 34 21 4 n nn 2 352 42 n nn 18解： （1）由题意，得 0 00950 0100 01350.0050 0025201 1002011 xy yx ， 所以 0.002 0.0075 x y （2） （i）样本中月用电量不低于 260 度的居民户数有000500002520 10015户，占样本总体 的 15%，用样本估计总体，要保证至少 85%的居民月用量低于标准，故最低
22、标准应定为 260 度 （i）因为 17 3, 20 B ，所以 3 3 173 0123 2020 ii i PiCi = , , 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 27 8000 459 8000 2601 8000 4913 8000 所以 2745926014913 01232.55 8000800080008000 E 或 17 32.55 20 E 19证明： （1）取 1 DD的中点G，连结FG，AG 因为F为 1 DC的中点，所以 1 2 FGCD且FGCD 由正方体的性质知ABCD且ABCD， 所以 1 2 FGAB且FGAB； 因为E点是AB的中点，所以 1 2 AEA
23、B， 所以FGAE且FGAE， 所以四边形AEFG为平行四边形，即AGEF， 因为AG 平面 11 ADD A，EF 平面 11 ADD A， 所以EF平面 11 ADD A 解： （2） 如图，建立空间直角坐标系 因为2AE ，所以正方体各条棱的长都是 4， 所以0,0,0D，4,0,0A，4,2,0E，0,4,0C，0,2,2F， 则4,2,0DE ，0,2,2DF ，4, 2,0CE ，0, 2,2CF 设平面DEF的法向量为 1111 ,nx y z， 由 1 1 0 0 n DE n DF ，得 111 111 ,4,2,00 ,0,2,20 x y z x y z ， 即 11 1
24、1 420 220 xy yz ，令 1 2y ，得 1 1,2, 2n ； 设平面CEF的法向量为 2 , ,nx y z， 由 2 2 0 0 nCE nCF ，得 , ,4, 2,00 , ,0, 2,20 x y z x y z ， 即 420 220 xy yz ，令2y ，得 2 1,2,2n ； 设二面角DEFC为，由题意知为钝角， 所以 12 22 2222 12 1,2, 21,2,2 11 cos 3 39 122122 n n nn ， 所以二面角DEFC的余弦值为 1 9 20解： （1）由 ln x f xaebxb，则 x b fxae x ， 1faeb， 1fa
25、e b 又曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为2120exy， 所以 21 2120 aebe eaeb ， 解得2a，1b 证明： （2）由（1）知 2ln1 x f xex，则 1 2 x fxe x 因为 1 2 x fxe x 在区间0,上单调递增， 且易得 1 0 4 f ， 10f， 所以 0fx 有唯一实根，记为 0 x，则 0 0,1x 由 0 0 1 2 x e x 得 0 0 1 lnln 2 x e x ，整理得 00 lnln2xx 因为当 0 0,xx时， 0fx ，函数 f x单调递减； 当 0, xx时， 0fx ，函数 f x单调递增， 所以 0 000
26、min 0 1 2ln1ln2 1 x f xf xexx x 因为 1 yx x 在0,1上单调递减， 0 0,1x ， 所以 0 0 1 2x x ，所以 min3 ln2f x ，即 3 ln2f x 21解： （1）因为椭圆方程为 22 22 0 xy ab ab 1，直线 2 AF的倾斜角为 2 3 ， 所以在 2 AOF中（O为坐标原点） ， 2 3 A F O ，所以 3 2 b a ， 因为椭圆上的点到焦点的最大距离为 3， 所以3ac ，所以 22 96caa 因为 222 abc， 所以 222 3 96 4 aaaa，解得2a或6a， 又3ac ，所以2a，3b ， 所以
27、椭圆W的标准方程为 22 1 43 xy （2）当直线l斜率不存在时，直线方程为1x， 此时 3 1, 2 D ， 3 1, 2 C ，ABD与ABC的面积相等， 12 0SS 当直线l斜率存在时，因为C，D两点均在y轴的左侧， 设直线方程为1yk x， 11 ,C x y， 22 ,D xy，显然的 1 x， 2 x同号， 由 22 1 43 1k y yx x ，得 2222 3?484120kxk xk， 显然0 ，方程有实根， 由韦达定理知的 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12 2 412 34 k x x k ， 又 12 0x x ，所以3k 或3k ， 此时 2
28、122112211 1 3334SSxxxxxxx x 2 2422 2 222 2 4 4124343 8 34 3 3434 34 kkkk k kk k 22 22 222 11 12 312 3 34161811 kk kkk 2 2 1 12 3 1 1618 1 k k 因为3k 或3k ，所以 2 14k 因为函数 1 16 yx x 在4,上单调递增，所以 min 257 64 y， 所以 2 2 1257257 16116 1644 k k ， 所以 2 2 148 3 12 312 3 1 2555 1618 1 k k 当直线l的斜率存在时， 12 8 3 0 5 SS
29、综上所述， 12 SS的取值范围为0, 8 3 5 22解： （1）直线l参数方程为 1 4 24 xt yt ， （t为参数） ，消去参数， 得直线l的普通方程为30xy 曲线C的极坐标方程为4 2sin 4 ， 展开为4sin4cos，所以4 sin4 cos 因为 222 xy，cosx，siny， 所以 22 44xyyx， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 228xy （2）由（1）知2,2C ，圆C的半径为2 2r ， 由点到直线的距离公式得 2233 2 22 d ， 所以 22 9 22 814 2 PQrd 23解： （1）由 3f xx ，得213xx ， 所以3213xxx ，解得 4 2 3 x 所以不等式 3f xx 的解集为 4 2 3 xx （2） 2 1 43 21 f xmm x 恒成立， 即 2 1 4 213 21 xmm x 恒成立， 因为 1 2 x ，且 11 4 212 4 214 2121 xx xx 当且仅当 1 4 21 21 x x ，即 3 4 x 或 1 4 x 时等号成立 所以 2 43mm，解得14m-， 即实数m的取值范围是1,4
