1、 上海市宝山区上海市宝山区 2020 2020 届高三一模数学试卷届高三一模数学试卷 2019.122019.12 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共12题，每题题，每题4分，分，127每题每题5分，共分，共54分）分） 1. 若iiz2)1 ( （i 是虚数单位），则 | z . 【答案】2 【解析】i i i z 1 1 2 ，得到2 | z 2.已知5 1 24 ，则 . 【答案】3 【解析】由行列式的运算得：524)()(，即3 3.函数) 1(3 1 xy x 的反函数是 . 【答案】1log3 x y， 1 , 0(x 【解析】yx,互换， 1 3 y x1log3 x y
2、1 , 0(x 4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一 场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有 场球赛 【答案】66 【解析】单循环66 2 12 C 5.以抛物线xy6 2 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 . 【答案】9) 2 3 ( 22 yx 【解析】焦点)0 , 2 3 (，半径3 pr 6.在)1 ()1 ( 35 xx的展开式中, 3 x的系数为 . 【答案】9 【解析】 335 5 323 5 9)(1xxCxC 7.不等式63|2| 22 xxxx的解集是 . 【答案】), 4( 【解析】632 22 xxxx4x 8.
3、已知方程)(02 2 Rkkxx的两个虚根为 21,x x ，若2| 21 xx，则k . 【答案】2 【解析】228| 2 21 kkxx 9.已知直线l过点)0 , 1(且与直线02 yx 垂直， 则圆084 22 yxyx与直线l相 交所得的弦长为 . 【答案】152 【解析】直线方程为012yx，圆心到直线的距离5d 22 2|drAB 10.有一个空心钢球，质量为g142，测得外直径为cm5，则它的内直径是 cm. 【答案】5 . 4 【解析】由题意得，142 3 4 ) 2 5 ( 3 4 9 . 7 33 x5 . 42 x， 11. 已知 n a、 n b均是等差数列， nnn
4、 bac， 若 n c前三项是7、9、9， 则 10 c . 【答案】47 【解析】zynxncn 2 ， 939 924 7 zyx zyx zyx 3 5 1 z y x 35 2 nncn，47 10 c 12.已知0ba,那么，当代数式 )( 16 2 bab a 取最小值时，点),(baP的坐标为 . 【答案】 )2,22( 【解析】 2 2 ()() 24 baba b ab Q 16 64 )( 16 2 22 a a bab a 当且仅当 8 2 a bab 即 2 22 b a 时取等号，可求得点P坐标 二、选择题（本题满分二、选择题（本题满分2020分）本大题共有分）本大题
5、共有4 4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结 论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5 5分，否则一律得零分，否则一律得零 分分 13.若函数 1 ( )lnf xxa x 在区间(1, ) e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） 【A】01a 【B】 1 1a e 【C】 【D】 【答案】C 【解析】由零点存在性定理得： 1 ( 1)(1)0aa e 解得： 1 11a e 14.下列函数是偶函数，且在0,)上单调递增的是（ ） 【A】 2 ( )lo
6、g (41) x f xx 【B】( )2cosf xxx 【C】 2 2 1 (0) 0 ( 0) ) ( xx xf x x 【D】 lg ( )10 x f x 【答案】A 【解析】 222 411 ( )log (41)loglog (2) 22 x xx xx f xx ,()( )fxf x是偶函 数，由复合函数单调性知( )f x在0,)上单调递增， 选A 1 e -1 a 1 1 e +1 a 1 15已知平面, 两两垂直，直线, ,a b c满足,abc,则直线, ,a b c不可能 满足的是（ ） 【A】两两垂直 【B】两两平行 【C】两两相交 【D】两两异面 【答案】B
7、【解析】可以借助墙角模型 16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下: 22 sincossin(),axbxabx 下列判断错误的是（ ） 【A】当0,0ab时，辅助角arctan b a 【B】当0,0ab时，辅助角arctan b a 【C】当0,0ab时，辅助角arctan b a 【D】当0,0ab时，辅助角arctan b a 【答案】B 【解析】 2222 2222 sincossincossin() ab axbxabxxabx abab 其中 2222 cos,sin,tan abb a abab ； 当0,0ab时，cos0,sin0, Q第四象限，所以B错。也可以举
8、反例排除 三、解答题三、解答题( (本题满分本题满分7676分分) )本大题共有本大题共有5 5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域( (对应对应 的题号的题号) )内写出必要的步骤内写出必要的步骤. . 17.17. ( (本题满分本题满分1414分，分， 第第1 1小题满分小题满分6 6分，第分，第2 2小题满分小题满分8 8分分) ) 在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面四边形ABCD是边长为2的菱形， 0 60BAD, 1 3DD ,E是AB的中点. （1）求四棱锥 1 CEBCD的体积; （2）求异面直线 1 C E和AD所成角的大
9、小(结果用反三角函数值表示) . 【答案】（1） 3 3 2 V ;(2) 5 arccos 8 【解析】 （1） 33 313 33 3 2 33 22322 BCDE SV ； （2） 取CD中点为M， 连接 1 MC， 1 C EM即为所求 18. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知函数( )sin cos()3sin cos 2 f xxxxx （1）求函数( )f x的最小正周期及对称中心； （2）若( )f x在区间0, 2 上有两个解 12 ,x x，求的取值范围及 12 xx的值。 【答案】（1） 1 ,(,), 2122 k TkZ （2） 12 3
10、 xx 【解析】(1) 2 31 ( )sinsin2cos(2) 232 f xxxx 1 ,(,), 2122 k TkZ ; (2)数形结合， 1 0, ) 2 a ， 12 2 63 xx 19. （本题满分（本题满分 1 14 4 分，第（分，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分）分） 一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池 用 传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉 池中剩余污物的19%. （1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时） （2）
11、 如果污物减少为原来的10%便符合环保规定， 处理后的污水可以排入河流， 若A、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时） 【答案】（1）7；（2）17 【解析】设A、B池中各有的初始污物量都为1， n a表示A池中n小时后的污物量， n b表 示B池中n小时后的污物量（ * nN）； （1）由题意得0.9n n a ， 0.9 0.90.5log0.56.587 n n ann 故A池要用7小时才能把污物的量减少一半 （2）由题意得0.81n n b ， 0.90.812 0.10.2 nn nn ab； 根据指数函数单调性， 可得0.90.81 nn n
12、n ab为递减数列， 又由计算可得 1616 0.2ab， 1717 0.2ab；则116n时，0.2 nn ab；17n时，0.2 nn ab； 综上，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定 20. （本题满分（本题满分 1 16 6 分，第（分，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 6 6 分）分） 已知直线:02l xtt 与椭圆 22 :1 42 xy 相交于A、B两点，其中A在第一 象 限，M是椭圆上一点. （1）记 1 F、 2 F是椭圆 的左右焦点，若直线AB过 2 F，当M到 1 F的距离与到直线AB的
13、 距离相等时，求点M的横坐标； （2）若点M、A关于y轴对称，当MAB的面积最大时，求直线MB的方程； （3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明： OP OQ为定值. 【答案】（1）4 26 m x ；（2） 2 2 yx ；（3）4 【解析】（1）设, mm M xy，易知： 1 2,0F 、 2 2,0F、:2 AB lx 由题意， 22 2 22 22 4 26 1 42 mmm m mm xxy x xy （正值为增根） （2）设 0 ,A t y、 0 ,B ty， 0 0y 2 22 0 0 4 21 42 xt t y yx 2 4 2 ,2 2 t AMt AB ； 2
14、 2 1 2242 22 2 MAB SAM ABtt； （3）设 2cos , 2sinM、, pp P xy、, qq Q xy 0 00 0 2sin 2 sin2cos: 2cos 2sin 0 AM p y tylyxty x t y y ， 同理可得 0 0 2 sin2cos 2sin q ty x y ； 22 22 8sin28 4 1 2sin2 2 pq t OP OQxx t 21. （本题满分（本题满分 1 18 8 分，第（分，第（1 1）小题）小题 4 4 分，第（分，第（2 2）小题）小题 6 6 分，第（分，第（3 3）小题）小题 8 8 分）分） 已知数列
15、n a满足 1 1a ， 2 ae（e是自然对数的底数），且 21nnn aaa ，令 * ln nn banN. （1）证明： 21nnn bbb ； （2）证明： 21 1 nn nn bb bb 是等比数列，且 n b的通项公式是 1 21 1 32 n n b ； （3） 是否存在常数t， 对任意自然数 * nN均有 1nn btb 成立？若存在， 求t的取值范围， 否则，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 1 2 t 【解析】（1）易知：0 n a ，0 n b 221111 11 lnlnln 22 nnnnnnnnnn baaabbbbaa 1nn aa ，因
16、为若 1nn aa ，再有 21nnn aaa 可得 n a为常数列，与题设矛盾； 故 21nnn bbb ； （2） 11 21 11 1 1 2 2 nnn nn nnnn bbb bb bbbb ，为不为零的常数列，即为等比数列； 又可得， 1nn bb 为等比数列，可计算得首项为1，公比为 1 2 ，故 1 1 2 n nn bb 通过累加法可得： 1 21 1 32 n n b ； （3）1n 时，由 12 0,1bb可得 1nn btb 成立； 2n时， 1 1 1 1 2 , 11 112 22 1 1 1 1 2 2 1 12 2 n n n n n n n n n b t b n 为偶数 ， 为奇数 13 1 11 22 2 11 22 1212 22 n nn tn ，n为偶数； 13 1 13 22 3 11 22 1 21 2 22 n nn tn ，n为奇数； 综上， 1 2 t
