1、松江区 2019 学年度第一学期期末质量监控试卷 高三数学 （满分 150 分，完卷时间 120 分钟） 201912 考生注意： 1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题） 在答题纸上，做在试卷上一律不得分。 2.答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。 3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。 一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，第 16 题每个空格填对得 4 分，第 712 题每个空格 填对得 5 分，否则一律得零分 1.已知集合|1 0Ax x ，0,1,2B ，则AB _. 2.若
2、角 的终边过点4, 3P，则 3 sin 2 _. 3.设 1 2 1 i zi i ，则z _. 4. 5 2 2 x x 的展开式中 4 x的系数为_. 5.已知椭圆 22 1 94 xy 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，若椭圆上的点 P 满足 12 2PFPF，则 1 PF _. 6.若关于 x，y 的二元一次方程组 42mxym xmym 无解，则实数m_. 7.已知向量1,2a ，, 3bm，若向量 2abb，则实数m_. 8.已知函数 yf x存在反函数 1 yfx ，若函数 2xyf x的图像经过点1, 6，则函数 1 2 logyfxx 的图像必过点_. 9.在无穷等比数
3、列 n a中，若 12 1 lim 3 n n aaa ，则 1 a的取值范围是_. 10.函数 axb y cxd 的大致图像如图，若函数图像经过0, 1和4,3两点，且1x和2y 是其两条 渐近线，则: : :a b c d _. 11.若实数 a，0b，满足abca b c ， 22 1ab，则实数 c 的最小值为_. 12. 记 边 长 为1的 正 六 边 形 的 六 个 顶 点 分 别 为 1 A， 2 A， 3 A， 4 A， 5 A， 6 A， 集 合 ,1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ij Ma aAAi jij， 在 M 中任取两个元素m、n， 则0m n的概率
4、为_. 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，否则一律得 零分. 13.已知 l 是平面 的一条斜线，直线m，则（ ） （A）存在唯一的一条直线 m，使得lm （B）存在无限多条直线 m，使得lm （C）存在唯一的一条直线 m，使得lm （D）存在无限多条直线 m，使得lm 14.设 x，yR，则“2xy”是“x，y，中至少有一个数大于 1”的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 15.已知 b、cR，若 2 xbxcM对任意的0,4x恒成立，则（ ） （A）M 的最小值为 1
5、（B）M 的最小值为 2 （C）M 的最小值为 4 （D）M 的最小值为 8 16.已知集合1,2,3,10M ，集合AM，定义 M A为 A 中元素的最小值，当 A 取遍 M 的所有非 空子集时，对应的 M A的和记为 10 S，则 10 S（ ） （A）45 （B）1012 （C）2036 （D）9217 三.解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤. 17.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 如图，圆锥的底面半径2OA，高6PO，点 C 是底面直径 AB 所对
6、弧的中点，点 D 是母线 PA 的中点. （1）求圆锥的侧面积与体积； （2）求异面直线 CD 与 AB 所成角的大小（结果用反三角函数表示）. 18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 已知函数 2 2 3sin cos2sinf xxxx. （1）求 f x的最大值； （2） 在ABC中， 内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， 若 0f A ， b、 a、 c 成等差数列， 且2AB AC， 求边 a 的长. 19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分 汽
7、车智能辅助驾驶已开始得到应用， 其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离 （并 结合车速转化为所需时间） ，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算 法（如下图所示）将报警时间划分为 4 段，分别为准备时间 0 t、人的反应时间 1 t、系统反应时间 2 t、制动 时间 3 t，相应的距离分别为 0 d、 1 d、 2 d、 3 d.当车速为 v（米/秒） ，且0,33.3v时，通过大数据统计分 析得到下表（其中系数 k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，0.5,0.9k）. 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 0 t 1
8、0.8t 秒 2 0.2t 3 t 距离 0 20d 米 1 d 2 d 2 3 1 20 dv k 米 （1）请写出报警距离 d（米）与车速 v（米/秒）之间的函数关系式 d v；并求0.9k 时，若汽车达到报 警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到 0.1 秒） （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于 80 米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/ 秒以下？合多少千米/小时（精确到 1 千米/小时）？ 20.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分
9、6 分 设抛物线： 2 4yx的焦点为 F，经过 x 轴正半轴上点,0M m的直线 l 交于不同的两点 A 和 B. （1）若3FA ，求 A 点的坐标； （2）若2m，求证：原点 O 总在以线段 AB 为直径的圆的内部； （3）若FAFM，且直线 1 ll， 1 l与有且只有一个公共点 E，问：OAE的面积是否存在最小值？ 若存在，求出最小值，并求出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由. 21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 已知数列 n a满足： n aN（ * nN） ；当2kn （ * kN）时，
10、 2 n n a ； 当2kn （ * kN）时， 1nn aa .记数列 n a的前 n 项和为 n S. （1）求 1 a， 3 a， 9 a的值； （2）若2020 n S ，求 n 的最小值； （3）求证： 2 42 nn SSn 的充要条件是 21 1 n a （ * nN）. 答案解析 一、填空题 1.【答案】1,2 【解析】 |1 0|1Ax xx x厖， 1,2AB 2. 【答案】 4 5 【解析】 3 sincos 2 角 的终边过点4, 3P， 2 2 44 cos 5 34 即 34 sin 25 3. 【答案】1 【解析】 2 11 222 111 ii ziiiii
11、iii ， 即1z 4. 【答案】40 【解析】 5 210 3 155 2 2 r r rrrr r TCxCx x 当10 342rr ， 22 5 240C 5. 【答案】 4 【解析】根据椭圆的定义可知， 12 26PFPFa， 由 12 2PFPF得， 1211 1 6 2 PFPFPFPF，解得 1 4PF 6. 【答案】-2 【解析】 2 4 4 1 m Dm m ， 2 24 2 x m Dmm mm ， 2 2 2 1 y mm Dmm m 当2x时，0D，0 x D 此时，方程组无解 7. 【答案】 3 2 【解析】 21 2 ,8abm， 因为向量 2abb，所以 1 2
12、38mm ，解得 3 2 m 8. 【答案】4,3 【解析】函数 2xyf x的图像经过点1,6， 函数 yf x的图像经过点1,4， 函数 yf x的反函数 y=f“(x)图像经过4,1， 函数 1 2 logyfxx 的图像必过点4,3 9. 【答案】 11 2 0, 33 3 【解析】无穷等比数列 n a中 12 1 lim 3 n n aaa ， 1 1 13 a q ，且01q， 1 1 1 3 aq，解得， 1 2 0 3 a且 1 1 3 a . 10. 【答案】2: 1:1:1 【解析】 adad bb axbaa cc y dcxdccxdc c x c 可得，函数 axb
13、y cxd 的渐近线分别为 d x c 和 a y c ； 由题意可知，1 d x c ，2 a ycd c ，2ac， 因为函数图像经过0, 1，所以1 d b ，即db， 综上可得，: : :2:1 :1:1a b c d 11. 【答案】2 2 【解析】令cosa，sinb，0, 2 ， cossin 1cossin1 ab abcabcc ab 令cossin2sin 4 t ， 1, 2 t 22 cossin22 1 1cossin13 1 2 tt c tt t t 在区间 1, 2 t 上单调递减， 则2t 时，c 取得最小值，最小值为2 2. 12. 【答案】 24 145
14、【解析】在正六边形中集合 M 中可能有的向量为： 2 6 30P ，集合中的元素具有互异性，其中相等的向量 有 12 组（如 1452 AAA A） ，则集合 M 中共 18 个向量.其中向量下角标差 1 如 12 A A，差 2 如 31 A A，差 3 如 41 A A的分别为 6 个.任取两个元素共有 2 18 153C种选择， 当两个向量中有一个是下角标差 1 时，以 12 A A为例，与其垂直的有 51 A A与 51 A A，则共有6 212 种可 能 当两个向量中有一个是下角标差 3 时，以 41 A A为例，与其垂直的有 26 A A， 62 A A 共有6 212 种可能 综
15、上可知，两向量垂直的情况共有12 1224种， 所以，0m n的概率为 248 15351 . 二、选择题 13. 【答案】B 【解析】l 是平面 的一条斜线，直线m，由直线与平面平行的判定定理可得，平面内不存在直线与 l 平行；假设 l 在平面 的射影是直线 n，在平面 内任意一条与直线 n 垂直的直线，都与 l 垂直，故在无限 多条直线 m，使得lm 选：B. 14. 【答案】A 【解析】充分性：2,xyx y中至少有一个数大于 1， 利用逆否命题，x，y 中没有一个数大于 1，则2xy； 当 x，y 中至少有一个数大于 1 时，取1.1x ，0.8y ，此时2xy，故不成立 选：A. 1
16、5. 【答案】B 【解析】 2 f xxbxc，则当 22 xbxcMMxbxcM 故 maxmin 2Mf xf xt； ()若0 2 b 或4，即0b或8b时 406416tffb，故8M ； ()若80b ，不失一般性，讨论84b ； 即 2 2 0 2224 bbbb tffcbc ； 故当4b时， min 4t，242MM 此时4b，2c ， 2 422xx在0,4x上恒成立 16. 【答案】C 【解析】当最小元素为 1 时，此时集合 A 中的其他元素是集合2,3,4,10的子集，共有 9 2个；当最小 元素为 2 时，此时集合 A 中的其他元素是集合3,4,10的子集，共有 8 2
17、个： 依次类推 所以， 987 10 1 22 23 210 22036S 三、解答题 17.【解析】 （1）由题意，得2OA，6PO， 22 2 10PAPOOA 2 分 圆锥的侧面积为2 2 104 10Srl ；4 分 体积为 22 11 268 33 Vr h；6 分 （2）取 PO 的中点 E，连接 DE，CE， 则CDE 或其补角即为所求，如图所示；8 分 因AOEO，AOCO，$EOCOO知，AOECO 平面又DEAO，DEECO 平面， DEEC， DEC是RT10 分 由 1 1 2 DEOA，11 分 2223 2313CEOCOE13 分 arctan 13CDE，即异面
18、直线 AB 与 CD 所成的角为arctan 13.14 分 18.【解析】（1） 2 2 3sin cos2sin3sin2cos212sin 21 6 f xxxxxxx 4 分 max 2 11 6 fxf 6 分 此时22 62 xk ，则 6 xk ， （kZ） ， （2）由 0f A 得 1 sin 2 62 A ， 22 66 Ak 或22 66 Ak ， （kZ） 因0A 3 A 9 分 由 b，a，c 成等差数列，得2a b c， 10 分 2AB AC，cos2bcA，4bc ， 11 分 由余弦定理，得 2 222 2cos3abcbcAbcbc， 12 分 22 43
19、4aa ， 2a. 14 分 19.【解析】 （1）由题意得 0123 d vdddd 1 分 2 1 20 20 d vvv k 3 分 当0.9k 时， 2 20 18 v d vv ，4 分 202010 1 1 21 23.1 18183 vv t v vv （秒）7 分 （2）根据题意，要求对于任意0.5,0.9k， 80d v 恒成立，9 分 即对于任意0.5,0.9k， 2 1 2080 20 vv k 即 2 1601 20kvv 恒成立. 由0.5,0.9k得 111 , 2018 10k 2 1601 10vv 即 2 106000vv12 分 解得3020v 020v（米
20、/秒） ，13 分 3600 2072 1000 （千米/小时） 汽车的行驶速度应限制在 20 米/秒以下，合 72 千米/小时 14 分 20. 【解析】 （1）由抛物线方程知，焦点是1,0F，准线方程为1x， 设 11 ,A x y，由3FA 及抛物线定义知， 1 2x ，代入 2 4yx得2 2y 所以 A 点的坐标 2,2 2A或 2, 2 2A 4 分 （2）设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 设直线 AB 的方程是：2xmy， 联立 2 2 4 xmy yx ，消去 x 得： 2 480ymy ，由韦达定理得 12 12 4 8 yym y y ，6 分 2 22 12
21、 12 112212121212 ,480 4416 y yyy OA OBx yxyx xy yy yy y ， 故AOB恒为钝角， 故原点 O 总在以线段 AB 为直径的圆的内部. 10 分 （3）设 11 ,A x y，则 11 0x y ， 因为FAFM， 则 1 11mx， 由0m得 1 2mx， 故 1 2 , 0M x .故直线 AB 的斜率 1 2 AB y K . 因为直线 1 l和直线 AB 平行，设直线 1 l的方程为 1 2 y yxb ，代入抛物线方程 得 2 11 88 0 b yy yy ，由题意 2 11 6432 0 b yy ，得 1 2 b y . 12
22、分 设,E xE yE，则 1 4 E y y ， 2 11 41 E x yx 11 11 11 11 001 411 12 22 14 1 OAE yx Sxy xy xy 14 分 当且仅当 11 11 4yx xy ，即 22 11 4yx时等号成立， 由 22 11 2 11 4 4 yx yx 得 2 11 44xx，解得 1 1x 或 1 0x （舍） ，15 分 所以 M 点的坐标为3,0M，min2 OAE S 16 分 21.【解析】 （1）因 2 1a ， 12 aa，且 1 a是自然数， 1 0a ；2 分 4 2a ， 34 0aa，且 3 a， 4 a，都是自然数；
23、 3 0a 或 3 1a ；3 分 16 8a， 91016 08aaa，且 i aN（ * iN） ， 9 0a 或 9 1a .4 分 （2） 1 2 2 k k a （ * kN） ，当 1 22 kk n （ * , n kN）时， 111 1 2122232 02 kkkk k aaaa ，由于 n aN， 所以 1 2 1 k m am 或 m， 1 1,2,3,21 k m . 6 分 64 max 0 11 21 2 3 41 281 216S 2 34 58 916 1732 33 12321714 22222 128 max 64 65 7142794 2 S 714202
24、02794，64128n 8 分 又2020 714 1306， 1 2 350 1275 1306 1 2 350 51 1326 所以 min 6451 115n 10 分 （3）必要性：若 2 42 nn SSn 则： 1 22 422 nn n SS 12 221 4212 n n z SS 得： 11 212221 41 nnn aaa （ * nN） 11 分 由于 1 1 21 22 0 1 n n a a ，或 1 1 21 22 1 2 n n a a ，或 1 1 21 22 0 2 n n a a ，且 21 0 n a ，或 1 只有当 21 1 n a ， 1 21
25、1 n a ， 1 22 2 n a 同时成立时，等式才成立 21 1 n a （ * nN） 13 分 充分性：若 21 1 n a （ * nN） ，由于 1 2122232 12 nnnn n aaaa 所以 2nk ak （ * nN， * kN，2nk ） ， 即 21 1 n a ， 22 2 n a ， 23 3 n a ， 1 21 21 n n a ，又 1 2 2 n n a 所以对任意的 * nN，都有 221 1 nn aa （）14 分 另一方面，由 2nk ak 1 22 2 n k ak （ * nN， * kN，2nk ） ， 所以对任意的 * nN，都有 2 2 nn aa（）15 分 21221321242nnnn Saaaaaaaaa 242223 224 nn aaanaaaan 由于 1 0a ， 2 1a 212 4242 nnn SaaanSn 证毕. 18 分
