1、 贵州省贵阳市贵州省贵阳市 2020 届高三届高三 11 月高三年级联合考试月高三年级联合考试 数学（理科）数学（理科） 考生注意： 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟. 2. 请将各题答案填写在答题卡上. 3. 本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合 2 |3Ax x ，2, 1,0,1,2,3B ，则AB （ ） A. 1,0,1 B. 2,2,3 C. 2,3 D. 3 2. 已知复数1zi ，则 z z （ ） A
2、. 22 22 i B. 22 22 i C. 1 i D. 1 i 3. 已知x，y之间的一组数据如下： x 1 3 4 7 8 10 16 y 5 7 8 10 13 15 19 则线性回归方程y abx 所表示的直线必经过点（ ） A. 8,10 B. 8,11 C. 7,10 D. 7,11 4. 已知向量,3am，2,bm，则“6m ”是“a与b共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为 10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家 企业下列说法错误的是（
3、） A. 成本最大的企业是丙企业 B. 费用支出最高的企业是丙企业 C. 支付工资最少的企业是乙企业 D. 材料成本最高的企业是丙企业 6. 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 sin3sinbAB， 222 bcabc， 则ABC 外接圆的面积为（ ） A. 2 3 B. 3 C. 6 D. 12 7. 执行如图所示的程序框图，若输入的4x，则输出的x为（ ） A. 199 B. 366 C. 699 D. 769 8. 设函数 3 sin 2cos 2 44 xxxf ，则（ ） A. yf x在,0 4 上单调递增，其图象关于直线 4 x 对称 B. yf x在,0
4、4 上单调递增，其图象关于直线 2 x 对称 C. yf x在,0 4 上单调递减，其图象关于直线 4 x 对称 D. yf x在,0 4 上单调递减，其图象关于直线 2 x 对称 9. 设函数 2 cos ,0 xxax aR a ax f x ，若1003f ，则100f（ ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 10. 将一个实心球削成一个正三棱锥，若该三棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 21，则此球表面积的最小值 为（ ） A. 47 B. 48 C. 49 D. 50 11. 已知数列 n a， n b满足 1 2a ， 1 1b ， 1 2 nn ab ， 1nn ba ，
5、则 101101 ab（ ） A. 50 2 B. 51 2 C. 50 3 2 D. 52 2 12. 已知 fx是函数 f x的导数，且满足 0fxf x对0,1x恒成立，A，B是锐角三角形 的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ） A. sinsin sinsin BA fB e f e A B. sinsin sinsin BA fB e f e A C. sincos cossin BA fB e f e A D. sincos cossin BA fB e f e A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 设等差数列
6、n a的前n项和为 n S，若 13 2aa， 5 10S ，则 4 a _. 14. 已知角的始边与x轴正半轴重合且终边过点 4,5，则 3 cossin 22 cossin 2 的值为_. 15. 海伦公式亦叫海伦一秦九韶公式.相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公 式最早出现在海伦的著作测地术中，所以被称为海伦公式.它是利用三角形的三条边的边长直接求三角 形面积的公式，表达式为Sp papbpc，其中a，b，c分别是三角形的三边长， 2 abc p .已知一根长为 8 的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为 2，则该三角形 面积的最大值为_. 16.
7、已知函数 2 1f xx， 333g xxx ，点A，B分别是 f x， g x图象上不同的 两点，则AB的取值范围是_. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每道试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 如图，四棱柱 1111 ABCDABC D的底面是直角梯形，/BCAD，AB AD，22ADBC，四边 形 11 ABB A和 11 ADD A均为正方形. （1）证明：平面 11 ABB A 平面ABCD. （2）求二面角 1 BCDA的余弦值. 18. 为了检测某种零
8、件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据分成 30,40，40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,1007 组，得到如图所示的频率分布 直方图.若尺寸落在区间2 ,2xs xs之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x，s分别为样本 平均数和样本标准差，计算可得15s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） . （1）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件； （2） 工厂利用分层抽样的方法从样本的前 3 组中抽出 6 个零件， 标上记号， 并从这 6 个零件中再抽取 2 个， 求再次抽取的 2 个零件中恰
9、有 1 个尺寸小于50cm的概率. 19. 已知等比数列 n a的公比1q ，其前n项和为 n S， 123 1111 n n T aaaa .若 1 1 3S T ， 3 3 S T ， 5 5 S T 成 等差数列. （1）求q的值； （2）若数列 n a单调递增，且首项为q，求数列 2 21 n n a 的前n项和 n H. 20. 已知抛物线 1 C： 2 4yx和 2 C： 2 4xy的焦点分别为 1 F， 2 F，且 1 C与 2 C相交于O，P两点，O为 坐标原点. （1）证明： 12 FFOP. （2）过点O的直线l交 1 C的下半部分于点M，交 2 C的左半部分于点N，是否存
10、在直线l，使得以MN为 直径的圆过点P？若存在，求l的方程；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数 2 12 2ln 2 xaxx a f x . （1）讨论 f x的单调性； （2） 已知函数 2 22 24ln 2 xae axx a g x x 在1,xe时总有 f xg x成立， 求a的取值 范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 3cos 23sin xt yt （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，直线
11、l的极坐标方程为0. （1）求圆C的极坐标方程； （2）已知直线l与圆C交于A，B两点，若2 3OAOB，求直线l的直角坐标方程. 23. 选修 4-5：不等式选讲 设函数 21f xxaxa . （1）当0a时，求不等式 3f xx的解集； （2）若0a，且关于x的不等式 7f x 有解，求a的取值范围. 高三年级联合考试数学参考答案（理科） 一、选择题 1-5：BADAC 6-10：BDBCB 11-12：CC 1. B 因为| 33Ax xx 或，2, 1,0,1,2,3B ，所以2,2,3AB . 2. A 因为1zi ，所以 1zi ，2z ， 所以 2 12 1222 111222
12、 zii i iiiz . 3. D 134781 01 6 7 7 x ， 578 10 13 15 19 11 7 y ， 线性回归方程y abx 所 表示的直线必经过点, x y，即7,11. 4. A 当a与b共线时， 2 60m ，即6m ，由6m 可以推出a与b共线，但a与b共线不能推 出6m ，“6m ”是“a与b共线”的充分不必要条件. 5. C 甲企业支付工资为10000 35%3500；乙企业支付工资为12000 30%3600；丙企业支付工资 为15000 25%3750.故甲企业的工资支付最少. 6. B 因为sin3sinbAB， 又 sinsin ab AB ， 即
13、sinsinbAaB， 所以3a ， 222 1 cos 22 bca A bc ， 故 3 A .ABC外接圆的半径为 13 3 2sin3 2 2 a A ，所以ABC外接圆的面积为3. 7. D 输入4x，第一步，4 4 3 13 198x ，进入循环；第二步，4 13 349 198x ，进 入循环； 第三步，4 49 3 193 198x ， 进入循环； 第四步，4 193 3769198x ， 结束循环， 输出结果769x. 8. B 3 s i n2c o s22 c o s 2 44 xxxf x ， 所以 yf x在,0 4 上单调递增，其图象关于直线 2 x 对称. 9.
14、C 22 coscos 1 xxaxxx axa f x x ， 2 2 coscos 22 xxxx fxf x axax . 又1003f ，所以1001f. 10. B 由题可知，球的半径不能小于包含在其内部的三棱锥底面三角形的外接圆的半径 6 2 3 2sin 3 .又 三棱锥顶点到底面三角形的重心的距离为 22 212 332 3 ，则三棱锥的顶点落在以三棱锥底 面三角形的重心为球心，2 3为半径的球上， 2 42 348S. 11. C 由 1 2 nn ab ， 1nn ba ，所以 11 2 nn aa ，所以 51 151 101 2 52a .又 11 2 nn bb ，则
15、 51 150 101 1 22b ，所以 50 101101 3 2ab . 12. C 0 xx e f xfxf xe ，0,1x， x e f x在区间0,1上单调递增.又A，B 是锐角三角形的两个内角， 2 AB ， 2 AB ， cossinAB， cossin cossin AB efAefB， sincos cossin BA fAfB ee . 二、填空题 13. 3 14. 4 5 15. 2 2 16. 3 2 1,4 2 13. 3 132 22aaa，即 2 1a ， 15 53 5 510 2 aa Sa ，解得 3 2a ，所以 432 23aaa. 14. 4
16、5 3 c o ss i n s i nc o s22 sinsin cossin 2 c o s14 s i nt a n5 . 15. 2 2 由海伦公式可知4p ，不妨设2a，则6b c ， 44 8 442 22 2 2 bc Sbc . 16. 3 2 1,4 2 分别作出函数 f x， g x的图象，如图所示， f x的图象为以原点为圆心，1 为半 径的圆的上半部分， 3,03 3, 30 xx g x xx ，又原点到直线3yx的距离为 33 2 22 ，所以 min 3 2 1 2 AB， max 3 14AB . 三、解答题 17.（1）证明：因为四边形 11 ABB A和
17、11 ADD A均为正方形，所以 1 AAAD， 1 AAAB. 又ADABA，所以 1 AA 平面ABCD. 因为 1 AA 平面 11 ABB A，所以平面 11 ABB A 平面ABCD. （2）解：由（1）知 1 AA，AB，AD两两互相垂直，故以A为坐标原点，AB，AD， 1 AA所在直线分 别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则0,0,0A， 1 2,0,2B，2,1,0C，0,2,0D， 则2,1,0CD ， 1 0, 1,2CB . 设, ,ma b c为平面 1 BCD的法向量，则 1 20 20 m CDab m CBbc ， 令1a ，则2b，1c，所
18、以1,2,1m . 又因为 1 AA 平面ABCD，所以 1 0,0,2AA 为平面ABCD的一个法向量. 所以 1 26 cos, 62 6 m AA. 因为二面角 1 BCDA是锐角，所以二面角 1 BCDA的余弦值为 6 6 . 18. 解：（1） 35 10 0.005 45 10 0.010 55 10 0.015x 65 10 0.030 75 10 0.020 85 10 0.01595 10 0.00566.5， 266.5 3096.5xs ， 266.5 3036.5xs ，10096.5， 所以该零件属于“不合格”的零件. （2）按照分层抽样抽 6 个零件时，第一组抽 1
19、 个，记为A；第二组抽 2 个，记为B，C；第三组抽 3 个， 记为D，E，F， 从这 6 个零件中抽取 2 个零件共有 15 种情况， 分别为,A B，,A C，,A D，,A E，,A F，,B C， ,B D，,B E，,B F，,C D，,C E，,C F，,D E，,D F，,E F. 其中再次抽取的 2 个零件中恰有 1 个尺寸小于50cm的有 9 种， 分别为,A D，,A E，,A F，,B D， ,B E，,B F，,C D，,C E，,C F. 根据古典概型概率公式，可得 93 155 P . 19. 解：（1）由条件易得 1 1 1 11 1 1 1 1 1 nn n n
20、 aqq T a qq q ， 1 1 1 n n aq S q ， 所以 21 1 n n n S a q T .所以 1 1 2 1 3 3 S a T ， 22 3 1 3 S a q T ， 24 5 1 5 S a q T ， 所以 42 230qq ，解得3q . （2）由题意可知 21 2 333 n n n a . 23 1111 13521 3333 n n Hn ， 2341 11111 13521 33333 n n Hn ， 所以 234 21111 222 33333 n H 1 11 221 33 nn n 2 1 111 22 11333 21 1 33 1 3
21、n n n 11 1111 321 3333 nn n 1 21 22 33 n n ， 故 1 11 3 n n Hn . 20.（1）证明：联立 2 2 4 4 yx xy ，解得 4 4 x y ，所以点4,4P， 1 1,0F， 2 0,1F， 12 1,1FF ， 12 1,14,4440FF OP ， 12 FFOP. （2）解：设过点O的直线为0ykx k， 联立 2 4yx ykx 得 2 4kxx，求得 2 44 ,M kk ， 联立 2 4xy ykx 得 2 4 ,4Nkk ， 所以 2 44 4,4PM kk ， 2 44,44kkPN . 若以MN为直径的圆过点P，
22、则 2 2 44 4444440PM PNkk kk ， 2 2 1 2k k ，解得1k ，即直线l的方程为y x . 所以存在直线l：y x ，使得以MN为直径的圆过点P. 21. 解：（1）因为 2 12 2ln0 2 xax x a f xx ， 所以 2 2 2 22 xax a xa ax f x x 2 xax a x . （i）若0a， 0fx 恒成立，所以 f x在0,上单调递增. （ii）若 2a ， 2 a a ，当,xa时， 0fx ，所以 f x在, a 上单调递增；当 2 0,x a 时， 0fx ，所以 f x在 2 0, a 上单调递增；当 2 ,xa a 时，
23、 0fx ，所以 f x在 2 ,a a 上 单调递减. （iii）若 2a ， 0fx 恒成立，所以 f x在0,上单调递增. （iv）若0 2a ， 2 a a ，当 2 ,x a 时， 0fx ，所以 f x在 2 , a 上单调递增；当 2 ,xa a 时， 0fx ，所以 f x在, 2 a a 上单调递减；当0,xa时， 0fx ，所以 f x在 0,a上单调递增. 综上，当0a或 2a 时， f x在0,上单调递增；当 2a 时， f x在, a 和 2 0, a 上单 调递增，在 2 ,a a 上单调递减；当0 2a 时， f x在 2 , a 和0,a上单调递增，在, 2 a
24、 a 上单 调递减. （2）构造函数 2 2ln ae aF xf xxx x gx ， 当0a时，由1,xe，得0 a ax x ， 2 2ln0 e x x ， 0F x . 当0a时， 2 2 2 2 Fx axxae x ， 因为1,xe，所以220ex， 2 0axa，所以 0Fx 在1,e上恒成立，故 F x在1,xe上 单调递增. max40 a F xae e ，解得 2 4 1 e a e ，又0a，所以 2 4 0 1 e a e . 故a的取值范围是 2 4 ,00, 1 e e . 22. 解：（1）由圆C的参数方程 3cos 23sin xt yt （t为参数），得圆
25、C的普通方程为 2 2 23xy， 得 22 410xyy ， 圆C的极坐标方程为 2 4 sin10 . （2）将直线l的极坐标方程代入圆C的极坐标方程，得 2 4 sin10 ， 又 12 10 ，0， 2 16sin40 ，得 1 sin 2 ， 所以4sin2 3OAOB，所以 3 或 2 3 . 所以直线l的直角坐标方程为3yx . 23. 解：（1）当0a时，解不等式2 13xxx ，即1xx， 所以 22 21xxx ，解得 1 2 x . 所以不等式 3f xx的解集为 1 , 2 . （2） 31,1 21,1 2 31, 2 xxa a xaxaf x a xx ， 当 2 a x 时， min 3 1 2 a f x. 因为 7f x 有解，所以 min7f x，即 3 17 2 a ， 所以312a，所以04a， 所以a的取值范围为0,4.
