1、 简谐运动的回复力和能量一、简谐运动的回复力一、简谐运动的回复力1.1.回复力回复力项项 目目内内 容容定定 义义振动质点受到的总能使其回到振动质点受到的总能使其回到_的力的力方方 向向指向指向_表达式表达式F=_F=_平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置-kx-kx2.2.简谐运动的动力学特征简谐运动的动力学特征如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成_,_,并且并且总是指向总是指向_,_,质点的运动就是简谐运动质点的运动就是简谐运动.正比正比平衡位置平衡位置二、简谐运动的能量二、简谐运动的能量1.1.振动系统（弹簧振子）的状态与能量的对应关系振动
2、系统（弹簧振子）的状态与能量的对应关系弹簧振子运动的过程就是弹簧振子运动的过程就是_和和_互相转化的过程互相转化的过程.(1)(1)在最大位移处在最大位移处,_,_最大最大,_,_为零为零.(2)(2)在平衡位置处在平衡位置处,_,_最大最大,_,_最小最小.2.2.简谐运动的能量特点简谐运动的能量特点在简谐运动中，振动系统的机械能在简谐运动中，振动系统的机械能_，而在实际运动中都，而在实际运动中都有一定的能量损耗有一定的能量损耗,因此简谐运动是一种因此简谐运动是一种_的模型的模型.动能动能势能势能势能势能动能动能动能动能势能势能守恒守恒理想化理想化【想一想【想一想】在弹簧振子的运动过程中，弹
3、性势能最大的位置有在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？动能最大的位置有几个？几个？动能最大的位置有几个？提示：提示：在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有两个，在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端分别对应于振子运动的最左端和最右端.动能最大的位置只有动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候.对回复力的理解对回复力的理解【探究导引【探究导引】观察图片观察图片,思考以下问题：思考以下问题：（1 1）振子在运动中受到哪些力的作用？合力为多大？）振子在运动中受到哪些力的作用？合力为
4、多大？（2 2）当振子运动到平衡位置右侧，且振子向右运动时，合力）当振子运动到平衡位置右侧，且振子向右运动时，合力起到什么作用？起到什么作用？（3 3）当振子运动到平衡位置右侧，且振子向左运动时，合力）当振子运动到平衡位置右侧，且振子向左运动时，合力起到什么作用？起到什么作用？【要点整合【要点整合】1.1.回复力的来源回复力的来源回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的是按照力的作用效果来命名的.回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为
5、弹簧的弹力簧的弹力;也可能是几个力的合力也可能是几个力的合力,如竖直悬挂的弹簧振子的回如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力复力是弹簧弹力和重力的合力;还可能是某一力的分力还可能是某一力的分力.归纳起归纳起来来,回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力.分析物分析物体的受力时不能再加上回复力体的受力时不能再加上回复力.2.2.关于关于k k值值公式公式F=-kxF=-kx中的中的k k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数弹簧的劲度系数，系数k k由振动系统自身决定由振动系
6、统自身决定.3.3.加速度的特点加速度的特点根据牛顿第二定律得根据牛顿第二定律得 表明弹簧振子做简谐运动时表明弹簧振子做简谐运动时,振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反相反.Fkaxmm，【特别提醒【特别提醒】回复力回复力F=-kxF=-kx和加速度和加速度 是简谐运动的动是简谐运动的动力学特征和运动学特征，常用以上两式来证明某个振动为简谐力学特征和运动学特征，常用以上两式来证明某个振动为简谐运动运动.kaxm【典例【典例1 1】如图所示，挂在竖直弹簧下面的小球，用手向下拉】如图所示，挂在竖直弹簧下面的小球，用手向下拉
7、一段距离，然后放手，小球上下振动一段距离，然后放手，小球上下振动.试判断小球的运动是否试判断小球的运动是否为简谐运动为简谐运动.【思路点拨【思路点拨】解答本题时可按以下思路分析解答本题时可按以下思路分析:在平衡位在平衡位置时受力置时受力分析分析 离开平衡离开平衡位置时受位置时受力分析力分析求指向平求指向平衡位置的衡位置的合力合力看是否满足看是否满足F=F=-kx-kx的特点的特点【规范解答【规范解答】小球静止时的位置为其运动时的平衡位置，设此小球静止时的位置为其运动时的平衡位置，设此时弹簧伸长量为时弹簧伸长量为x x0 0，由力的平衡条件可知，由力的平衡条件可知kxkx0 0=mg,=mg,向
8、下再拉长向下再拉长x x，释放后小球受到指向平衡位置的合力大小为：释放后小球受到指向平衡位置的合力大小为：F=k(x+xF=k(x+x0 0)-)-mg=kxmg=kx,考虑到力的方向和位移方向的关系考虑到力的方向和位移方向的关系,应有：应有：F=-kxF=-kx.由此由此可见，小球的运动为简谐运动可见，小球的运动为简谐运动.简谐运动中各个物理量的变化简谐运动中各个物理量的变化【探究导引【探究导引】如图所示，如图所示，O O点为振子的平衡位置，点为振子的平衡位置，AA、A A分别是振子运动的分别是振子运动的最左端和最右端最左端和最右端.观察以上图片，思考以下问题：观察以上图片，思考以下问题：（
9、1 1）描述振子运动的有关物理量有哪些？）描述振子运动的有关物理量有哪些？（2 2）以上物理量怎样变化？）以上物理量怎样变化？（3 3）各物理量是否具有一一对应的关系？）各物理量是否具有一一对应的关系？【要点整合【要点整合】1.1.根据弹簧振子图根据弹簧振子图,可分析各个物理量的变化关系如下可分析各个物理量的变化关系如下:振子的振子的运动运动AOAOOAOAAOAOOAOA位位 移移回复力回复力方向方向向右向右向左向左向左向左向右向右增大增大向左向左向右向右向右向右向左向左方向方向大小大小减小减小增大增大增大增大增大增大减小减小减小减小大小大小减小减小振子的振子的运动运动AOAOOAOAAOA
10、OOAOA加速度加速度速速 度度振子的动能振子的动能弹簧的势能弹簧的势能系统总能量系统总能量方向方向向左向左向右向右向右向右向左向左增大增大向左向左向右向右向右向右向左向左方向方向大小大小增大增大减小减小增大增大减小减小增大增大减小减小减小减小大小大小增大增大增大增大增大增大增大增大减小减小减小减小减小减小减小减小不变不变不变不变不变不变不变不变2.2.各个物理量对应关系不同各个物理量对应关系不同位置不同，位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、位置不同，位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同势能可能相同，也可能不同.【特别提醒【特别提醒】(1)(1)简谐
11、运动中在最大位移处，简谐运动中在最大位移处，x x、F F、a a、E Ep p最大，最大，v=0,Ev=0,Ek k=0;=0;在平衡位置处，在平衡位置处，x=0,F=0,a=0,Ex=0,F=0,a=0,Ep p最小但不一定为零，最小但不一定为零，v v、E Ek k最大最大.(2)(2)简谐运动中振动系统的动能和势能相互转化，机械能守恒简谐运动中振动系统的动能和势能相互转化，机械能守恒.【典例【典例2 2】如果表中给出的是做简谐运动的物体的位移】如果表中给出的是做简谐运动的物体的位移x x或速度或速度v v与时刻的对应关系与时刻的对应关系,T,T是振动周期是振动周期,则下列选项中正确的是
12、则下列选项中正确的是()()物理量物理量0 0T/4T/4T/2T/23T/43T/4T T 甲甲零零正向正向最大最大零零负向负向最大最大零零乙乙零零负向负向最大最大零零正向正向最大最大零零状态状态时刻时刻 物理量物理量0 0T/4T/4T/2T/23T/43T/4T T 丙丙正向正向最大最大 零零负向负向最大最大零零正向正向最大最大丁丁负向负向最大最大零零正向正向最大最大零零正向正向最大最大状态状态时刻时刻A.A.若甲表示位移若甲表示位移x,x,则丙表示相应的速度则丙表示相应的速度v vB.B.若丁表示位移若丁表示位移x,x,则甲表示相应的速度则甲表示相应的速度v vC.C.若丙表示位移若丙
13、表示位移x,x,则甲表示相应的速度则甲表示相应的速度v vD.D.若乙表示位移若乙表示位移x,x,则丙表示相应的速度则丙表示相应的速度v v【思路点拨【思路点拨】解答本题时要把握以下三点：解答本题时要把握以下三点：【关键点【关键点】(1)(1)简谐运动的对称性简谐运动的对称性.(2)(2)简谐运动的周期性简谐运动的周期性.(3)(3)位移、速度的变化规律位移、速度的变化规律.【规范解答【规范解答】选选A A、B.B.本题可结合本题可结合如图所示的弹簧振子的振动情况如图所示的弹簧振子的振动情况具体分析具体分析.在振子从平衡位置在振子从平衡位置 (t=(t=0)0)向右向右(正方向正方向)运动到正
14、向最大位移的过程中运动到正向最大位移的过程中,其速度为正其速度为正且由最大值减小到零且由最大值减小到零,A,A正确正确;在振子从负向最大位移处运动在振子从负向最大位移处运动,经经 周期回到平衡位置时周期回到平衡位置时,振子向右运动振子向右运动,速度为正且增大速度为正且增大,B,B正正确确;若振子从正向最大位移向平衡位置运动时若振子从正向最大位移向平衡位置运动时,振子的速度为负振子的速度为负且逐渐增大且逐渐增大,C,C错误错误;若振子从平衡位置向负向最大位移处运动若振子从平衡位置向负向最大位移处运动,则振子的速度为负且逐渐减小则振子的速度为负且逐渐减小,D,D错误错误.T4 简谐运动的特征简谐运
15、动的特征【探究导引【探究导引】如图所示，物体在如图所示，物体在A A、B B之间做简谐运动，之间做简谐运动，O O点为平衡位置，点为平衡位置，C C、D D两点关于两点关于O O点对称，思考以下问题：点对称，思考以下问题：（1 1）物体经过）物体经过C C、D D两点时的位移两点时的位移相等吗？相等吗？（2 2）物体经过）物体经过C C、D D两点时的速度、加速度相等吗？两点时的速度、加速度相等吗？【要点整合【要点整合】1.1.瞬时性：做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置，瞬时性：做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置，对应不同的位移，由对应不同的位移，由F=-kxF=-kx可知回复
16、力不同可知回复力不同.由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得 可知加速度可知加速度a a也不相同，也就是说也不相同，也就是说a a、F F、x x具有瞬时对具有瞬时对应性应性.kaxm 2.2.对称性：做简谐运动的物体，运动过程中各物理量关于平衡对称性：做简谐运动的物体，运动过程中各物理量关于平衡位置对称位置对称.物体通过关于平衡位置对称的两点时，加速度（回物体通过关于平衡位置对称的两点时，加速度（回复力）大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等复力）大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等.对称对称性还表现在过程的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位性还表现在过程的相等上，如从某点到达最大位
17、置和从最大位置再到该点所需要的时间相等置再到该点所需要的时间相等.质点从某点向平衡位置运动时质点从某点向平衡位置运动时,到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等用的时间相等.3.3.周期性：简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可周期性：简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可作如下判断：作如下判断：（1 1）若）若t t2 2-t-t1 1=nT=nT，则，则t t1 1、t t2 2两时刻振动物体在同一位置，运动两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同情况完全相同.（2 2）若）若 则则t t1 1、
18、t t2 2两时刻描述运动的物理量（两时刻描述运动的物理量（x x、F F、a a、v v）大小均相等、方向相反）大小均相等、方向相反(或均为零或均为零).).21TttnT2，【特别提醒【特别提醒】由于简谐运动是一种变加速运动，所以匀变速直由于简谐运动是一种变加速运动，所以匀变速直线运动的规律不能使用线运动的规律不能使用.涉及到回复力大小的计算问题时，一涉及到回复力大小的计算问题时，一般选择般选择F=-kxF=-kx及及F=maF=ma来计算来计算.另外要灵活应用简谐运动的瞬时性、另外要灵活应用简谐运动的瞬时性、对称性和周期性对称性和周期性.【典例【典例3 3】如图所示，】如图所示，A A、
19、B B叠放在光滑水叠放在光滑水平地面上，平地面上，B B与自由长度为与自由长度为L L0 0的轻弹簧相的轻弹簧相连连.当系统振动时，当系统振动时，A A、B B始终无相对滑动，始终无相对滑动，已知已知m mA A=3m=3m，m mB B=m=m，当振子距平衡位置的，当振子距平衡位置的位移位移 时，系统的加速度为时，系统的加速度为a a，求，求A A、B B间摩擦力间摩擦力F Ff f与位移与位移x x的的函数关系函数关系.0Lx2【思路点拨【思路点拨】解答本题时应把握以下三点：解答本题时应把握以下三点：【关键点【关键点】（1 1）题中）题中“A A、B B始终无相对滑动始终无相对滑动”说明说
20、明A A、B B两物体的运动情两物体的运动情况相同，具有相同的加速度况相同，具有相同的加速度.（2 2）已知）已知“当振子距平衡位置的位移当振子距平衡位置的位移 时，系统的加速时，系统的加速度为度为a”,a”,根据牛顿第二定律求出弹簧的劲度系数根据牛顿第二定律求出弹簧的劲度系数.（3 3）对应问题是任意位置，所以应设出任意位移，根据牛顿）对应问题是任意位置，所以应设出任意位移，根据牛顿第二定律求解第二定律求解.0Lx2【规范解答【规范解答】设弹簧的劲度系数为设弹簧的劲度系数为k k，以，以A A、B B整体为研究对整体为研究对象，系统在水平方向上做简谐运动，其中弹簧的弹力为系统的象，系统在水平
21、方向上做简谐运动，其中弹簧的弹力为系统的回复力，所以对系统运动到距平衡位置为回复力，所以对系统运动到距平衡位置为 时，有时，有 由此可得由此可得 当系统的位移为当系统的位移为x x时时,A,A、B B间的静摩擦力为间的静摩擦力为F Ff f,此时此时A A、B B具有共具有共同加速度同加速度a,a,对系统有对系统有-kx=(m-kx=(mA A+m+mB B)a)a 对对A A有有F Ff f=m=mA Aa a 由由得得 答案：答案：0L20ABLkmma,208makLf06maFx.L f06maFx.L 简谐运动能量与振幅的关系简谐运动能量与振幅的关系一个振动系统的振动过程就是动能和势
22、能互相转化的过程一个振动系统的振动过程就是动能和势能互相转化的过程.振振动系统的总能量跟振幅和回复力动系统的总能量跟振幅和回复力F=-kxF=-kx中的中的k k有关有关.对于一个确定的振动系统来说，由于对于一个确定的振动系统来说，由于k k值一定，所以振幅越大，值一定，所以振幅越大，机械能越大，振动越强机械能越大，振动越强.【案例展示【案例展示】如图所示，一弹簧振子在如图所示，一弹簧振子在B B、C C间做简谐运动，平间做简谐运动，平衡位置为衡位置为O O，振幅为，振幅为A A，已知振子的质量为，已知振子的质量为M.M.若振子运动到若振子运动到C C处处时，将一质量为时，将一质量为m m的物
23、体放到的物体放到M M的上面，的上面，m m和和M M一起运动且无相对一起运动且无相对滑动，下列叙述正确的是滑动，下列叙述正确的是()()A.A.振幅不变振幅不变 B.B.振幅减小振幅减小C.C.最大动能不变最大动能不变 D.D.最大动能减小最大动能减小【规范解答【规范解答】选选A A、C.C.振子运动到振子运动到C C处时速度恰为零，此时放上处时速度恰为零，此时放上m m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能.由于简谐运动由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此选项中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此选项A A正确，正确，B B错误；错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C C正确，正确，D D错误错误.【易错分析【易错分析】本题易错选项及错误原因分析如下：本题易错选项及错误原因分析如下：易错选项易错选项错误原因错误原因B B不能从能量守恒的角度考虑问题，只简单认为不能从能量守恒的角度考虑问题，只简单认为质量变大了，运动的最大距离就短了，即振幅质量变大了，运动的最大距离就短了，即振幅减小减小D D应该是最大动能不变应该是最大动能不变.质量大了，最大速度小了，质量大了，最大速度小了，把最大速度的变化简单地等效为最大动能的变把最大速度的变化简单地等效为最大动能的变化化
