1、 1 陕西省咸阳市陕西省咸阳市 2020 届高三下学期第二次模拟考试届高三下学期第二次模拟考试(网考网考) 数学（文）试题数学（文）试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题分，共小题，每小题分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求求. 1集合 Mx|x1，N1，0，1，2，则 MN（ ） A0，1 B1，0，1 C1，1 D0，1，2 2已知 i 为虚数单位，复数 z（1+i） （2+i） ，则其共轭复数 =（ ） A1+3i B13i C1+3i D13i 3“一带一路”是“丝绸之路经济带”和
2、“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合 作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体自 2015 年以来，“一带一路”建设成果 显著 右图是 20152019 年， 我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图， 下列描述错误的是 （ ） A这五年，出口总额之和比进口总额之和大 B这五年，2015 年出口额最少 C这五年，2019 年进口增速最快 D这五年，出口增速前四年逐年下降 4已知数列 a1，a2a1，a3a2，anan1是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则 a3等于（ ） A9 B5 C4 D2 5“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的
3、一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所 示）的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷 2000 个点，已知恰有 800 个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ） 2 A16 5 B18 5 C10 D32 5 6tan（345 ）（ ） A2+3 B2+3 C23 D23 7已知 alog23，blog310，c0.20.3，则 a，b，c 大小关系为（ ） Abca Bcba Ccab Dbac 8双曲线 C1： 2 2 2 2 = 1(0，0）的一个焦点为 F（c，0） （c0） ，且双曲线 C1的两条渐近线与圆 C2：( )2+ 2= 2
4、 4 均相切，则双曲线 C1的离心率为（ ） A23 3 B3 C 5 2 D5 9已知 a，b 为两条不同直线， 为三个不同平面，下列命题： 若 ，则 若 a，a，则 若 ，则 若 a，b，则 ab 其中正确命题序号为（ ） A B C D 10函数 f（x）= 2 |;1|的图象大致为（ ） A B C D 11正四棱锥 PABCD 的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，高为 3，则它的外接球的表面积 为（ ） 3 A4 B8 C16 D20 12已知函数 f（x）ex+b 的一条切线为 ya（x+1） ，则 b（ ） Aalna Ba2lna C1 D 二、填空题：本大题共二、填空
5、题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置分，把答案填在答题卡的相应位置. 13函数 yln（x3）的零点是 14数列an的前 n 项的和 Sn2n1，则 an 15为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量 y（mg/m3） 与时间 t（h）的函数关系为 y= ，0 1 2 1 ， 1 2 ， （如图所示）实验表明，当药物释放量 y0.75（mg/m3） 对人体无害 （1）k ； （2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过 分 钟人方可进入房间 16已知 AB
6、是过抛物线 y24x 焦点 F 的弦，O 是原点，则 = 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知函数() = 3 （I）求函数 f（x）的单调递增区间； （II）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 f（A）1， = 3， =2，求边 b 的长和 C 的大小 18为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起“的知识问卷 作答， 随机抽出男女各 20 名同学的问卷进行打分， 作出如图所示的茎叶图， 成绩大于 70
7、 分的为“合格“ 4 （I）由以上数据绘制成 2 2 联表，是否有 95%以上的把握认为“性别“与“问卷结果“有关？ 男 女 总计 合格 不合格 总计 （II）从上述样本中，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的男女学生问卷中任意选 2 个，求这 2 个学生性 别不同的概率 附： P（k2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 K2= (;)2 (:)(:)(:)(:)，na+b+c+d 19如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，ABC90 ，AB2DC2BC，E 为 AB 的中点，沿 DE 将 ADE 折起， 使得
8、点 A 到点 P 位置， 且 PEEB， M 为 PB 的中点， N 是 BC 上的动点 （与点 B， C 不重合） （I）求证：平面 EMN平面 PBC； （）设三棱锥 BEMN 和四棱锥 PEBCD 的体积分别为 V1和 V2，当 N 为 BC 中点时，求 1 2的值 20椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 2 2 ，它的四个顶点构成的四边形面积为22 （I）求椭圆 C 的方程： （II）设 P 是直线 xa2上任意一点，过点 P 作圆 x2+y2a2的两条切线，切点分别为 M，N，求证：直 线 MN 恒过一个定点 21已知函数 f（x）axex（aR，a0） ，g（x
9、）x+lnx+1 5 （I）讨论 f（x）的单调性； （II）当 a1 时，证明：对任意的 x0，f（x）g（x）恒成立 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 cos24sin 0，直线 l1和直线 l2的极坐标方程分别是 （R）和 = + 2 ( )，其中 k（kz） （I）写出曲线 C 的直角坐标方程； （I）设直线 l1和直线 l2分别与曲线 C 交于除极点 O 的另外点 A，B，求OAB 的面积最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式
10、选讲 23已知关于 x 的不等式|x+m|2x0 解集为1，+） （m0） （I）求正数 m 的值； （II）设 a，b，cR+，且 a+b+cm，求证： 2 + 2 + 2 1 6 答案与详解答案与详解 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题分，共小题，每小题分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求求. 1Mx|x1，N1，0，1，2， MN1，0，1 故选：B 2z（1+i） （2+i）2+i+2i11+3i， = 1 3 故选：B 3对于 A，这五年，出口总额之和比进口总额之和大，故 A 对；
11、 对于 B，2015 出口额最少，故 B 对； 对于 C，这五年，2019 年进口增速最快，故 C 对； 对于 D，根据蓝色线斜率可知，这五年，出口增速前三年逐年下降，第四年后增速开始增加，故 D 错 故选：D 4由题意可得，anan11+2（n1）2n1，a11， 故 a24，a39， 故选：A 5根据题意，设阴影部分的面积为 S，则正方形的面积为 9， 向正方形内随机投掷 2000 个点，已知恰有 800 个点落在阴影部分内， 则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率 P= 800 2000 = 2 5； 而 P= 9，则 9 = 2 5， 解可得，S= 18 5 ； 故选：B 6t
12、an30 tan（2 15 ）= 215 1;215 = 3 3 ， 可得3tan215 +6tan15 3 =0， 解得 tan15 23，负值舍去， tan（345 ）tan（360 15 ）tan15 2+3 故选：B 7 7log22log23log24，1a2， log310log392，b2， 00.20.30.201，0c1， cab， 故选：C 8双曲线 C1： 2 2 2 2 = 1(0，0） ， 双曲线的渐近线方程为 y x，即 bx ay0， 圆 C2：( )2+ 2= 2 4 的圆心为 F（c，0） ，半径为1 2c， 由双曲线 C 的渐近线与圆 E 相切，得 2:2
13、= 1 2， 整理，得 b= 1 2c，即 2 2= 1 4 2，可得 c=4 3a 双曲线 C 的离心率 e= = 23 3 故选：A 9若 ，则 ，故正确； 若 a，a，则 或 与 相交，故错误； 若 ，则 或 与 相交，故错误； 若 a，b，则 ab，故正确 正确命题序号为 故选：C 10函数 f（x）为非奇非偶函数，图象不对称，排除 C， 当 x+，f（x）+0，排除 D， f（x）0 恒成立，排除 A， 故选：B 11正四棱锥 PABCD 的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，高为 3，设它的外接球的半径为 R，球心为 O，底面 ABCD 的中心为 M 设 OMx 则 R2x2
14、+(3)2，R+x3 解得：R24 可得球的表面积为 16 故选：C 8 12设切点为 P（x0，n） ， 则 f（x0）= 0=a 又0+ba（x0+1）， 由得：bax0， 由知 x0lna， balna 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置分，把答案填在答题卡的相应位置. 13令函数 yln（x3）0，求得 x31，x4， 故函数 yln（x3）的零点为 4， 故答案为：4 14数列an的前 n 项的和 Sn2n1， n1 时，a1S1211； n2 时，anSnSn1 （2n1）（2n
15、11） 2n 1 n1 时，2n 11a 1 = 2;1 故答案为：2n 1 15 （1）由图象可知，当 t= 1 2时，y1， 2 = 1， k2； （2）由（1）可知：y= 2，0 1 2 1 2 ， 1 2 ， 9 当 t 1 2时，y= 1 2，令 y0.75 得，t 2 3， t 2 3， 在消毒后至少经过 2 3小时，即 40 分钟人方可进入房间， 故答案为：2，40 16设直线 l：xmy+1（由于有两个交点，直线 l 的斜率必存在） ， 联立 2 = 4 = + 1得：y 24my40， 由韦达定理：y1+y24m，y1y24 所以 x1x2（my1+1） （my2+1）m2y
16、1y2+m（y1+y2）+14m2+4m2+11 （x1，y1）（x2，y2）x1x2+y1y24+13 故答案为：3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （）函数() = 3 =2（ 3 2 sinx 1 2cosx）2sin（x 6） ； 令 2 +2kx 6 2 +2k，kZ； 6 +kx 3 +k，kZ； 所以函数 f（x）的单调递增区间是 6 +k， 3 +k，kZ； （II）ABC 中，f（A）2sin（A 6）1，所以 sin（A 6）= 1 2； 又
17、A（0，） ，所以 A 6（ 6， 5 6 ） ， 所以 A 6 = 6，解得 A= 3； 又 = 3， =2， 所以 a2b2+c22bccosA， 即 3b2+42 2b cos 3， 化简得 b22b+10， 解得 b1； 且 a2+b2c2，所以C= 2 18 （I）根据茎叶图填写 2 2 联表，如下； 男 女 总计 10 合格 10 16 26 不合格 10 4 14 总计 20 20 40 计算 K2= 40(104;1016)2 26142020 = 360 91 3.9563.841， 所以有 95%以上的把握认为“性别“与“问卷结果“有关； （II）从茎叶图中的数据知，成绩在
18、 60 分以下（不含 60 分）的男生是 4 人，记为 a、b、c、d， 女生是 2 人，记为 E、F，从这 6 人中任意选 2 人，基本事件是： ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF 共 15 种， 其中这两个学生性别不同的是 aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF 共 8 种， 所以所求的概率值是 P= 8 15 19 （I）证明：PEEB，PEED，EBEDE， PE平面 EBCD， 又 PE平面 PEB，平面 PEB平面 EBCD， BC平面 EBCD，BCEB， 平面 PBC平面 PEB， PEEB，PMMB，EMPB， B
19、CPB，EM平面 PEB， EM平面 EMN，平面 EMN平面 PBC （）解：N 是 BC 中点， = 1 2 = 1 4， 点 M，P 到平面 EBCD 的距离之比为1 2， 1 2 = 1 3 1 3 1 2 = 1 2 1 4 = 1 8 20 （I）由题意可知， 1 2 2 2 = 22 = = 2 2 2= 2+ 2 ，解得 = 2，bc1， 所以椭圆的标准方程 2 2 + 2= 1； 11 （II）证明：方法一：设点 P（2，y0） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） 其中1 2 + 1 2 = 2，2 2 + 2 2 = 2，由 PMOM，PNON， 1;0 1;2 1 1
20、 = 1，2;0 2;2 2 2 = 1，即1 2 + 1 2 21 10= 0，2 2 + 2 2 22 20= 0， 注意到1 2 + 1 2 = 2，2 2 + 2 2 = 2，于是，22x1y1y00，22x2y2y00， 所以，M，N 满足 22xyy00， 由 y0的任意性可知，x1，y0，即直线 MN 恒过一个定点（1，0） 方法二：设点 P（2，y0） ，过点 P 且与圆 x2+y22 相切的直线 PM，PN，切点分别为 M，N，由圆的知识 可知，M，N 是圆以 OP 为直径的圆( 1)2+ ( 0 2 )2= 1 + (0 2 )2和圆 x2+y22 的两个交点， 由 2 +
21、 2= 2 ( 1)2+ ( 0 2 )2= 12+ (0 2 )2，消去二次项得直线 MN 方程为 22xyy00， 由 y0的任意性可知，x1，y0，即直线 MN 恒过一个定点（1，0） 方法三：由圆的极点极线可知，已知 M（x0，y0）为圆 C： （xa）2+（yb）2R2外一点， 由点 M引圆C的两条切线MA， MB， 其中 A， B为切点， 则直线 AB 的方程为(0 )( ) + (0 )( ) = 2， 特殊地，知 M（x0，y0）为圆 C：x2+y2R2外一点，由点 M 引圆 C 的两条切线 MA，MB，其中 A，B 为 切点，则直线 AB 的方程为0+ 0= 2 设点 P（2
22、，y0） ，由极点与极线可知，直线 MN 的方程 2x+yy02，即 2x+yy020， 由 y0的任意性可知，x1，y0，即直线 MN 恒过一个定点（1，0） 所以直线 MN 恒过一个定点（1，0） 21 （I）f（x）a（x+1）ex，a0， 当 a0 时，易得 x（，1）时，f（x）0，函数单调递减，当 x（1，+）时，f（x）0， 函数单调递增， 当 a0 时，易得 x（，1）时，f（x）0，函数单调递增，当 x（1，+）时，f（x）0， 函数单调递减， （II）当 a1 时，要证明 f（x）g（x）代入可得，即证明 1 :1 ，x0， 令 F（x）= :1 ，x0， 则() = ;(
23、:1)(:) ()2 ，令 t（x）x+lnx，x0，则 t（x）1+ 1 0，即 t（x）在（0，+）上单调递 增，且 t（1 ）= 1 10，t（1）10， 故存在 x0（1 ，1）使得 t（x0）x0+lnx00， 12 从而有 F（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+）上单调递减， 故 F（x）maxF（x0）= 0:0:1 00 =1， 故 F（x）1 因此 f（x）g（x）恒成立， 法二：令 h（x）exx1，则 h（x）ex1， 易得，当 x0 时，h（x）0，函数单调递增，当 x0 时，h（x）0，函数单调递减， 故当 x0 时，h（x）取得最小值 h（0）0，即 exx+
24、1，x0 时取等号， 故 xexex+lnxx+lnx+1，当 x+lnx0 时取等号， 所以当 a1 时，xexx+lnx+1 恒成立 综上不等式 f（x）g（x）恒成立 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （）曲线 C 的极坐标方程是 cos24sin0，转换为直角坐标方程为 x24y （）直线 l1和直线 l2的极坐标方程分别是 （R）和 = + 2 ( )，其中 k（kz） 所以 2 4 = 0 = 整理得1= | 4 2 |， 同理2= | 4(: 2) 2(: 2) | = | 4 2 |， 所以= 1 2| = 1 2| 4 2 | 4 2 | = | 16 2 | 16 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 （）|x+m|2x0（m0） ， |x+m|2x2xx+m2x， 3 ，xm 不等式|x+m|2x0 解集为1，+） ， m1 （）由（）知，a+b+cm1， a，b，cR*，a2+b22ab， 2 2 ，同理 2 2 ， 2 2 ， 三式相加，得 2 + 2 + 2 + + ，当且仅当 abc 时等号成立， 2 + 2 + 2 1 13
