1、 解三角形解三角形 一知识梳理 知识点一 正弦定理及其推论 设 ABC 的外接圆半径为 R，则 (1) a sin A b sin B b sin B= c sin C (2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C. (3)sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R. (4)在 ABC 中，AB .ab sin Asin B 知识点二 余弦定理及其推论 (1)a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C. (2)cos Ab 2c2a2 2bc ；cos Bc 2a2b2 2ca ；cos C a2b2c2 2ab
2、 . (3)在 ABC 中，c2a2b2 C 为直角；c2a2b2 C 为钝角；c2a2b2 C 为锐角. 知识点三 三角形面积公式 (1) S1 2aha 1 2bhb 1 2chc； (2)S1 2absin C 1 2bcsin A 1 2casin B. 二跟踪训练 1.在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列结论不正确的是（ ） Aa2b2+c22bccosA BasinBbsinA CabcosC+ccosB DacosB+bcosAsinC 【答案】A，B，C 【解析】【解析】由在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，知： 在 A 中，
3、由余弦定理得：a2b2+c22bccosA，故 A 正确； 在 B 中，由正弦定理得：，asinBbsinA，故 B 正确； 在 C 中，abcosC+ccosB，由余弦定理得：ab+c， 整理，得 2a22a2，故 C 正确； 在 D 中，由余弦定理得 acosB+bcosAa+b+csinC， 故 D 错误故选 A，B，C. 2.对于 ABC，有如下命题，其中正确的有（ ） A.若 sin2Asin2B，则 ABC 为等腰三角形； B.若 sinAcosB，则 ABC 为直角三角形； C.若 sin2Asin2Bcos2C1，则 ABC 为钝角三角形 D.若 AB 3，AC1，B30 ，则
4、 ABC 的面积为 3 4 或 3 2 【答案】C，D 【解析】【解析】 对于 A： sin2Asin2B， AB ABC 是等腰三角形， 或 2A2BAB 2， 即 ABC 是直角三角形 故 A 不对；对于 B：由 sinAcosB，AB 2或 AB 2.ABC 不一定是直角三角形；对于 C：sin 2Asin2B1 cos2Csin2C，a2b2b，C60 或 C120 .A90 或 A30 . S ABC1 2bcsinA 3 2 或 3 4 .D 正确 3.下列命题中，正确的是（ ） A在 ABC 中，BABAsinsin, B在锐角 ABC 中，不等式BAcossin恒成立 C在 A
5、BC 中，若BbAacoscos，则 ABC 必是等腰直角三角形 D在 ABC 中，若acbB 20, 60，则 ABC 必是等边三角形 【答案】A，B，D 【解析】【解析】在 ABC 中,由BbAacoscos，利用正弦定理可得：BBAAcossincossin BA2sin2sin，BABABA22222), 0(,或，, BA 或 2 BA ，因此 ABC 是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误. 4.以下关于正弦定理或其变形正确的有( ) A在 ABC 中，abcsin Asin Bsin C B在 ABC 中，若 sin 2Asin 2B，则 ab C在 ABC 中，若 s
6、in Asin B，则 A B，若 AB，则 sin Asin B 都成立 D在 ABC 中， a sin A bc sin Bsin C 【答案】【答案】A，C，D 【解析】【解析】由正弦定理易知 A，C，D 正确对于 B，由 sin 2Asin 2B，可得 AB，或 2A2B，即 AB，或 AB 2，ab，或 a 2b2c2，故 B 错误. 5.在 ABC 中，下列结论错误的有（ ） A.a2b2+c2，则 ABC 为钝角三角形 B.a2b2+c2+，则A 为 45 ； C.a2+b2c2，则 ABC 为锐角三角形 D.若A：B：C1：2：3，则 a：b：c1：2：3 【答案】B，C，D
7、【解析】【解析】对于，若 a2b2+c2，则 b2+c2a20，即有 cosA0，即 A 为钝角，故对； 对于，若 a2b2+c2+bc，即 b2+c2a2bc，则 cosA，即有 A135 ，故错； 对于，若 a2+b2c2，则 a2+b2c20，即 cosC0，即 C 为锐角，不能说明 A，B 也是锐角，故错； 对于，若 A：B：C1：2：3，则 A30 ，B60 ，C90 ，故 a：b：csin30 ：sin60 ：sin90 1：2故错故选 A 6.在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 4 sin 3 sinsinCB k A （k 为非零实数） ，则下列结论错
8、误的是 （ ） A当 k=5 时， ABC 是直角三角形 B当 k=3 时， ABC 是锐角三角形 C当 k=2 时， ABC 是钝角三角形 D当 k=1 时， ABC 是钝角三角形 【答案】A，B，C 【解析】【解析】当 k=5 时， 4 sin 3 sin 5 sinCBA ，根据正弦定理不妨设 a=5m，b=3m，c=4m，显然 ABC 是直角三角形； 当 k=3 时， 4 sin 3 sin 3 sinCBA ，根据正弦定理不妨设 a=3m，b=3m，c=4m， 显然 ABC 是等腰三角形，021699 2222222 mmmmcba，说明C 为锐角，故 ABC 是锐角三角形； 当 k
9、=2 时， 4 sin 3 sin 2 sinCBA ，根据正弦定理不妨设 a=2m，b=3m，c=4m， 031694 2222222 mmmmcba，说明C 为钝角，故 ABC 是钝角三角形； 当 k=1 时， 4 sin 3 sin 1 sinCBA ，根据正弦定理不妨设 a=m，b=3m，c=4m， 此时 a+b=c，不等构成三角形，故命题错误，故选 A，B，C. 7.在 ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） Ab7，c3，C30 Bb5，c4，B45 Ca6，b3，B60 Da20，b30，A30 【解析】B，C 【解析】【解析】对于 A，b7，c3，C30 ， 由正弦定理可得：sinB1，无解； 对于 B，b5，c4，B45 ， 由正弦定理可得 sinC1，且 cb，有一解； 对于 C，a6，b3，B60 ， 由正弦定理可得：sinA1，A90 ，此时 C30 ，有一解； 对于 D，a20，b30，A30 ， 由正弦定理可得：sinB1，且 ba， B 有两个可能值，本选项符合题意故选 B，C
