1、 平面向量 一、知识梳理 1.向量的运算：设 a(x1，y1)，b(x2，y2). 向量运算 法则(或几何意义) 坐标运算 向量的线 性运算 加法 ab(x1x2，y1 y2) 减法 ab(x1x2，y1 y2) 数乘 (1)|a|a|；(2)当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时，a0 a(x1，y1) 向量的数量积运算 a b|a|b|cos (为a与b的夹角)规定0 a 0 数量积的几何意义是a的模与b在a方向 上的投影的积 a bx1x2y1y2 2.两个定理 (1)平面向量基本定理 定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不
2、共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实 数 1，2，使 a1e12e2. 基底：把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (2)向量共线定理 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ba. 3.向量的平行与垂直 a，b 为非零向量，设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， ab 有唯一实数 使得 ba(a0) x1y2x2y10 ab a b0 x1x2y1y20 二、跟踪检测 1.判断下列命题中不正确的是( ) 若向量 a 与 b 同向，且|a|b|，则 ab； 若向量|a|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； 对
3、于任意|a|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 ab； 向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反. 【答案】【答案】A，B，D. 【解析】【解析】对于 A，因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不 能比较大小，故 A 不正确；对于 B，由|a|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向，故 B 不正确； 对于 C，因为|a|b|，且 a 与 b 同向.由两向量相等的条件可得 ab，C 正确； 对于 D，因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不确定故 D 不正确.故选 A，B，D. 2.如图，D，E，F 分别是 ABC
4、的边 AB，BC，CA 的中点，则下列等式中正确的是( ) A.FD DA DE 0 B.AD BE CF0 C.FD DE AD AB D.AD EC FD BD 【答案】【答案】A，B，C 【解析】【解析】FD DA DE FA DE 0，AD BE CFAD DF FA 0， FD DE AD FE AD AD DB AB ，AD EC FD AD 0AD DB BD .故选 A，B，C. 3.下面给出的四个选项，运算结果等于 0 的有（ ） A.AB BCCA B.OA OC BO CO C.AB ACBD CD D.NQ QP MN MP . 【答【答案】案】A，C，D 【解析】【解
5、析】对于 A，AB BCCAACCA0； 对于 B，OA OC BO CO (CO OA )(BO OC )CA BCCACBBA； 对于 C，AB ACBD CD CB BC0； 对于 D，NQ QP MN MP NP PN0.故填 A，C，D. 4.已知 m，n 是实数，a，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) A.m(ab)mamb B.(mn)amana C.若 mamb，则 ab D.若 mana，则 mn. 【答案】【答案】B 【解析】【解析】对于 A 和 B 属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于 C，若 m0，则不能推出 ab，错误； 对于 D，若 a0，则 m，n 没有关
6、系，错误.故选 A，B. 5.如果 e1，e2是平面 内两个不共线的向量，那么选项中正确的是( ) A.e1e2(，R)可以表示平面 内的所有向量； B.对于平面 内任一向量 a，使 ae1e2的实数对(，)有无穷多个； C.若向量 1e11e2与 2e12e2共线，则有且只有一个实数 ，使得 1e11e2(2e12e2)； D.若存在实数 ， 使得 e1e20，则 0. 【答案】【答案】A，D 【解析】【解析】由平面向量基本定理可知，A，D 是正确的. 对于 B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯 一的. 对于 C，当两向量的系数均为零，即
7、 12120 时，这样的 有无数个，故选 A，D 6.下列选项中正确的是 A.相等向量的坐标相同； B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； C.一个坐标对应于唯一的一个向量； D.平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应. 【答案】【答案】A，B，D 【解析】【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故错误. 7.下面给出的选项中正确的是( ) A.0 a0；B.a2|a|2；C.|a b|a b；D.(a b)2a2 b2. 【答案】【答案】A，B 【解析】【解析】A，B 正确，对于 C，应为|a b|a|b|，C 错误，D 错误，(a b)2(|a|b
8、| cos )2a2 b2cos2 a2 b2， 选 C. 8.设 a，b，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A.a cb c(ab) c； B.(b c) a(c a) b 不与 c 垂直； C.|a|b|ab|； D.(3a2b) (3a2b)9|a|24|b|2. 【答案】【答案】A，C，D 【解析】【解析】根据向量积的分配律知 A 正确；因为(b c) a(c a) b c(b c) (a c)(c a) (b c)0，(b c) a (c a) b 与 c 垂直，B 错误；因为 a，b 不共线，所以|a|，|b|，|ab|组成三角形三边，|a|
9、b|ab|成立， C 正确；D 正确.故正确命题的序号是 A，C，D. 9.给出下列四个命题，其中正确的选项有（ ） A.非零向量 a，b 满足|a|b|ab|，则 a 与 ab 的夹角是 30 B.若(AB AC) (ABAC)0，则 ABC 为等腰三角形 C.若单位向量 a，b 的夹角为 120 ，则当|2axb|(xR)取最小值时 x1 D.若OA (3，4)，OB (6，3)，OC (5m，3m)，ABC 为锐角，则实数 m 的取值范围是 m 3 4. 【答案】【答案】A，B，C 【解析】【解析】A 中，令OA a，OB b.以OA ，OB 为邻边作平行四边形 OACB.|a|b|ab
10、|， 四边形 OACB 为菱形，AOB60 ，AOC30 ，即 a 与 ab 的夹角是 30 ，故 A 正确. B 中，(AB AC) (ABAC)0，|AB|2|AC|2，故 ABC 为等腰三角形.故 B 正确. C 中，(2axb)24a24xa bx2b244xcos 120 x2x22x4(x1)23，故|2axb|取最小值时 x 1.故正确. D 中，BA OA OB (3，4)(6，3)(3，1)，BC OC OB (5m，3m)(6，3)( 1m，m)，又ABC 为锐角，BA BC0，即 33mm0，m3 4.又当BA 与BC同向共线时，m 1 2，故当ABC 为锐角时，m 的取
11、值范围是 m 3 4且 m 1 2.故 D 不正确.故选 A， ，B，C. 10.在 Rt ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，如图，则下列等式不成立的是( ) A.|AC |2AC AB B.|BC|2BA BC C.|AB|2AC CD D.|CD |2 AC AB BA BC |AB |2 【答案】【答案】A，B，D 【解析】【解析】AC ABAC (ACCB)AC2AC CBAC2|AC|2，A 正确； 同理|BC |2BA BC成立，B 正确； 又 AC AB BA BC |AB |2 |AC |2|BC|2 |AB |2 2 )( AB BCAC |CD |2，D 正确.故选
12、A，B，D. 11.给出下列四个选项，正确的有（ ） A.已知，则； B.A、B、M、N 为空间四点，若不构成空间的一个基底，则 A、B、M、N 共面； C.已知，则与任何向量不构成空间的一个基底； D.已知是空间的一个基底，则基向量可以与向量构成空间另一个基底 【答案】【答案】A，B，D 【解析】【解析】 对于 A， 若， 则0， 故 +0+ ，故 A 正确；对于 B，若不构成空间的一个基底，则这 3 个向量共面， 故 A、 B、 M、 N 共面， 故 B 正确； 对于 C， 当时， 若 与这 3 个向量不共面， 则 构成空间的一个基底， 故 C 不正确； 对于 D， 若是空间的一个基底， 设， 则 与 这 3 个向量不共面，故 构成空间的另一个基底，故 D 正确故选 A，B，D
