1、 数列 一、知识梳理 1.梳理本章的知识网络 2.对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式 等差数列 等比数列 定义 如果一个数列从第 2 项起，每一 项与它的前一项的差等于同一 个常数，那么这个数列就叫做等 差数列，这个常数叫做等差数列 的公差， 公差通常用字母 d 表示. 如果一个数列从第 2 项 起，每一项与它的前一项 的比等于同一常数，那么 这个数列叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的 公比，公比通常用字母 q 表示(q0). 递推公式 an1and an1 an q 中项 由三个数 a，A，b 组成的等差数 列可以看成最简单的等差数列. 这时 A 叫做 a 与 b 的等差中项，
2、并且 Aab 2 如果 a、 G、 b 成等比数列， 那么 G 叫做 a 与 b 的等比 中项，且 G ab 通项公式 ana1(n1)d ana1qn 1 前 n 项和公式 Snn a1an 2 na1 nn 2 d q1 时，Sna1 qn 1q a1anq 1q ，q1 时，Sn na1 性质 am，an的 关系 aman(mn)d am anq mn m， n， s， tN*， mnst amanasat amanasat kn是等差数 列，且 knN* n k a是等差数列 n k a是等比数列 n2k1， kN* S2k1(2k1) ak a1a2a2k1a2k 1 k k1，k2
3、，k3(k1， k2，k3N*)成 等差数列 1 k a， 2 k a， 3 k a成等差数列 1 k a， 2 k a， 3 k a成等比数列 判断方法 利用定义 an1an是同一常数 an1 an 是同一常数 利用中项 anan22an1 anan2a2n1 利用通项公式 anpnq，其中 p、q 为常数 anabn(a0，b0) 利用前 n 项和 公式 Snan2bn (a，b 为常数) SnA(qn1)，其中 A0， q0 且 q1 或 Snnp(p 为 非零常数) 3.回顾一下本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想 (1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累
4、乘法； (2)在求等差数列和等比数列的前 n 项和时，分别用到了倒序相加和错位相减. (3)等差数列和等比数列各自都涉及 5 个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想. (4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前 n 项和最值问题时，都用到了函数思想. (5)等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了类比. 二、跟踪训练 1.下列正确的命题有（ ） A已知数列an，an 1 nn (nN*)，那么 1 120是这个数列的第 10 项，且最大项为第一项 B数列 2， 5，2 2， 11，的一个通项公式是 an 3n1. C已知数列an，ankn5，且 a811
5、，则 a1729. D已知 an1an3，则数列an是递增数列 【答案】A，B，C，D 【解析】【解析】对于 A，令 an 1 nn 1 120n10，易知最大项为第一项A 正确 对于 B，数列 2， 5，2 2， 11，变为 2， 5， 8， 11， 3 11， 3 21， 3 31， 3 41，an 3n1，B 正确； 对于 C，ankn5，且 a811k2an2n5a1729.C 正确； 对于 D，由 an1an30，易知 D 正确 2.下列关于等差数列的命题中正确的有 A.若 a，b，c 成等差数列，则 a2，b2，c2一定成等差数列； B.若 a，b，c 成等差数列，则 2a,2b,
6、2c可能成等差数列； C.若 a，b，c 成等差数列，则 ka2，kb2，kc2 一定成等差数列； D.若 a，b，c 成等差数列，则1 a， 1 b， 1 c可能成等差数列 【答案】B 【解析】【解析】对于 A 取 a1，b2，c3a21，b24，c29，A 错 对于 Babc2a2b2c，B 正确； 对于 C，a，b，c 成等差数列，ac2b.(ka2)(kc2)k(ac)42(kb2)，C 正确； 对于 D，abc01 a 1 b 1 c，的 D 正确综上可知选 B，C，D. 3.下面是关于公差 d0 的等差数列an的四个命题，其中是真命题的有（ ） A.数列an是递增数列；B.数列na
7、n是递增数列； C.数列 n a n 是递增数列；D。数列an3nd是递增数列. 【答案】A，D. 【解析】【解析】ana1(n1)d，d0，anan1d0，命题 A 正确. nanna1n(n1)d，nan(n1)an1a12(n1)d 与 0 的大小关系和 a1的取值情况有关. 故数列nan不一定递增，命题 B 不正确. 对于 p3：an n a1 n n1 n d，an n an1 n1 a1d nn ， 当 da10，即 da1时，数列an n 递增， 但 da1不一定成立，则 C 不正确. 对于 p4：设 bnan3nd， 则 bn1bnan1an3d4d0. 数列an3nd是递增数
8、列，D 正确. 综上，正确的命题为 A，D. 4.首项为正数，公差不为 0 的等差数列an，其前 n 项和为 Sn，现有下列 4 个命题中正确的有（ ） A.若 S100，则 S2+S80； B.若 S4S12，则使 Sn0 的最大的 n 为 15； C.若 S150，S160，则Sn中 S8最大； D.若 S7S8，则 S8S9 【答案】B，C 【解析】【解析】根据题意，依次分析 4 个式子： 对于 A，若 S100，则 S100，则 a1+a100，即 2a1+9d0，则 S2+S10（2a1+d）+（8a1+28d） 10a1+29d0，A 不正确； 对于 B，若 S4S12，则 S12
9、S40，即 a5+a6+a11+a124（a8+a9）0，由于 a10，则 a80，a90，则有 S15 0，S160，故使 Sn0 的最大的 n 为 15，B 正确； 对于 C，若 S150，S160，则 S1515a80，S160，则有 a8 0，a90，则Sn中 S8最大；C 正确； 对于 D，若 S7S8，即 a8S8S70，而 S9S8a9，不能确定其符号，D 错误；故选 B，C 5.已知数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，满足 a1+3a2S6，则下列四个选项中正确的有（ ） Aa70 BS130 CS7最小 DS5S8 【答案】A，B，D 【解析】【解析】设等差数列an的
10、公差为 d，a1+3a2S6，4a1+3d6a1+d，化为：a1+6d0，即 a70 故 a70，A 正确；S1313a70，B 正确； S77a4，可能大于 0，也可能小于 0，因此 C 不正确； S5S8d3a118d3a70，D 正确故选 A，B，D. 6.设等差数列an的前 n 项和是 Sn，已知 S140，S150，正确的选项有（ ） Aa10，d0 Ba7+a80 CS6与 S7均为 Sn的最大值 Da80 【答案】A，B，D 【解析】【解析】等差数列an的前 n 项和是 Sn，且 S140，S150， S147（a1+a14）7（a7+a8）0，即 a7+a80， S1515a8
11、0，即 a80，a70 等差数列an的前 7 项为正数，从第 8 项开始为负数，则 a10，d0 S7为 Sn的最大值故选 A，B，D 正确 7.已知数列an是等差数列，前 n 项和为 Sn，满足 a1+5a3S8，下列选项正确的有（ ） Aa100 BS10最小 CS7S12 DS200 【答案】A，C 【解析】【解析】a1+5a3S8，a1+5a1+10d8a1+28d，a19d， ana1+（n1）d（n10）d，a100，故 A 一定正确， Snna1+9nd+（n219n） ，S7S12，故 C 一定正确， S10最小，故 B 不正确；S200，则 D 不正确，故选 A，C. 8.已
12、知数列an是等比数列，则下列选项正确的有（ ） A数列an2是等比数列 B若 a32，a732，则 a5 8 C若 a1a2a3，则数列an是递增数列 D若数列an的前 n 和 Sn3n 1+r，则 r1 【答案】A，C 【解析】【解析】由数列an是等比数列，知： 在 A 中，q2是常数，数列an2是等比数列，故 A 正确； 在 B 中，若 a32，a732，则 a58，故 B 错误； 在 C 中，若 a1a2a3，则 q1，数列an是递增数列，故 C 正确； 在 D 中，若数列an的前 n 和 Sn3n 1+r，则 a 1S11+r， a2S2S1（3+r）（1+r）2，a3S3S2（9+r
13、）（3+r）6， a1，a2，a3成等比数列，46（1+r） ，解得 r，故 D 错误 9.等比数列an中，公比为 q，其前 n 项积为 Tn，并且满足 a11a99a10010，下列选项中，正确的 结论有（ ） A0q1 Ba99a10110 CT100的值是 Tn中最大的 D使 Tn1 成立的最大自然数 n 等于 198 【答案】A，B，D 【解析】【解析】对于 A，a99a10010，a12q1971，（a1q98）21 a11，q0又，a991，且 a10010q1，故 A 正确； 对于 B，0a99a1011，即 a99a10110，故 B 正确； 对于 C，由于 T100T99a1
14、00，而 0a1001，故有 T100T99，故 C 错误； 对于 D，T198a1a2a198（a1a198） （a2a197）（a99a100）（a99a100） 991， T199a1a2a199（a1a199） （a2a198）（a99a101）a1001，故 D 正确 不正确的是 C故选 A，B，D 10.关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ） A若数列an的前 n 项和 Snan2+bn+c（a，b，c 为常数）则数列an为等差数列； B若数列an的前 n 项和 Sn2n+12，则数列an为等差数列； C数列an是等差数列，Sn为前 n 项和，则 Sn，S2nSn，
15、S3nS2n，仍为等差数列； D数列an是等比数列，Sn为前 n 项和，则 Sn，S2nSn，S3nS2n，仍为等比数列； 【答案】A，B，D 【解析】【解析】若数列an的前 n 项和为常数） ， 若 c0，由等差数列的性质可得数列an为等差数列， 若 c0，则数列an从第二项起为等差数列，故 A 不正确； 若数列an的前 n 项和， 可得 a1422，a2S2S18224，a3S3S216268， 则 a1，a2，a3成等比数列，则数列an不为等差数列，故 B 不正确； 数列an是等差数列，Sn为前 n 项和， 则 Sn，S2nSn，S3nS2n，即为 a1+a2+an，an+1+a2n，a
16、2n+1+a3n， 即为 S2nSnSnS3nS2nS2nSnn2d 为常数，仍为等差数列，故 C 正确； 数列an是等比数列，Sn为前 n 项和，则 Sn，S2nSn，S3nS2n，不一定为等比数列， 比如公比 q1，n 为偶数，Sn，S2nSn，S3nS2n，均为 0，不为等比数列故 D 不正确 故选 A，B，D 11.设an（nN*）是各项为正数的等比数列，q 是其公比，Kn是其前 n 项的积，且 K5K6，K6K7K8，则下列选 项中成立的（ ） A0q1 Ba71 CK9K5 DK6与 K7均为 Kn的最大值 【答案】A，B，D 【解析】【解析】an是各项为正数的等比数列，q 是其公
17、比，Kn是其前 n 项的积，由 K6K7可得 a71，故 B 正确； 由 K5K6可得 a61，q（0，1） ，故 A 正确；由an是各项为正数的等比数列且 q（0，1）可得数列单调 递 减，K9K5，故 C 错误；结合 K5K6，K6K7K8，可得 D 正确故选 A，B，D 12.在 增减算法统宗 中有这样一则故事： “三百七十八里关，初行健步不为难； 次日脚痛减一半，如此六日过其关 则 下列说法正确的是（ ） A此人第二天走了九十六里路 B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C此人第三天走的路程占全程的 D此人后三天共走了 42 里路 【答案】A，B，D 【解析】【解析】设此人第 n
18、 天走 an里路，三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关， an是首项为 a1，公比为 q的等比数列，由等比数列前 n 项和公式得 S6378，解得 a1192， 在 A 中，a296，此人第二天走了九十六里路，故 A 正确； 在 B 中，378192186，1921866，此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故 B 正确； 在 C 中，a3192 48，故 C 错误； 在 D 中，a4+a5+a6192 （）42，故 D 正确故选 A，B，D 13.已知数列an的前 n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别为 a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A若 an是等差数列，则 3b3ac B若 an是等差数列，则 a，ba，cb 也为等差数列 C若 an是等比数列，则 a2+b2ab+bc D若 an是等比数列，则 a，ba，cb 也为等比数列 【答案】A，B，D 【解析】【解析】由等差数列的前 n 项和公式的性质可得：a，ba，cb 也成等差数列 2（ba）a+cb，则 3b3ac，故 A，B 正确； 由等比数列的前 n 项和公式的性质可得：a，ba，cb 也成等比数列， （ba）2a（cb） ，即 a2+b2ab+ac，故 C 错误，D 正确故选 A，B，D
