1、高斯投影高斯投影正算公式（优选）高斯投影高斯投影正算公式.上节课内容回顾上节课内容回顾 J椭球面到平面的长度比在什么方椭球面到平面的长度比在什么方向取极值？向取极值？J长度比？长度比？dsmdScosMNBJ最大角度变形？最大角度变形？sin2abab子午方向和卯酉方向子午方向和卯酉方向J正形投影的特点？正形投影的特点？J什么是等量纬度？为什么引入？什么是等量纬度？为什么引入？长度比长度比mm与方向无关与方向无关但随点位的变化而变但随点位的变化而变dBrMdq 等量坐标可将椭球面划分等量坐标可将椭球面划分为无穷小的正方形为无穷小的正方形上节课内容回顾上节课内容回顾 BCAABBCCxlqqyl
2、yx qyyxqxll BCAABBCC柯西黎曼微分方程柯西黎曼微分方程dBrMdq 充分必要条件充分必要条件ABBCCxyABBCCql22222221 xyllmrqlryytanqxylylly上节课内容回顾上节课内容回顾 1、高斯克吕格投影的概念 Concept of Gauss-Kruger Projection2、高斯投影的分带 Zone-dividing of Gauss Projection3、高斯平面直角坐标 Gauss Plane Rectangular Coordinate 1 1、高斯克吕格投影的概念、高斯克吕格投影的概念 Concept of Gauss-Kruger
3、 Projection高斯投影产生的背景高斯投影产生的背景高斯克吕格投影也称等角横切椭圆柱投高斯克吕格投影也称等角横切椭圆柱投影，它可看作是等角圆柱投影影，它可看作是等角圆柱投影（墨卡托投墨卡托投影，影，15691569）的一种，它由德国科学家高斯的一种，它由德国科学家高斯处理三角测量成果时首先提出，后经克吕处理三角测量成果时首先提出，后经克吕格完善格完善（19191919），我国于，我国于19521952年起正式采年起正式采用高斯克吕格投影。用高斯克吕格投影。四个世纪以来，世界各国都用墨卡托投影作为海图的数学基础。当代常用于较大比例尺分幅海图或赤道附近的航空图。纬线投影为平行直线，经线投影为
4、与纬线垂直而且间隔相等的平行直线，两经线间的距离与相应的经差成正比。xfycdxacdbRdrddxcRdrcoscdxdlntan 452 xccycmrc=R切圆柱投影如为椭球呢？NSc赤道赤道高斯投影平面赤道中央子午线 高斯投影的几何概念高斯投影的几何概念等角横切椭圆柱投影等角横切椭圆柱投影 高斯投影的几何概念高斯投影的几何概念等角横切椭圆柱投影等角横切椭圆柱投影高斯投影的条件高斯投影的条件1 1）正形条件；）正形条件；1 1、高斯克吕格投影的概念、高斯克吕格投影的概念 Concept of Gauss-Kruger Projection高斯投影平面高斯投影平面赤道赤道中中央央子子午午线
5、线2 2）中央子午线投影为一）中央子午线投影为一直线；直线；3 3）中央子午线投影后长）中央子午线投影后长度不变。度不变。通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影等角横割椭等角横割椭圆柱投影圆柱投影 Universal Transverse Mercator(UTM)美国军事测绘局美国军事测绘局19381938年提出，目前，美国、德年提出，目前，美国、德国等国等6060多个国家以此投影作为国家基本地形图多个国家以此投影作为国家基本地形图的数学基础，由于各国采用的地球椭球体的不的数学基础，由于各国采用的地球椭球体的不同而存在差异，它的投影条件为：同而存在差异，它的投影条件为：1 1）正形条件；）正形
6、条件；2 2）中央子午线投影为一直线；）中央子午线投影为一直线；3 3）中央子午线投影后长度比等于）中央子午线投影后长度比等于0.99960.9996。UTM两条无长度变形的两条无长度变形的割线的位置距中央割线的位置距中央经线以东以西各经线以东以西各180km180km，相当于经，相当于经差约差约 140。长度比长度比0.99960.9996的选的选择可以使择可以使6 6带的带的中央经线与边缘经中央经线与边缘经线的长度变形的绝线的长度变形的绝对值大致相等；对值大致相等；分带的原因和原则分带的原因和原则原因：原因：有效的控制长度变形有效的控制长度变形原则：原则：从限制长度变形这个角度来考虑，分带
7、从限制长度变形这个角度来考虑，分带越多越好；为了减少换带计算及在换带计算越多越好；为了减少换带计算及在换带计算中引起的计算误差，则又要求分带不宜过多。中引起的计算误差，则又要求分带不宜过多。实际分带时，应当兼顾上述两方面的要求。实际分带时，应当兼顾上述两方面的要求。2 2、高斯投影的分带、高斯投影的分带Zone-dividing of Gauss Projection32345 2301:500,0001:10,000500m10m400km8.4km实施：实施：我国投影分带主要有六度带和三度带我国投影分带主要有六度带和三度带两种分带方法。六度带可用于中小比例尺两种分带方法。六度带可用于中小比
8、例尺（1:2.51:2.5万万1:501:50万万）测图，三度带可用于大测图，三度带可用于大比例尺比例尺（1:11:1万以上万以上）测图。测图。2 2、高斯投影的分带、高斯投影的分带Zone-dividing of Gauss Projection19781978年我国制定的年我国制定的1:1001:100万地形图编绘规范万地形图编绘规范规定我国规定我国1:1001:100万地形图投影采用边纬线和中纬万地形图投影采用边纬线和中纬线变形绝对值相等的等角割圆锥投影，投影带线变形绝对值相等的等角割圆锥投影，投影带的划分与国际百万分之一地图的分幅一致。的划分与国际百万分之一地图的分幅一致。196219
9、62年联合国波恩会议建议采用等角圆锥投影年联合国波恩会议建议采用等角圆锥投影作为作为1:1001:100万地图的数学基础。万地图的数学基础。19491949年以后我国出版的一些挂图和地图集中常年以后我国出版的一些挂图和地图集中常使用等面积割圆柱投影。使用等面积割圆柱投影。分带的方法分带的方法2 2、高斯投影的分带、高斯投影的分带Zone-dividing of Gauss Projection3 3 带的中央子午线与带的中央子午线与6 6 带中央子午线及分带子午线重带中央子午线及分带子午线重合合 分带的方法分带的方法3 3、高斯平面直角坐标系、高斯平面直角坐标系Gauss Plane Rect
10、angular Coordinate 新疆帕米尔高原乌兹新疆帕米尔高原乌兹别里山口附近别里山口附近（7340）黑龙江省抚远县乌苏黑龙江省抚远县乌苏里江汇合处里江汇合处（1350230）黑龙江省漠河镇以北的黑龙黑龙江省漠河镇以北的黑龙江江心江江心（533110）南海南沙群岛的曾母南海南沙群岛的曾母暗沙暗沙（352）612230分带的方法分带的方法2 2、高斯投影的分带、高斯投影的分带Zone-dividing of Gauss Projection首首子子午午线线第第1带带0126央央子子中中午午线线赤赤 道道 NS分带的方法分带的方法2 2、高斯投影的分带、高斯投影的分带Zone-dividi
11、ng of Gauss Projection1)1)6带划分带划分(n为带号为带号)063Ln 01(3)6nL16Ln 的整数商（有余数时）6 6带中央子午线的经度计算公式带中央子午线的经度计算公式 已知已知6 6带中央子午线的经度反算带号带中央子午线的经度反算带号 计算任意经度所在投影带的带号公式计算任意经度所在投影带的带号公式 分带的方法分带的方法2 2、高斯投影的分带、高斯投影的分带Zone-dividing of Gauss Projection2)32)3带划分带划分(n为带号为带号)nL3003Ln 1.513Ln3带中央子午线的经度计算公式带中央子午线的经度计算公式 已知已知3
12、带中央子午线的经度反算带号带中央子午线的经度反算带号 计算任意经度所在投影带的带号公式计算任意经度所在投影带的带号公式 UTM分带的方法分带的方法 UTM的分带是从经度的分带是从经度180起向东每起向东每6为一为一带，即与国际百万分之一地形图的划分一致；带，即与国际百万分之一地形图的划分一致；UTM每带投影范围限制在北纬每带投影范围限制在北纬84至南纬至南纬80，两极地区采用通用极球面，两极地区采用通用极球面（UPS）系。系。高斯投影第一带高斯投影第一带（06E）为为UTM投影第投影第31带，带，UTM第一带第一带（180174W）是高斯是高斯投影第投影第31带；带；UTM分带的方法分带的方法
13、2 2、高斯投影的分带、高斯投影的分带Zone-dividing of Gauss Projection 投影带的重迭投影带的重迭高斯投影高斯投影2 2、高斯投影的分带、高斯投影的分带Zone-dividing of Gauss Projection1515和和30 30 分别相当于分别相当于1:51:5万和万和1:101:10万图幅的经万图幅的经幅；幅；2 2、高斯投影的分带、高斯投影的分带Zone-dividing of Gauss Projection两带坐标重叠两带坐标重叠40km40km相相当于的经差当于的经差2222。投影带的重迭投影带的重迭UTM投影投影 定义定义yxo3 3、高
14、斯平面直角坐标系、高斯平面直角坐标系Gauss Plane Rectangular Coordinate System纵坐标轴纵坐标轴x：中央子午线的投中央子午线的投影线；影线；原点原点o：中央子午线与赤道的中央子午线与赤道的交点的投影点；交点的投影点；横坐标轴横坐标轴y：赤道的投影线；赤道的投影线；自然坐标与通用坐标自然坐标与通用坐标y(E)赤道赤道OABxAyAxByBx(N)中央子午线投影中央子午线投影500kmyAyB136780mAy m272440By(500000 136780)mAy m)272440500000(Bym636780m2275602020 自然坐标与通用坐标3、
15、高斯平面直角坐标系Gauss Plane Rectangular Coordinate 1、高斯投影正算公式 Direct Solution of Gauss Projection2、高斯投影反算公式 Inverse Solution of Gauss Projection3、高斯坐标的临带换算 Zone Conversion in the Gauss Projection 公式推导公式推导),(),(21LBFYLBFX),(),(21lqfylqfx投影方程投影方程求求F1，F2，f1，f2的具体形式的具体形式方法：方法：级数展开，应用高斯投级数展开，应用高斯投影三个条件，待定系数法求解影
16、三个条件，待定系数法求解展开点：展开点：底点底点P0（B，0）已知已知l，B，X，求，求x，yXlPP0yxxyo0lxX1 1、高斯投影正算公式、高斯投影正算公式 (L，B-x，y)Direct Solution of Gauss Projection.4433221044332210lnlnlnlnnylmlmlmlmmx展开条件：展开条件：经差经差 l 不大，在不大，在03.5（0.061rad）以内，展开后的形式以内，展开后的形式（l的幂级数的幂级数 ）：由于展开点为由于展开点为P0（B，0），则式中待定系数是等量，则式中待定系数是等量纬度纬度q（或大地纬度或大地纬度B）的函数的函数a
17、)级数展开级数展开1 1、高斯投影正算公式、高斯投影正算公式 (L，B-x，y)Direct Solution of Gauss Projection 公式推导公式推导b)求待定系数求待定系数对级数展开式求偏导数对级数展开式求偏导数对对x对对y.432.34232144332210lmlmlmmlxdqdmldqdmldqdmldqdmldqdmqx.432.34232144332210lnlnlnnlydqdnldqdnldqdnldqdnldqdnqy 公式推导公式推导1 1、高斯投影正算公式、高斯投影正算公式 (L，B-x，y)Direct Solution of Gauss Proje
18、ction高斯克吕格投影Gauss-Kruger ProjectionZone-dividing of Gauss Projection当代常用于较大比例尺分幅海图或赤道附近的航空图。投影带的重迭高斯投影Gauss Plane Rectangular Coordinate椭球面到平面的长度比在什么方向取极值？引入高斯投影的三个条件Concept of Gauss-Kruger ProjectionInverse Solution of Gauss Projection1)6带划分(n为带号)Zone-dividing of Gauss Projection3、高斯平面直角坐标系引入高斯投影的三
19、个条件引入高斯投影的三个条件A.正形条件正形条件qylxlyqx,23234031241234234.dndndndndnmm lm lm llllldqdqdqdqdq 23423031241234.234dmdmdmdmdmllllnn ln ln ldqdqdqdqdq b)求待定系数求待定系数 公式推导公式推导1 1、高斯投影正算公式、高斯投影正算公式 (L，B-x，y)Direct Solution of Gauss Projectiondqdmn01dqdmn1221dqdmn2331dqdmn3441dqdmn4551dqdnm01dqdnm1221dqdnm2331dqdnm4
20、551dqdnm34410?m 0?n.012340123455.mnmnmnmnmnnmB.中央子午线投影后为纵坐标轴中央子午线投影后为纵坐标轴即即l=0时时y=0。代入投影方程：。代入投影方程：.4433221044332210lnlnlnlnnylmlmlmlmmx0.543210mnmnmn得得1 1、高斯投影正算公式、高斯投影正算公式 (L，B-x，y)Direct Solution of Gauss Projection引入高斯投影的三个条件b)求待定系数求待定系数 公式推导公式推导B.B.中央子午线投影后为纵坐标轴中央子午线投影后为纵坐标轴投影方程简化为：投影方程简化为：.553
21、3144220lnlnlnylmlmmx高斯投影在中央高斯投影在中央子午线东西两侧子午线东西两侧的投影是对称于的投影是对称于中央子午线的。中央子午线的。1 1、高斯投影正算公式、高斯投影正算公式 (L，B-x，y)Direct Solution of Gauss Projection引入高斯投影的三个条件引入高斯投影的三个条件b)求待定系数求待定系数 公式推导公式推导C.中央子午线投影后长度不变形中央子午线投影后长度不变形投影后的纵投影后的纵坐标坐标x x等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X。.5533144220lnlnlnylmlmmx即即l=0时时x
22、=X。代入投影方程：。代入投影方程：Xm 0得得1 1、高斯投影正算公式、高斯投影正算公式 (L，B-x，y)Direct Solution of Gauss Projection引入高斯投影的三个条件引入高斯投影的三个条件b)求待定系数求待定系数 公式推导公式推导000.9996mm.514131210.45342312014321dqdmndqdnmdqdmndqdnmdqdmnnmnmdBr dqMdXMdBb)求待定系数rdqdBdBdXdqdXdqdm0BNrncos1 公式推导公式推导0011220.99960.99960.9996mmnnmm椭球参椭球参数和定数和定位相同位相同1
23、212d nmd q 公式推导公式推导1c o sc o scnNBBVdBrdqMBeV22 cos12221cos cossindVdeBeBBdBdBVBe costantB21dVtdBV 2cossinc dVcdBBBVdBVdq sincoscBBV 1cosdm dBdcdBBdB dqdB Vdnddqq1212 s inc o s2d nmd qNBB b)求待定系数求待定系数012322332245245cossincos2cos(1)6sincos(59)24cos(518)120mXnrNBNmBBNnBtNmBBtNnBtt.5533144220lnlnlnylml
24、mmx代入投影代入投影方程：方程：公式推导公式推导0011223344550.99960.99960.99960.99960.99960.9996mmnnmmnnmmnn0.99960.9996xxyy椭球参椭球参数和定数和定位相同位相同c)正算公式的具体形式正算公式的具体形式精度精度0.m123224243223524535sin cossin cos(59)2 24 coscos(1)cos(5 18)6 120 NNxXBB lBBtlNNNyB lBtlBtt l BtBetancos 公式推导公式推导0.99960.9996xxyy180 60 60/206264.806552423
25、252422 224424663223355sincos(61 58)sincossincos(594)2 24 coscos(1720cos(5 181458)1)6 20NNxXBB lBBtllNNBBttNNyB ltBtllBtt精度精度0.0.mm0010011 1、高斯投影正算公式、高斯投影正算公式 (L，B-x，y)Direct Solution of Gauss Projection高斯投影正算公式的作用：高斯投影正算公式的作用：NS参考椭球参考椭球xy高斯平面高斯平面O),(LBP),(yxP),(HLBA课堂练习：推导课堂练习：推导m6。公式推导公式推导5616dnmdq5245cos(5 18)120NnBttBeV22 cos1Be costantBcNVdBrdqM21dVtdBV 5246sincos(61 58)720NmBBtt
