1、第重难点：重难点：1.会用图形说明空间向量加法、减法、数 乘向量及它们的运算律.2.能运用空间向量的运算意义及运算律解 决简单的立体几何问题.与平面向量一样：与平面向量一样：一、空间向量的概念 (1)向量:在空间中,具_和_的量.(2)向量a的长度或模:表示向量a的有向线段的长度,记作|a|.（3）零向量：长度为_的向量。（手写记作 ）单位向量：长度为_的向量。（4)相等向量：在空间，方向相同且模相等的向量。（5）相反向量：长度_方向_的向量。(6)共线向量或平行向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合。规定:零向量与任意向量共线.大小方向做一做1、正方体ABCD-ABCD
2、中与向量相等的向量有_1相等相反03 已知空间向量 ，以任意点O为起点，作向量 ，我们就可以把他们平移到同一平面 ，这样任意的两个空间向量的运算就可以转化为平面向量运算。由此，我们把平面向量的运算推广到空间，定义空间向量的加减法以及数乘运算：A.1个B.2个C.3个D.4个【例1】如图,已知长方体ABCD-ABCD,化简下列向量表达式,并在图中画出化简结果的向量.反思运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素:(1)向量加法的三角形法则:“首尾相接,指向终点”;(2)向量减法的三角形法则:“起点重合,指向被减向量”;(3)平行四边形法则:“起点重合”;(4)多边形法则:“首尾相接,指向终点”
3、.运算律与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（(R,R):(1)结合律(a+b)+c=a+(b+c);(2)交换律a+b=b+a.（3）分配律(a+b)=a+b,(+)a=a+a(R,R);说明:空间向量的加法、减法运算满足平行四边形法则或三角形法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律.答案:0 反思数乘向量的运算一般是结合所给几何体,联系数乘向量的几何意义转化为一个新的向量.若同时涉及几个数乘向量,则还要注意数乘向量运算律的运用.共线向量定理共线向量定理:空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数,使得a=b.说明:向量共线的充要条件强调b为非零向量,若b为零向量,则a
4、=b中的a只能为0,没有研究的意义.【做一做3】若非零空间向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为.解析:由题可知,2ke1-e20,且e1+2(k+1)e20.若2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线,则存在实数,使得2ke1-e2=e1+2(k+1)e2成立.解:如图,取AC的中点记为G,连接EG,FG,思考：我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情况下三个空间向量共面呢？如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面。平行于同一平面的向量，叫做共面向量。探究：题型四、向量共面问题
5、题型四、向量共面问题1.设a,b是两个不共线的向量,R,若a+b=0,则()A.a=b=0B.=0C.=0,b=0D.=0,a=0解析:a,b是两个不共线的向量,a0,b0,故只有B正确.答案:B空间向量的数量积运算 注：(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量 夹角的定义一样 (2)作空间两个向量的夹角时要把两个向量的起点放在一起 (3)两个空间向量的夹角是惟一的，且a，bb,a对点练习1：注：(1)运算结果：空间向量数量积的结果是个实数(2)运算符“”：其中ab中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“”代替(3)注意点：数量积的符号由夹角的余弦值决定当a0时由
6、ab0可得ab或b0.(4)ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积 对点练习：2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|b|1，ab ，则两直线的夹角为()A30 B60 C120 D150知识点四、投影思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。类似地，向量a在向量b上的投影有什么意义？向量a向向量 的投影呢？向量a向向量的投影呢？类型四、求距离问题空间向量的基本定理1我们把具有 和 的量叫做空间向量2什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？3空间向量加法满足 、4你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？5.平面向量基本定理
7、的内容是什么？在空间中有类似的定理吗？大小方向交换律结合律1共线向量与共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做 或平行向量平行于 的向量叫做共面向量充要条件互相平行或重合共线向量同一平面共线(平行)向量共面向量推论如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使 或对空间任意一点O来说，有 方向向量不共面单位正交基底正交分解自主练习判断:(1)向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.()(2)若向量e1,e2不共线,则空间任意向量a,都有a=e1+e2(,R).()(3)若ab,则存在唯一的实数,使a=
8、b.()【解析】(1)错误.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段可以平移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能.(2)错误.当向量a,e1,e2共面时,才有a=e1+e2,R).3)错误.当b=0,a0时,不存在实数,使a=b.答案:(1)(2)(3)2.对于空间的任意三个向量a，b,2ab，它们一定是 A.共面向量 B.共线向量C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量解析解析2ab2a(1)b，2ab与a，b共面.典例导航题型一：空间向量的共线问题A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D例2 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点
9、，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为PAB、BC、PCD、PDA的重心，应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面题型二：空间向量的共面问题分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.E、F、G、H分别是所在三角形的重心，M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，证明：题型三：用基底表示向量例例3 3如图所示，在平行六面体ABCD-ABCD中，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量.空间直角坐标系68空间向量基本定理？空间单位正交基底？69同样地，我们怎样建立一个
10、空间直角坐标系？对点练习1.3.2空间向量运算的坐标表示-116-1.4.11.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系用空间向量研究直线、平面的位置关系课前篇自主预习牌楼,与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种,多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构,一般较高大.如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢?课前篇自主预习思考1：如何用向量表示空间中的一点？1.点的位置向量课前篇自主预习思考2:我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确
11、定直线 ,如何用向量表示直线？2、空间直线的向量表示式-120-3、空间平面的向量表达式思考3：一定点和两个定方向能否确定一个定平面？一个定点和一个定方向能否确定一个定平面？问题1：由前面所学，如何确定一个平面？能-121-思考4：如何用向量表示这个平面？注：注：空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定。-122-4、平面的法向量-123-共线因此，平面的法向量有无数条。-124-自主检测（1）（2）（3）-125-课前篇自主预习-127-课前篇自主预习思考 1：如何由方向向量表示直线的平行？课前篇自主预习思考2：由直线与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量有什么关系？
12、思考3：由平面与平面的平行关系，可以得到平面的法向量有什么关系？课前篇自主预习自我检测(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.()(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.()(3)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行或重合;两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.()答案:(1)(2)(3)课堂篇探究学习答案:C-132-133-134-课堂篇探究学习例1;已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1平面ADE;(2)平面ADE平面B1C1F.课堂篇探究学习证明:(1)建立
13、如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),课堂篇探究学习课堂篇探究学习反思感悟 证明线面、面面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行:证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内;证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内,如(1)中,FC1平面ADE一定不能漏掉.(2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.当然要注意当法向量坐标中有0时,要使用n1=n2这一
14、形式.课堂篇探究学习变式训练如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,PB与底面所成的角为45,底面ABCD为直角梯形,ABC=BAD=90,PA=BC=AD=1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE平面PAB?若存在,求出E点的位置;若不存在,请说明理由.课堂篇探究学习解:存在点E使CE平面PAB.以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),-141-例2；如图所示,已知PA平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证:MN平面PAD;-142-证明
15、:(1)如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.设PA=AD=a,AB=b,则有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).M,N分别为AB,PC的中点,-143-位置关系向量表示线线平行线面平行面面平行学 习 目 标：1理解直线的倾斜角和斜率的概念2掌握求直线斜率的两种方法3了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素观察下列的翘翘板，翘翘板的位置固定吗？观察下列的翘翘板，翘翘板的位置固定吗？在平面直角坐标系里 点用坐标表示:思考？一条直线的位置由哪些条件确定呢？直线如何表示呢？直线的位置 我
16、们知道，两点确定一条直线。过一点A的直线可以作无数条，一点能确定一条直线的位置吗？这些直线的区别是什么？这些直线相对于x轴的倾斜程度不同。如何描述直线的倾斜如何描述直线的倾斜程度？程度？一、直线的倾斜角1、直线倾斜角的定义：当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。倾斜角。注意：(1)直线向上方向；(2)x轴的正方向。下列四图中，表示直线的倾斜角正确的是()练习：ABCDAD 2、直线倾斜角的范围：当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 ，因此，直线的倾斜角的取值范围为：xyo思考思考:直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？直线的倾斜
17、程度与倾斜角有什么关系？平面直角坐标系中每一条直线都平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角有确定的倾斜角;倾斜程倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角度不同的直线有不同的倾斜角;倾斜程度相同的直线其倾斜角相同倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.xyOlP倾斜角相同能确定一条直线吗？一点+倾斜角 确定一条直线（两者缺一不可）前进量前进量升升高高量量“坡度比坡度比”是是“倾斜角倾斜角”的正切值的正切值.xyo1、直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率。用小写字母 k 表示，即：二、直线的的斜率xyo思考：当直线与 轴垂直时，直线的倾斜角是多少？xyo2、探究：由两点确定的直线
18、的斜率如图，当为锐角时，能不能构造一个能不能构造一个直角三角形去求？直角三角形去求？锐角 结论：结论：当当 时，斜率时，斜率k k0.钝角 结论：结论：当当 时，时，k k.思考？xyo(3)yox(4)1、当 的位置对调时，值是否有变化？说明：说明：此公式与两点坐标的顺序无关此公式与两点坐标的顺序无关思考？2、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？答：成立，因为分子为0，分母不为0，K=0 3、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？思考？答：不成立，因为分母为0。3、直线的斜率公式：综上所述，我们得到经过两点的直线斜率公式：公式特点：公式特点：(1
19、)(1)与两点的顺序无关与两点的顺序无关;(2)(2)公式表明公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示表示,而不需要求出直线的倾斜角；而不需要求出直线的倾斜角；(3)(3)当当x x1 1=x=x2 2时时,公式不适用公式不适用,此时此时=90=900 0.两点可以确定一条直线，一点和倾斜角可以确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线三、直线的方向向量例例1 1 如下图，已知如下图，已知A(3A(3，2),B(-42),B(-4，1),C1),C（0 0，-1-1）,求直线求直线ABAB，BCBC，CACA的斜率，的斜率，并判断这些直
20、线的倾斜角是锐角还是钝角并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.分析：分析：直接利用公式求解直接利用公式求解解：解：直线直线ABAB的斜率的斜率直线直线BCBC的斜率的斜率直线直线CACA的斜率的斜率OxyACB由由 及及 知，直线知，直线AB AB 与与CACA的倾斜角均为锐角；的倾斜角均为锐角；由由 知，直线知，直线BCBC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角点拨：点拨：斜率为正，倾斜角为锐角；斜率为正，倾斜角为锐角；斜率为负，倾斜角为钝角；斜率为负，倾斜角为钝角；斜率为斜率为0 0，倾斜角为，倾斜角为 斜率不存在时，倾斜角为直角斜率不存在时，倾斜角为直角.例例2 2、在平面直角坐标系中，画出经过原
21、点且斜率分别、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为为1 1，-1-1，2 2和和-3-3的直线的直线 。OxyA3A1A2A4例3,已知三点A(a,），（，），（，a）在同一直线上，求a的值例，过点（，）作直线与线段有公共点，（，）,（，）（）求直线的斜率的范围（）求直线倾斜角的范围三、小结：1、直线的倾斜角定义及其范围：2、直线的斜率定义：3、斜率k与倾斜角 之间的关系：4、斜率公式：学习目标：1.了解直线方程的点斜式的推导过程(难点)2.掌握直线方程的点斜式并会应用(重点)3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念(重点、易错点)探究：探究：189思考：190b k(xx0)ykxb
22、 注意：（1）垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示（2）直线在y轴上的截距b的符号：可正，可负，也可为零直线的点斜式方程 直线的斜截式方程 斜截式在两直线平行与垂直中的应用 2.2.22.2.2直线的两点式方程直线的两点式方程学 习 目 标：1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围(重点)2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围(重点)3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.213此方程叫做直线的两点式方程思考：直线的两点式方程的适用条件是什么呢？214此方程为直线的截距式方程直线的截距式方程 2.2.3 2.2.3 直线的一般式方程直线的一般式方程1.1.理解二元一次方程与直线的
23、关系理解二元一次方程与直线的关系;2.2.掌握直线的一般式方程掌握直线的一般式方程;3.3.掌握直线的一般式方程、点斜式方程、斜截式方程的互化掌握直线的一般式方程、点斜式方程、斜截式方程的互化.4.4.巩固两直线平行与垂直的判定巩固两直线平行与垂直的判定.直线方程名称直线方程名称直线方程形式直线方程形式 适用范围适用范围 点斜式点斜式 斜截式斜截式 两点式两点式 截距式截距式不垂直不垂直x x轴轴不垂直不垂直x x轴轴不垂直两个坐标轴不垂直两个坐标轴不垂直两个坐标不垂直两个坐标轴且不经过原点轴且不经过原点各类方程的适用范围各类方程的适用范围 直线的点斜式、斜截式、两点式方程都是关于直线的点斜式
24、、斜截式、两点式方程都是关于x,yx,y的的二元一次方程，直线与二元一次方程存在怎样的关系？二元一次方程，直线与二元一次方程存在怎样的关系？我们前面学习的直线方程中都有几个变量?这些方程的共同特征是什么?思考思考1 1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于x x，y y的方程，的方程，上述四种直线方程，能否写成如上述四种直线方程，能否写成如Ax+By+C=0Ax+By+C=0统一形式？统一形式？当直线当直线l的斜率存在的斜率存在时时当直线当直线l的斜率不存在的斜率不存在时时结论：结论：方程方程都是二元一次方程，任何直线方程的方程都是二
25、元一次方程，任何直线方程的方程都可以写成关于，的二元一次方程都可以写成关于，的二元一次方程 Ax+By+C=0,Ax+By+C=0,（A A、B B不同时为不同时为0 0）.思考思考2 2 每一个关于每一个关于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程Ax+By+C=0(A,BAx+By+C=0(A,B不同时为不同时为0 0）都表示一）都表示一条直线吗？条直线吗？当当B0B0时，时，Ax+By+C=0Ax+By+C=0可变为可变为当当B=0B=0呢？呢？Ax+By+C=0Ax+By+C=0可变为可变为表示与表示与x x轴垂直的直线轴垂直的直线.结论：结论：任何关于任何关于x x，y y的二元一次
26、方程的二元一次方程Ax+By+c=0Ax+By+c=0（A A，B B不同时为零）都表不同时为零）都表示一条直线示一条直线.约定：约定：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x x的系数为正，的系数为正，x x,y y的系数及常数项一般不出现的系数及常数项一般不出现 分数，一般按含分数，一般按含x x项，含项，含y y项、常数项顺序排列项、常数项顺序排列.AxByC0例例1 1 已知直线经过点已知直线经过点A A（6 6，-4-4），斜率为），斜率为 ，求直线，求直线的点斜式和一般式方程的点斜式和一般式方程.经过点经过点A(6A(6，-4),-4),斜率为
27、斜率为 的直线的点斜式方程为的直线的点斜式方程为化成一般式得化成一般式得直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系点拨：点拨：两直线斜率存在，斜率相等，两直线斜率存在，斜率相等，在在y y轴上的截距不相等轴上的截距不相等.思考：还有其他方法吗？1.直线方程的一般式直线方程的一般式Ax+By+c=0（A A，B B不同时为零不同时为零）2.2.直线方程的一般式与特殊式的互化直线方程的一般式与特殊式的互化.3.3.两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定.注意注意B=0B=0两方面含义：两方面含义：(1)(1)直线方程都是关于直线方程都是关于x,yx,y的二元一次方程；的二元一次方
28、程；（2 2）关于）关于x,yx,y的二元一次图象又都是一条直线的二元一次图象又都是一条直线.直线方程名称直线方程名称 直线方程形式直线方程形式适用范围适用范围 点斜式点斜式斜截式斜截式两点式两点式截距式截距式一般式一般式不垂直不垂直x x轴轴不垂直不垂直x x轴轴不垂直两个坐标轴不垂直两个坐标轴不垂直两个坐标不垂直两个坐标轴且不经过原点轴且不经过原点任意一条直线任意一条直线填一填填一填直线的一般式方程与其他形式的互化 不同的品格导致不同的兴趣爱好。2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标2.3.2 两点间的距离(1)理解两直线的交点与方程组的解之间的关系，会求两条相交
29、直线的交点坐标;(2)能够根据方程组解的个数来判断两直线的位置关系.(两条直线的相交、平行和重合，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解)（3）能利用两直线方程的对应系数关系来判断两直线位置关系.（4）理解并掌握平面上任意两点间的距离公式，初步了解解析法.二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一解，无解,无穷多解），同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系。几何元素及关系几何元素及关系代数表示代数表示点点A直线直线l点点A在直线在直线l上上直线直线l1与与l2的交点是的交点是A探究1：
30、已知两直线1.两条直线的交点：观察下表，并填空.相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成的方程组 的解；探究2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？如果两条直线 和反之，如果方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线交点。和例1：求下列两直线交点坐标：解：解方程组所以l1与l2的交点坐标为M（-2，2）.(如图所示)得l1Ml2练习1:求下列各对直线的交点坐标，并画出图形答案：练习2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:解：设直线方程为因为直线过原点(0，0)，将其代入上式可得：=1将=1 代入 即所求直线方程得2两条直线的位
31、置关系：探究3：两直线位置关系与两直线的方程组成的方程组的解的情况有何关系？思考：(1)若方程组没有解，两直线应是什么位置关系？(2)若方程组有无数解，两直线应是什么位置关系？设两条直线方程为：例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.解：（1）解方程组得 所以l1与l2相交，交点坐标为（2）解方程组得矛盾，所以方程组无解，两直线无公共点，故平行。（3）解方程组得因此，化成同一个方程，表示同一直线，重合。练习:(3)判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标答案：(1)相交，交点坐标(2)相交，交点坐标（0，）(3)平行练习练习(4)(4)：已知直线已知直线ykx2k
32、1与直线与直线yx2的交的交点位于第一象限，求实数点位于第一象限，求实数k的取值范围的取值范围。分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.)（否则两直线平行，无交点），解：因为联立方程解得由交点位于第一象限所以解得实数k的取值范围是)因为直线ykx2k1恒过定点（恒过定点（-2，1），），直线直线ykx2k1与直线与直线yx2的交点位于第一象限的交点位于第一象限即为过定点（即为过定点（-2，1）的直线与直线的直线与直线y=-x+2在第一象限的部分有交点在第一象限的部分有交点观察观察直线直线ykx2k1，当，当x=-2时，时，y=1,即即直线直线ykx2k1恒过点恒过点 ，
33、结合前面斜率的知识，结合前面斜率的知识，可以可以求求实数实数k的取值范围的取值范围。3.两点间的距离公式：探究4：已知，试求两点间的距离。由此得到两点间的距离公式特殊地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离例3 已知点在轴上求一点 ，使，并求的值。解得 x=1。所以，所求点P（1，0）且 解：设所求点为P（x,0），于是由 得即3.3.3 3.3.3 点到直线的距离点到直线的距离3.3.4 3.3.4 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 （1 1）.掌握点到直线的距离公式的推导过程；掌握点到直线的距离公式的推导过程；（2 2）.能用点到直线的距离公式进行计能用点到直线的距离公式进行
34、计算；算；（3 3）.能求有关平行线间的距离。能求有关平行线间的距离。1.1.什么是点到直线的距离？什么是点到直线的距离？点点P P0 0到直线的距离是指到直线的距离是指:从点从点P0(如图所示如图所示)到直线到直线l(如图所示如图所示)的垂线段的垂线段P0Q的长度，其中的长度，其中Q为垂足为垂足.已知点已知点 ，直线，直线 ，如何求点如何求点 到直线到直线 的距离？的距离？2.2.点到直线的距离点到直线的距离及直线及直线 的斜率的斜率由由得得 直线直线 的斜率为的斜率为的方程为的方程为因此直线因此直线即即Q点的坐标为点的坐标为点点 之间的距离之间的距离 （到到 的距离）为的距离）为逐项整理逐
35、项整理以上两式相加，只整理分子得以上两式相加，只整理分子得所以所以1.1.此公式是在此公式是在A A、B B00的前提下推导的；的前提下推导的；2.2.如果如果A A=0=0或或B B=0=0，此公式恰好也成立；，此公式恰好也成立；注意注意思考：我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量的方法求点到直线的距离？解解:（1 1）根据点到直线的距离公式，得）根据点到直线的距离公式，得（2 2）根据点到直线的距离公式，得）根据点到直线的距离公式，得因为直线因为直线 平行于平行于 轴轴，所以，所以注意：当注意：当A=0或或B=0，也可直接利用图形性质求得距离。，也可直接利用图形性质求得距
36、离。例例2 2 已知点已知点 ，求，求 的面积的面积解：如图，设解：如图，设 边上的高为边上的高为 ，则，则y1234xO-1123 边上的高边上的高 就是点就是点 到到 的距离的距离 边所在直线的方程为：边所在直线的方程为：即：即：点点 到到 的距离的距离因此，因此，y1234xO-1123解：解：由题意，设所求直线方程为：由题意，设所求直线方程为：练习：练习：求过点求过点M M(2,1)2,1)，且与，且与A A(1,2)1,2)，B B(3,0)(3,0)距离相等的直线方程距离相等的直线方程.即即由于所求直线与由于所求直线与A A(1,2)1,2)，B B(3,0)(3,0)距离相等，则
37、有距离相等，则有解得解得所求直线方程为所求直线方程为2.2.两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离（1 1）两条平行直线间的距离）两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长。两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长。（2 2）探究：）探究：能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？已知两条平行直线已知两条平行直线设设 是直线是直线 上的任意一点，则上的任意一点，则就是直线就是直线和和的距离的距离注意：注意：两条平行直线的方程必须化为一般式，即为两条平行直线的方程必须化为一般式，即为例2、求下列
38、两条平行线间的距离。变式变式.已知直线已知直线是否平行？若平行，求是否平行？若平行，求 间的距离间的距离.解：解：因为因为斜率分别为斜率分别为所以所以平行平行.先求先求与与 轴的交点轴的交点 A A的坐标，易得的坐标，易得点点 A A到直线到直线 的距离为的距离为 间的距离为间的距离为(a，b)rD2E24F0答案：答案：C求圆的方程的两种方法求圆的方程的两种方法（1）直接法）直接法（2）待定系数法）待定系数法与函数有关的最值问题与函数有关的最值问题考点三：与圆有关的轨迹问题考点三：与圆有关的轨迹问题复习回顾：点与圆的位置关系复习回顾：点与圆的位置关系(3).(3).利用直线与圆的位置关系解决
39、一些实际问题利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.(1).(1).理解直线与圆的位置关系理解直线与圆的位置关系;(2).(2).掌握直线与圆的位置关系的几何判定掌握直线与圆的位置关系的几何判定;学习目标317图形图形位置位置相交相交相切相切相离相离问题问题1：直线与圆有哪些位置关系？：直线与圆有哪些位置关系？交点个数交点个数2个个1个个0个个问题问题2：怎样判断直线与圆的位置关系？：怎样判断直线与圆的位置关系？.xyOCABl方法一：可以判断由直线方程与圆方法一：可以判断由直线方程与圆方程组成的方程组解的情况；方程组成的方程组解的情况；方法二，可以判断圆心到直线方法二，可以判断圆心到直线的距
40、离与半径的大小关系，的距离与半径的大小关系，解法一：由直线与圆的方程，得解法一：由直线与圆的方程，得所以直线与圆相交，有两个公共点所以直线与圆相交，有两个公共点所以直线与圆有两个交点，坐标分别为所以直线与圆有两个交点，坐标分别为A A（2,02,0）,B,B（1,31,3）所以直线与圆相交，有两个公共点所以直线与圆相交，有两个公共点因为因为d=rd=r，所以直线，所以直线3x3x4y4y2 2与圆相切与圆相切圆心坐标是（，），半径长圆心坐标是（，），半径长r=1r=1(2)利用利用圆心圆心到直线的距离到直线的距离d与半径与半径r的大小关系判断：的大小关系判断：一一、直线与圆的位置关系的判定方法
41、：直线与圆的位置关系的判定方法：d rd=rd r直线与圆相离直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相切直线与圆相交直线与圆相交(1)利用直线与圆的交点的个数进行判断：利用直线与圆的交点的个数进行判断：0直线与圆相切直线与圆相切直线与圆相交直线与圆相交二、二、直线与圆相切问题：直线与圆相切问题：点P与圆的位置关系：在圆上1 1O的半径为的半径为3,3,圆心圆心O O到直线到直线l的距离为的距离为d,d,若直线若直线l与与O没有公共点，则没有公共点，则d d为（为（）：）：A Ad d 3 B3 Bd3 Cd焦距焦距 2C思考：变短绳子是否一定能形成椭圆？常数常数 2a=焦距焦距 2C轨迹是线段轨迹是
42、线段常数常数 2a 2c则：则：O 探究：探究：如何建立椭圆的方程？如何建立椭圆的方程？问题问题4 4：怎么能让方程 更简洁？椭圆的标准方程焦点在 轴上，坐标为 xOF1F2y如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？OF1F2xy（2 2）在椭圆两种标准方程中，总有）在椭圆两种标准方程中，总有ab0ab0；xOF1F2y二二.椭圆的标准方程椭圆的标准方程OF1F2yx(3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上；焦点在大分母变量所对应的那个轴上；（1）方程的左边是两项）方程的左边是两项平方和平方和的形式，等号的右边是的形式，等号的右边是1；怎样判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上？。典型例题典型例题
43、求椭圆标准方程的解题步骤：求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程的值，写出椭圆的标准方程.（焦点的位置不确定时要讨论）（焦点的位置不确定时要讨论）.例3.已知椭圆的两焦点为F1(0,2）、F2(0,-2)，并且椭圆过点 ,求椭圆的标准方程。解法一：解法二：反思总结反思总结 标准方程标准方程图形图形焦点坐标焦点坐标定义定义a、b、c的关系的关系焦点位置的判定焦点位置的判定共同点共同点不同点不同点F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0
44、,c)平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常的距离的和等于常数（大于数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆）的点的轨迹叫做椭圆.b2=a2 c2 椭圆的两种标准方程中，总是椭圆的两种标准方程中，总是 ab0.所以哪个所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大个轴上，相应的那个项的分母就越大.xyoxyo复习：复习：1.椭圆的定义:平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的距离 为常数为常数 的动点的轨迹叫做椭圆。的动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是
45、:a2=b2+c2当焦点在当焦点在X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时符号表述：符号表述：之和之和（大于（大于|F1F2|）YXO问题问题:请同学们观察下面这个图形在x轴的上方、下方，y轴的左侧、右侧有怎样的关系呢？结论结论:关于关于x轴、轴、y轴、原点都对称。轴、原点都对称。YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）关于关于x轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称关于原点对称关于原点对称一、椭圆的对称性一、椭圆的对称性中心：椭圆的对称中心：椭圆的对称中心中心叫做椭圆的中心。叫做椭圆的中心。二、椭圆的顶点二、椭圆的顶点*顶点顶点：椭圆与它的对椭圆与它的对称轴的四个
46、交点，叫做称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。椭圆的顶点。*长轴长轴、短轴短轴：线线段段A1A2、B1B2分别叫做分别叫做椭圆的椭圆的长轴长轴和和短轴短轴。a、b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长长半轴长和和短半轴长短半轴长。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)-axa,-byb 知知 oyB2B1A1A2F1F2cab三、范围：三、范围：椭圆落在椭圆落在x=a,y=b组成的矩形中组成的矩形中(a，0)(-a，0)(0,b)(0,-b)123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-
47、2-3-4xA1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1（1）（2）1086104 四四、椭圆的离心率椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：2离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：0e|F1F2|)(c,0)、(c,0)(0,c)、(0,c)归纳总结归纳总结 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程1.椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数 2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的2.引入问题引入问题回顾定义()
48、探究探究 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点;|F1F2|焦距焦距.平面内平面内与两个定点与两个定点F F1 1，F F2 2的距离的的距离的差差的的绝绝对值对值等于非零常数等于非零常数(小于小于|F|F1 1F F2 2|)|)的点的轨迹的点的轨迹叫做叫做双曲线双曲线.双曲线定义双曲线定义问题问题1.为什么这个常数要小于为什么这个常数要小于|？yxoF2F1MF2F1MxOy如何求双曲线的标准方程？如何求双曲线的标准方程？设设M（x,y）,即即|(x+c)2+y2-(x-c)2+y2|=2a以以F1,F2所在的直线为所在的直线为X轴，轴，线段线段F1F2的中点为原点建立的中点
49、为原点建立直角坐标系直角坐标系,1.建系建系.2.设点设点3.列式列式|MF1|-|MF2|=2a4.4.化简化简.双曲线的双曲线的焦距为焦距为2c（c0）,常数常数=2=2a a(a0）,则则F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0)(c,0)，将上述方程化为：两边再平方后整理得：代入上式得：移项两边平方后整理得：焦点在焦点在y y轴上的双曲线的轴上的双曲线的标准方程是什么？标准方程是什么？(0,c)(0,-c)F2F1yxo两种标准方程的特点两种标准方程的特点 方程用方程用“”号连接。号连接。大小不定大小不定。如果如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上；
50、轴上；如果如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上。轴上。（与分母大小无关）（与分母大小无关）如何确定焦点位置？如何确定焦点位置？yxoF2F1MxyF2F1M已知下列双曲线的方程：已知下列双曲线的方程：345(0,-5),(0,5)12(-2,0),(2,0)解：因为双曲线焦点在解：因为双曲线焦点在x x轴上，所以设它的轴上，所以设它的 标准方程为标准方程为 2 2c=10,2a=6=10,2a=6 c=5,a=3=5,a=3 b b2 2=5=52 2-3-32 2=16 =16 所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为2.3.22.3.2 双曲线简单的几何性质双曲线简
