1、第二节第二节 “类比类比”的观点的观点 1一、什么是类比一、什么是类比 类比，是根据两个（或两类）对象之间在类比，是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其它某些方面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的一种推理方法，也是方面也可能相似或相同的一种推理方法，也是一种观点。一种观点。类比的推理是一种类比的推理是一种“合情推理合情推理”，不是证，不是证明，它明，它无法保证无法保证已知相同的属性与推出的属性已知相同的属性与推出的属性之间有之间有必然的联系必然的联系。但是，它是获得新思路，。但是，它是获得新思路，新发现的一种观点、一种手段。新发现的一种观点、一
2、种手段。2二、插值问题中的类比二、插值问题中的类比 1问题问题：有函数不知其式，在：有函数不知其式，在 处处取值取值 ，在，在 处取值处取值 ，在，在 处取处取值值 ，问 函 数，问 函 数（解 析 式）为 何？（解 析 式）为 何？2类比类比：有物不知其数，三三数之：有物不知其数，三三数之剩剩 ，五五数之剩，五五数之剩 ，七七数之剩，七七数之剩 ，问物几何？问物几何？cabcab3 这是我们在前面这是我们在前面“韩信点兵与中国韩信点兵与中国 剩余定理剩余定理”一节中已经解决的问题。当一节中已经解决的问题。当时我们有一种成功的方法时我们有一种成功的方法,叫叫“单因子构单因子构件凑成法件凑成法”
3、。这种方法是：对每个要素。这种方法是：对每个要素分别做出一个构件，叫单因子构件，再分别做出一个构件，叫单因子构件，再把它们凑在一起，从而解决问题。把它们凑在一起，从而解决问题。4 具体说是：先找到用具体说是：先找到用3除余除余1、用、用5和和7除均能除尽的数除均能除尽的数 70；再找到用；再找到用5除余除余1、用用3和和7除均能除尽的数除均能除尽的数 21；找到用；找到用7除余除余1、用、用3和和5除均能除尽的数除均能除尽的数 15；然后算出；然后算出 3，5，7 =105。最后令最后令 ，即为即为所求。所求。702115105()SabckkZ5 3原问题的解法原问题的解法 通过类比，发现插
4、值问题（有函数不知其通过类比，发现插值问题（有函数不知其式的问题）与式的问题）与“有物不知其数的问题有物不知其数的问题”结构相结构相同，因此可以考虑用同，因此可以考虑用“单因子构件凑成法单因子构件凑成法”：先作函数先作函数 ，在，在 处值为处值为1，在，在 处处值均为值均为0；再作函数；再作函数 ，在，在 处值为处值为1，在在 处值均为处值均为0；再作；再作 函数函数 ，在，在 处值为处值为1，在，在 处值均为处值均为0。()p x,()q x,()r x,6 即即 ，；，；，那么，那么 就是所求的函数。就是所求的函数。()1p()()0pp()1q()()0qq()1r()()0rr()()
5、()()f xap xbq xcr x7 下边求下边求 。最简单的是。最简单的是 用多项式的方法。比如设用多项式的方法。比如设 是一个多项式，是一个多项式，则据条件则据条件 知，它有两个一知，它有两个一次因式，可令次因式，可令 ，再用条件，再用条件 去求去求 。，。故故 。(),(),()p x q x r x()p x()()0pp()()()p xxx()1p1()()1/()()()()()()()xxp x 8 同理，同理，可求出可求出 ，。于是得于是得:()()()()()xxq x()()()()()xxr x()()()()()()()()()()()()()xxxxxxf xa
6、bc 9 经验证，它符合要求，称为经验证，它符合要求，称为插值公式插值公式。即该函数在即该函数在 三点，插进去的都是三点，插进去的都是预先指定的值预先指定的值 。它简单，明快，可顺利地推广到任意有它简单，明快，可顺利地推广到任意有限多个点插值的情况。这样，就可以限多个点插值的情况。这样，就可以用用一一个个连续连续的的函数函数去去拟合拟合离散离散的的测量结果。测量结果。,a b c10 华罗庚由此联想到如何解决具有类似结构华罗庚由此联想到如何解决具有类似结构的各种问题。正是他把上述解决问题的基本思的各种问题。正是他把上述解决问题的基本思想称为想称为“单因子构件凑成法单因子构件凑成法”，并概括成如
7、下的，并概括成如下的“合成原则合成原则”：要做出具有平行的、类似的几个性质要做出具有平行的、类似的几个性质A，B，C的一个数学结构，而的一个数学结构，而A，B，C分别以某种量分别以某种量 刻划刻划，这时，可用，这时，可用“单因子构件凑成法单因子构件凑成法”：先：先作作B，C不发生作用，而不发生作用，而A取单位量的构件，再作取单位量的构件，再作C，A不发生作用，不发生作用，B取单位量的构件；再作取单位量的构件；再作A、B不发生作不发生作用，用，C取单位量的构件。然后用这些构件凑出所求的取单位量的构件。然后用这些构件凑出所求的结构。这个原则在有的书里称为结构。这个原则在有的书里称为“孙子孙子华原则
8、华原则”。,11三、分割问题中的类比三、分割问题中的类比 1 问题问题：5个平面最多把空间分为几个部分？个平面最多把空间分为几个部分？平面互相尽可能平面互相尽可能多多地相交，才能分割最多。如果地相交，才能分割最多。如果5个平面全都平行，那末空间分成的是个平面全都平行，那末空间分成的是6部分，就较部分，就较少。但少。但5个平面如何相交最多以致分割最多，一时也个平面如何相交最多以致分割最多，一时也想不清楚，我们想起从想不清楚，我们想起从“抓三堆抓三堆”趣味问题中学到的趣味问题中学到的数数学文化，先把问题一般化，再把问题特殊化，逐渐找学文化，先把问题一般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。规律。12 2
9、问题一般化：问题一般化：n个平面最多把空个平面最多把空间分为几个部分？间分为几个部分？记分为记分为 个部分，再令个部分，再令 把问题特殊化把问题特殊化。()F n1,2,3,n13 3问题特殊化：从简单的情况做起，以问题特殊化：从简单的情况做起，以便便“类比类比”4个平面的情况不易想清楚了。但想到要个平面的情况不易想清楚了。但想到要使使平面平面相交最多相交最多，才能把空间，才能把空间分割最多分割最多。平面相。平面相交最多，有两个含义，一是每个平面都与其它交最多，有两个含义，一是每个平面都与其它的所有平面相交，二是每个平面都不过它以外的所有平面相交，二是每个平面都不过它以外任意三个平面的交点（三
10、个平面一般情况下相任意三个平面的交点（三个平面一般情况下相交于一个点）。交于一个点）。(1)2,(2)4,(3)8,(4)?FFFF14 由此我们想到了空间的四面体，这似由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面相交最多（从而分割最多）乎是四个平面相交最多（从而分割最多）的情况，把四面体的四个面延展成四个平的情况，把四面体的四个面延展成四个平面，是否就能把空间分为最多的部分呢？面，是否就能把空间分为最多的部分呢？到底现在把空间分成了几个部分呢？暂难想到底现在把空间分成了几个部分呢？暂难想象。由此我们想到去类比象。由此我们想到去类比“直线分割平面直线分割平面”的的情情形。形。15 4 类比类比
11、3条直线分割平面的情形条直线分割平面的情形 这也可以看成是把三角形的三条边均这也可以看成是把三角形的三条边均延长为直线，看这延长为直线，看这3条直线把平面分为几条直线把平面分为几部分。数一数，是部分。数一数，是7部分。这对我们有什部分。这对我们有什么启示？么启示？16 17 我们分析一下这我们分析一下这7个部分：个部分：是有限的是有限的部分，原三角形内部；而几个无限部分，部分，原三角形内部；而几个无限部分，或与原三角形有公共顶点（或与原三角形有公共顶点（，），或与原三角形有公共边（），或与原三角形有公共边（，）。）。把它们加起来，于是把它们加起来，于是1+3+3=7。所以。所以3条直线分割平面
12、，最多分为条直线分割平面，最多分为7个部分。个部分。18 5 类 比 考 虑 四 面 体 的 四 个 面 延 展 成类 比 考 虑 四 面 体 的 四 个 面 延 展 成 4 个 平个 平面，把空间分为几个部分：有限部分（四面体面，把空间分为几个部分：有限部分（四面体内 部）数 为内 部）数 为 1；无 限 部 分 与 原 四 面 体 或 有 一 个；无 限 部 分 与 原 四 面 体 或 有 一 个公共顶点（有公共顶点（有4个部分），或有一条公共棱（有个部分），或有一条公共棱（有6个部个部分），或有一个公共面（有分），或有一个公共面（有4个部分），于是所分空个部分），于是所分空间总的部分数为
13、间总的部分数为 1+4+6+4=15。以下仍要考虑以下仍要考虑 这就是一开始提出的问题：这就是一开始提出的问题：5个平面最多把空间个平面最多把空间分为几个部分？分为几个部分？(4)146415,(5)?FF(5)?F19 这 一 问 题 在 平 面 上 的 类 似 问 题 是 什 么？是这 一 问 题 在 平 面 上 的 类 似 问 题 是 什 么？是5 条 还 是条 还 是 4 条 直 线 分 割 平 面？又 如 何 类 比？想 不条 直 线 分 割 平 面？又 如 何 类 比？想 不清 楚 了。对 我 们 来 说，不 如 在清 楚 了。对 我 们 来 说，不 如 在“一 般 情 形一 般
14、情 形”下 考下 考虑 问 题：虑 问 题：个 平 面 分 割 空 间 和个 平 面 分 割 空 间 和 条 直 线 分 割 平 面。条 直 线 分 割 平 面。条 直 线条 直 线“处 于 一 般 位 置处 于 一 般 位 置”的 要 求 也 可 以 说 是：任的 要 求 也 可 以 说 是：任何 两 条 不 平 行；任 何 三 条 不 共 点。何 两 条 不 平 行；任 何 三 条 不 共 点。个 平 面个 平 面“处处于 一 般 位 置于 一 般 位 置”的 要 求 是：任 两 平 面 不 平 行；任的 要 求 是：任 两 平 面 不 平 行；任四 平 面 不 共 点四 平 面 不 共
15、点 （或 说 任 三 平 面 不 共 线）这 是 四（或 说 任 三 平 面 不 共 线）这 是 四平 面 不 共 点 的 必 要 条 件，并 非 充 分平 面 不 共 点 的 必 要 条 件，并 非 充 分 。nnnn20 进而，我们类比直线上的问题：进而，我们类比直线上的问题：个一般个一般位置的点分割直线的问题。位置的点分割直线的问题。这一问题比较简单：这一问题比较简单：个点最多把直线分为个点最多把直线分为 个部分。这个部分。这对我们会有启发。对我们会有启发。如果我们把极端情况如果我们把极端情况有零个分割元素有零个分割元素的情况的情况也考虑在内，那么被也考虑在内，那么被“分割分割”成的成的
16、部部分数是分数是1。下图综合列出点分直线、直线分平面、平下图综合列出点分直线、直线分平面、平面分空间的已取得的结果。面分空间的已取得的结果。nn1n21 6 类比一般化类比一般化 （解释记号（解释记号 ，然后看图），然后看图）(),(),()L nf nF n 分割元素 个 数 被分成的部分数 点分直线 直线分平面 平面分空间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8 4 5 15 5 6 1nn(1)L nn()1L nn(1)f n()f n(1)F n()F n22 于是，我们得到了一系列待解决的问于是，我们得到了一系列待解决的问题。弧立的问题有时难于理解，而题。弧
17、立的问题有时难于理解，而解决系解决系列问题有时比解决弧立问题好入手列问题有时比解决弧立问题好入手。现。现在，原问题在，原问题“”已处在系列问题已处在系列问题之之中，比之原来的情形，求解已有进展。中，比之原来的情形，求解已有进展。(5)?F23 7（用类比的观点）猜想（用类比的观点）猜想 观察上表中已得到的结果，表中的数字间有什么观察上表中已得到的结果，表中的数字间有什么联系？有什么规律性？联系？有什么规律性？从最右一列，先以为有从最右一列，先以为有“2的方幂的方幂”的规律，但的规律，但8后后边的边的 表明这个猜想不对。表明这个猜想不对。反复求索的结果，我们可能忽然看到表中有反复求索的结果，我们
18、可能忽然看到表中有 3 4；7 8 7 15，以及联想到以及联想到 3+4=7，7+8=15。这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可由它由它“头上头上”的数与的数与“左肩左肩”上的数相加而得到。上的数相加而得到。415216,24 这是我们解决原问题的钥匙吗？我这是我们解决原问题的钥匙吗？我们们猜想它确是规律。那我们把表按此规律，猜想它确是规律。那我们把表按此规律，顺沿到顺沿到 ，原问题的解就是，原问题的解就是？5n(5)26F25 分割元素 个 数 被分成的部分数 点分直线 直线分平面 平面分空间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4
19、3 4 7 8 4 5 （11）15 5 6 （16）（26）1nn(1)L nn()1L nn(1)f n()f n(1)F n()F n26类比不是证明类比不是证明 但这种类比不是证明，只是合理的猜但这种类比不是证明，只是合理的猜测；还需要分析这一猜测，以便证实这一测；还需要分析这一猜测，以便证实这一猜测，或者否定这一猜测。这才是用类猜测，或者否定这一猜测。这才是用类比、归纳的方法去研究问题的决定性步比、归纳的方法去研究问题的决定性步骤。骤。27 8分析、推理分析、推理 我们的分析从我们的分析从“时直线分平面时直线分平面”入手，我入手，我们们已经通过已经通过“顺沿上表顺沿上表”猜想：猜想：
20、4条直线最多把平面条直线最多把平面划分为划分为11个部分。它是正确的吗？我们在个部分。它是正确的吗？我们在3条直线分条直线分平面平面 为为7个部分的基础上，再添加一条直线（用红个部分的基础上，再添加一条直线（用红色），这条直线与原来的每条直线都相交，但又不过色），这条直线与原来的每条直线都相交，但又不过任意两条直线的交点。如右图。我们数一下，现在确任意两条直线的交点。如右图。我们数一下，现在确实把平面分成了实把平面分成了11个部分。所以这猜测是对的，但它个部分。所以这猜测是对的，但它为什么是对的呢？我们再作分析，增加一些理性认为什么是对的呢？我们再作分析，增加一些理性认识，也许还能从中找到理解
21、一般情形的线索。识，也许还能从中找到理解一般情形的线索。4n 2829 3条直线分平面为条直线分平面为7个部分；个部分；4条直线就分平面为条直线就分平面为11个部分了，即增加了个部分了，即增加了4部分；从部分；从3条直线添一条直条直线添一条直线，为什么分割平面正好多出线，为什么分割平面正好多出4部分？分析一下：新部分？分析一下：新添的直线与原来添的直线与原来3条直线每条都相交，而且交在与原条直线每条都相交，而且交在与原交点不同的点，这就交出了交点不同的点，这就交出了3个新交点，这个新交点，这3点把新添点把新添的直线分为的直线分为4段，每一段把它穿过的（由前段，每一段把它穿过的（由前3条直线分条
22、直线分成的）那个区域一分为二，因此成的）那个区域一分为二，因此“平面分割平面分割”增加了增加了4个部分，这就是个部分，这就是“4”的来历，而且这个分析表明，的来历，而且这个分析表明，这这个个“4”也正是也正是3点把直线分为点把直线分为4部分的部分的“4”，也就是，也就是“11”左肩上的左肩上的“4”。11=4+7原来是这样产生的。这种分原来是这样产生的。这种分析析已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对所发现的规律的信心。所发现的规律的信心。30 9再类比得一般情形的公式再类比得一般情形的公式 及及 我们再类比分析我们再类比分析 时平面分空间
23、的情时平面分空间的情况。这时我们不容易在平面的黑板上作立体图况。这时我们不容易在平面的黑板上作立体图了，只能借助于刚才四面体延展的那个图来想了，只能借助于刚才四面体延展的那个图来想像。但是我们可以像。但是我们可以从思维上、语言上类比从思维上、语言上类比刚才刚才的情形。的情形。()(1)(1)f nL nf n()(1)(1)F nf nF n4n 31 我们在我们在3个平面分空间为个平面分空间为8个部分的基础个部分的基础上，再添加一个平面，这个平面与原来的上，再添加一个平面，这个平面与原来的3个个平面都相交，并且又不过原来平面都相交，并且又不过原来3平面的交点，平面的交点，从而不过原来任两平面
24、的交线，这就交出了从而不过原来任两平面的交线，这就交出了3条新直线，这条新直线，这3条直线把新添加的平面分为条直线把新添加的平面分为7个个部分（就是上面部分（就是上面“类比一般化类比一般化”的大表格中的的大表格中的“7”），每一部分把它穿过的（由前），每一部分把它穿过的（由前3个平面个平面分分成的）区域一分为二，因此成的）区域一分为二，因此“空间分割空间分割”增加增加了了7个部分，而原有个部分，而原有8个部分，这就是个部分，这就是15=7+8的的来来历。历。32 这里的这里的 到到 的过渡，并没有任何特殊的过渡，并没有任何特殊的地方，我们可以完全类似地分析由的地方，我们可以完全类似地分析由 向
25、向 过渡时过渡时发生的情况，得到一般的表达式。发生的情况，得到一般的表达式。与段落与段落“8”类似地可以得到公式：类似地可以得到公式：与段落与段落“9”类似地可以得到公式：类似地可以得到公式：这两个公式都是递推公式。这种递推公式与斐波这两个公式都是递推公式。这种递推公式与斐波那契数列的递推公式有区别，但思想精神是相通的。那契数列的递推公式有区别，但思想精神是相通的。3n4n 1n()(1)(1)f nL nf n()(1)(1)F nf nF nn33 我们只再叙述一遍较为复杂的我们只再叙述一遍较为复杂的公式公式 得到的过程得到的过程。它实际上只要在上面的叙述中，。它实际上只要在上面的叙述中，
26、把把“3个平面个平面”换为换为“个平面个平面”，把，把“8个部分个部分”换为换为“个部分个部分”，把，把“3条新直线条新直线”换为换为“条新直线条新直线”，把，把“7个部分个部分”换为换为“个个部 分部 分”，把，把“1 5”换 为换 为“”就 完 成 了。就 完 成 了。简单说，是在简单说，是在“上上屏上上屏”的叙述中，做下边的的叙述中，做下边的代换：代换：，。()(1)(1)F nf nF n1n(1)F n1n(1)f n()F n31n8(1)F n7(1)f n15()F n34 个平面把空间最多分为个平面把空间最多分为 个部分，求个部分，求 ，不厌其繁地详细说一遍，就是：不厌其繁地
27、详细说一遍，就是：我们在我们在 个平面分空间为个平面分空间为 个部分的基个部分的基础上，再添加一个平面，这个平面与原来的础上，再添加一个平面，这个平面与原来的 个个平面都相交，并且又不过原来任平面都相交，并且又不过原来任3个平面的交点，从个平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出了而不过原来任两平面的交线，这就交出了 条新直条新直线，这线，这 条直线把新添的平面分为条直线把新添的平面分为 个部个部分，每一部分把它穿过的（由前分，每一部分把它穿过的（由前 个平面分成的）个平面分成的）区域一分为二，因此，区域一分为二，因此，“空间分割空间分割”增加了增加了 个个部分，而原有部分，而原有 个
28、部分，所以现在，空间共被分个部分，所以现在，空间共被分割成的割成的“部分数部分数”是是 。这就是推出这一公式的逻辑推理过程。这就是推出这一公式的逻辑推理过程。()F n()F n1n(1)F n1n1n1n(1)f n1n(1)f n(1)F n()(1)(1)F nf nF nn35 10 推出显公式 及 上边得到的还只是递推公式、关系公式，我上边得到的还只是递推公式、关系公式，我们希望进一步得到像们希望进一步得到像 那样的、关于那样的、关于 及及 的显公式，即直接用的显公式，即直接用 的解析式来的解析式来表达表达 及及 。下边的技巧是常用的。下边的技巧是常用的。(1)()12n nf n
29、31()(56)6F nnn()1L nn()f nn()f n()F n()F n36 1）直线分平面的情形直线分平面的情形 2）平面分空间的情形平面分空间的情形(0)1f(0)1F(1)(0)(0)fLf(1)(0)(0)FfF(2)(1)(1)fLf(2)(1)(1)FfF(3)(2)(2)fLf(3)(2)(2)FfF(1)(2)(2)f nL nf n(1)(1)(2)F nf nF n)()(1)(1)f nL nf n)()(1)(1)F nf nF n3710()1()nif nL i 101(1)nii 11nii(1)12n n 10()1()niF nf i 10(1)112nii i 31(56)6nn38 11 另法：用数学归纳法证明显公式另法：用数学归纳法证明显公式 另一种方法是：用不完全归纳法总结另一种方法是：用不完全归纳法总结出（或说猜出）显公式，再用数学归纳出（或说猜出）显公式，再用数学归纳 法去证明显公式。法去证明显公式。1）直线分平面的情形直线分平面的情形 2）平面分空间的情形平面分空间的情形 （略）（略）39
