1、 广西玉林、柳州市广西玉林、柳州市 20202020 届高三上学期第二次模拟考试届高三上学期第二次模拟考试 文科数学文科数学 一、选择题一、选择题: :本大题共本大题共 1212 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分, ,在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一项是只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1.设集合 |2 ,1,0,1,2,3Ax xB ，则AB （ ） A. 0,1 B. 0,1,2 C. 1,0,1 D. 1,0,1,2 【答案】C 【分析】 解绝对值不等式求得集合A，由此求得AB 【详解】由2x ，解得22x ，所以 1
2、,0,1AB . 故选：C 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 2.若复数z满足1 3i zi （其中i为虚数单位） ，则z （ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 5 【答案】D 【分析】 由复数的除法运算，化简复数得1 2zi ，再利用复数模的计算公式，即可求解 【详解】由复数z满足13i zi ，则 3(3)(1)24 12 1(1)(1)2 iiii zi iii ， 则 22 125z ，故选 D 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数模的计算，其中解答熟记复数的除法运算的公式，以 及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运
3、算与求解能力，属于基础题 3.已知, a b均为单位向量，若2 3ab，则a与b的夹角为( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 2 3 【答案】B 【分析】 根据平面向量的数量积与模长和夹角公式，计算即可 【详解】解：由23ab，得 2 23ab， 即 22 443aa bb ， 设单位向量a与b的夹角为， 则有1 44cos3 ， 解得 1 cos 2 ， 又0,， 所以 3 故选：B 【点睛】本题考查了平面向量的数量积应用问题，属于基础题 4.若等差数列 n a和等比数列 n b满足 11 1ab ， 44 8ab，则 2 2 a b 为（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
4、【答案】A 【解析】设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 由题意可得 414 3 1 3,2 3 aab dq b ， 22 2,2ab， 2 2 1 a b 选 A 5.命题“若ABC 的三个内角构成等差数列，则ABC必有一内角为 3 ”的否命题( ) A. 与原命题真假相异 B. 与原命题真假相同 C. 与原命题的逆否命题的真假不同 D. 与原命题的逆命题真假相异 【答案】B 【 【分析】根据命题的否命题与原命题的关系，写出否命题，再根据互为逆否命题的两命题同真假，否命题 与逆命题互为逆否命题，则研究原命题的逆命题的真假即可. 【详解】解：原命题为：“若ABC的三内角
5、构成等差数列，则ABC必有一内角为 3 ”， 若A，B，C成等差数列，则2A+C= B，又3ABCB，解得 3 B ，所以它真命题 否命题为：“若ABC 的三个内角不能构成等差数列，则ABC 中任意内角均不为 3 ” 根据互为逆否命题的两命题同真假，否命题与逆命题互为逆否命题，则研究原命题的逆命题的真假， 逆命题为：“若ABC有一内角为 3 ，则ABC的三内角构成等差数列” 若ABC有一内角为 3 ，不妨设 3 B ，则 2 2 3 ACBB ，所以 2A+C= B，即ABC的三内 角成等差数列，所以逆命题为真，则否命题为真 所以否命题与原命题同为真命题 故选：B 【点睛】本题考查了原命题与否
6、命题之间的关系以及它们的真假判断，属于基础题 6.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2017年 1月至 2019 年 12月期间 月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 年接待游客量逐年增加 B. 各年的月接待游客量高峰期大致在 8月 C. 2017年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30万人 D. 各年 1 月至 6月的月接待游客量相对于 7月至 12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】C 【分析】利用折线图的性质直接求解 【详解】解：由 2017年 1月至 2019 年 12月期间月接待游客量
7、的折线图得： 在A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确； 在B中，各年的月接待游客量高峰期都在 8 月，故B正确； 在C中，2017年 1月至 12月月接待游客量的中位数小于 30 万人，故C错误； 在D中，各年 1月至 6月的月接待游客量相对于 7月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确 故选：C 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 7.2019 年，河北等 8 省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考 生先在物理、历史中选择 1 门，再在思想政治、地理、化学、生物中选
8、择 2 门.一名同学随机选择 3 门功课， 则该同学选到物理、地理两门功课的概率为（ ） A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 【答案】B 【分析】先计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到物理、地理两门功课的基本事件的个数，应用 古典概型公式求出概率. 【详解】解:由题意可知总共情况为 12 24 12C C ，满足情况为 1 3 3C ， 该同学选到物理、地理两门功课的概率为 31 124 P .故选 B. 【点睛】本题考查了古典概型公式，考查了数学运算能力. 8.函数 2 1 ( )sin 2 f xxxx的大致图象可能是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C
9、【分析】由题意，函数 ( )f x的解析式，可判定函数为( )f x为偶函数，排除 A、B 项，又由()0 6 f ，可 排除 D 项，即可得到答案 【详解】由题意，函数 ( )f x，满足 22 11 ()()()sin()sin( ) 22 fxxxxxxxf x ， 即 fxf x，xR，得函数 f x是偶函数，其图象关于y轴对称，排除 A、B 项； 又由 2 111 ()()(1)0 62662626 f ，排除 D， 故可能的图象为 C，故选 C 【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的基本性质，利用函数的单调 性和奇偶性，进行排除选项是解答此类问题的关键
10、，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题 9.直线l是圆 22 4xy在( 1,3) 处的切线，点 P 是圆 22 430xxy上的动点，则 P到l的距离 的最小值等于( ) A. 3 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】先得切线方程，然后用点到直线距离减去半径可得 【详解】解：圆 22 4xy在点1,3 处的切线为:34lxy ，即:340l xy， 点P是圆 22 (2)1xy上的动点，圆心(2,0)到直线:340l xy的距离 |204| 3 1 3 d ， 点P到直线l的距离的最小值等于13 12d 故选：B 【点睛】本题考查了圆的切线方程，点到直线的距离，属于中
11、档题 10.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（ ） A. 2021 B. 2019 C. 2 505 D. 2 5051 【答案】A 【分析】 由程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，即可得答 案. 【详解】由题意可知，当12019k时，不断执行循环结构，累加求和，可得 111 1 213220212020 S 当2020k 时，跳出循环 所以输出的 111 1 213220212020 S 12 132202120202021 故选：A 【点睛】本题主要考查程序框图算法功能的理解和利用裂项相加法求和，属于基础题 11.如图所示，在直角梯形
12、BCEF 中，CBF=BCE=90 ，A，D分别是 BF，CE 上的点，ADBC，且 AB=DE=2BC=2AF（如图 1） ，将四边形 ADEF沿 AD折起，连结 BE、BF、CE（如图 2） 在折起的过程中， 下列说法中正确的个数（ ） AC平面 BEF； B、C、E、F 四点可能共面； 若 EFCF，则平面 ADEF平面 ABCD； 平面 BCE 与平面 BEF可能垂直 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】根据折叠前后线段、角的变化情况，由线面平行、面面垂直的判定定理和性质定理对各命题进行 判断，即可得出答案 【详解】对，在图中，连接,AC BD交于点O，取BE中
13、点，连接 MO，易证 AOMF 为平行四边形， 即 AC/FM，所以 AC/平面 BEF，故正确； 对，如果 B、C、E、F四点共面，则由 BC/平面 ADEF，可得 BC/EF，又 AD/BC，所以 AD/EF，这样 四边形 ADEF为平行四边形，与已知矛盾，故不正确； 对，在梯形 ADEF中，由平面几何知识易得 EFFD，又 EFCF，EF平面 CDF， 即有 CDEF，CD平面 ADEF，则平面 ADEF平面 ABCD，故正确； 对，在图中，延长 AF至 G，使得 AF=FG，连接 BG，EG，易得平面 BCE平面 ABF，BCEG 四点共 面过 F作 FNBG于 N，则 FN平面 BC
14、E，若平面 BCE平面 BEF， 则过 F作直线与平面 BCE垂直，其垂足在 BE上，矛盾，故错误 故选：C 【点睛】本题主要考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理的应用，意在考查学生的直 观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题 12.已知点 12 ,F F分别是双曲线 C： 2 2 2 1(0) y xb b 的左、右焦点，O为坐标原点，点 P 在双曲线 C的右 支上，且满足 12 2FFOP， 21 tan3PF F，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A. 10 1 2 ， B. 10 ,) 2 C. 10 1) 2 ， D. 10 (,2 2 【答案】A 【分析】 由
15、 12 2FFOP，根据三角形的性质可知， 12 PFF为直角三角形，且 12 PFPF由双曲线的定义可得， 12 2PFPFa，又 12 3PFPF，可得 2 PFa，再由 222 2 1212 4PFPFFFc，可得到 10 2 ca ，即得到离心率的 取值范围 【详解】由 12 2FFOP得，OPc，根据三角形的性质可知， 12 PFF为直角三角形，且 12 PFPF， 222 2 1212 4PFPFFFc由双曲线的定义可得， 12 2PFPFa，又 12 3PFPF，可得 2 PFa所以 222 2 1212 4PFPFFFc可化为 2 2 2 22 24PFaPFc，即 2 22
16、2 2PFaca，而 2 PFa， 222 24caa，解得 10 2 ca ，又1 c e a ， 10 1 2 e 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及性质的应用，双曲线离心率的取值范围的求法，解题关键是不等 关系的建立，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题 二、填空题二、填空题: :本题共本题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2020 分分 13.已知 , x y满足 , 2, 22. yx xy xy 则 2zxy 最大值为_ 【答案】4 【分析】 由不等式组画出可行域，然后将目标函数转化为 1 22 z yx ，求出函数的截距，题目
17、所求 z 即为截距的 二倍，求出其最大值即可 【详解】根据不等式组画出可行域如下： 将目标函数 2zxy 化成 1 22 z yx ，即该直线在 y轴上的截距的二倍即为 z 的值，由上图可知，截距 的最大值为 2，故 z 的最大值为 4，答案即为 4. 【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想做该类题目需要注意的是：一、准确无 误的做出可行域；二、画函数所对应直线时，需注意与约束条件中直线的斜率进行比较，避免出错；三、 一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界点上取得 14.设曲线 x yaxe在点（0，1）处的切线方程为310xy ，则a _ 【答案】2 【
18、分析】求出函数导数，利用导数的几何意义，建立方程关系进行求解即可 【详解】解：函数的导数( ) x fxae， x yaxe在点(0,1)处的切线方程为310xy ， 此时切线的斜率3k ， 即 0 (0)3fae， 即2a ， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求出函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系是解决本题 的关键，属于基础题 15.已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的一个顶点为 0,4B，离心率 5 5 e ，直线l交椭圆于 M，N两 点，如果BMN的重心恰好为椭圆的左焦点 F，则直线l方程为_ 【答案】65280xy 【分析】利用椭圆的离心
19、率以及经过的点，求出a，b得到椭圆方程，设出Q，利用重心坐标结合平方差 法，转化求解直线的斜率，然后求解直线方程 【详解】解：由题意得4b ， 又 222 2 222 161 1 5 cab e aaa ，解得 2 20a 椭圆方程为 22 1 2016 xy 椭圆左焦点F的坐标为( 2,0)， 设线段MN的中点为 0 (Q x， 0) y， 由三角形重心的性质知2BFFQ，从而( 2 ， 0 4)2(2x， 0) y， 解得 0 3x ， 0 2y ， 所以点Q的坐标为( 3, 2) 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则 12 6xx ， 12 4yy ，且 2222
20、 1122 1,1 20162016 xyxy ， 以上两式相减得 12121212 ()()()() 0 2016 xxxxyyyy ， 1212 1212 4466 5545 MN yyxx k xxyy ， 故直线的方程为 6 2(3) 5 yx ，即65280xy 故答案为：65280xy 【点睛】弦中点问题的解决方法： （1）用“点差法”求解弦中点问题解题步骤 设点设出弦的两端点坐标； 代入代入圆锥曲线方程； 作差两式相减，再用平方差公式把上式展开； 整理转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解 （2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意
21、使用 条件；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交 16.已知三棱锥 S-ABC的各顶点都在同一个球面上， ABC所在截面圆的圆心在 AB 上， SO面 ABC， AC=1， BC= 3，若三棱锥的体积是 3 3 ，则该球体的球心到棱 AC的距离是_ 【答案】 21 4 【分析】利用条件，求出SO，利用勾股定理，求出R，设球心为 1 O，半径为R，过O作OD AC交AC 于点D，连接 1 O D，则 1 O D为球心到AC的距离，再用勾股定理计算可得. 【详解】解：ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO 平面,3,1ABC ACBC，三棱锥的体积是 3 3 ， 则三角形ABC为直角三角
22、形，且90ACB ，ABC的外接圆的半径为 2 2 11 131 22 AB 设球心为 1 O，半径为R，过O作OD AC交AC于点D，连接 1 O D， SO平面ABC，OD平面ABC，SOOD 又ODAC，OD平面SOD，SO 平面SOD，SOODO AD平面SOD 1 O D 平面SOD 1 ADO D 则 1 O D为球心到AC的距离 依题意可得 13 22 ODBC 113 3 1 323 SO ， 2SO， 设球体的半径R，则 2 1(2)RR， 5 4 R， 1 53 2 44 OOSOR 2 2 22 11 3321 244 O DOOOD 故答案为： 21 4 【点睛】本题考
23、查三棱锥体积的计算，锥体的外接球，点到线的距离，考查学生分析解决问题的能力，属 于中档题 三、解答题三、解答题: :共共 7070 分解答应写出文分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第字说明、证明过程或演算步骤第 1717- -2121 题为必考题每个试题为必考题每个试 题考生都必须作答，第题考生都必须作答，第 2222、2323 题为选考题题为选考题, ,考生根据要求作答。考生根据要求作答。 (一一)必考题必考题:共共 6060 分分 17.为迎接 2022 年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动现从参加 冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了 100名学生
24、， 将他们的比赛成绩 （满分为 100 分） 分为 6 组：40,50)， 50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，得到如图所示的频率分布直方图 （1）求a的值； （2）估计这 100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ； （3）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀”，比赛成绩低于 80 分为“非优秀”请 将下面的 2 2 列联表补充完整，并判断是否有 99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计 100 参考公式及数据： 2 2 () , ()()()
25、() n adbc Knabcd ab cd ac bd 2 0 ()P KK 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 K 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】 （1）0.025a （2）74 （3）见解析，没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关” 【分析】 （1）根据各小矩形面积之和为 1，即可解方程求出a的值； （2）由频率分布直方图可知，平均成绩为各小矩形的面积与各底边中点值的乘积之和，即可求出； （3）根据题意填写22列联表，计算 2 K 的观测值k，对照临界值即可得出结论 【详解】 （1）由题
26、可得0.0050.0100.0200.0300.010101a 解得0.025a （2）平均成绩为：45 0.05 55 0.1 65 0.275 0.3 85 0.25 95 0.1 74 （3）由（2）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有100 0.3535人，由此可得完整的22列 联表： 优秀 非优秀 合计 男生 10 40 50 女生 25 25 50 合计 35 65 100 2 K 的观测值 2 10010 2525 40900 9.89010.828 35 65 50 5091 k ， 没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关” 【点睛】本题主要考查频率分布直
27、方图和独立性检验的应用问题，意在考查学生的数据处理能力，属于基 础题 18.ABC的内角 A，B，C所对边分别为, ,a b c，已知ABC面积为 1 ( sinsinsin) 2 c aAbBcC. （1）求角 C； （2）若 D为 AB中点，且 c=2，求 CD的最大值. 【答案】 （1） 3 C （2） 3 【分析】 （1）根据 11 sinsinsinsin 22 ABC SabCc aAbBcC，由正弦定理化角为边， 得 222 abcab ，再根据余弦定理即可求出角 C； （2）由余弦定理可得， 222 abcab 又2c ，结合基本不等式可求得4ab 由中点公式的向量式 得 1
28、2 CDCACB，再利用数量积的运算，即可求出CD的最大值 【详解】 （1）依题意得， 11 sinsinsinsin 22 abCc aAbBcC， 由正弦定理得， 222 abcc abc，即 222 abcab ， 由余弦定理得， 222 1 cos 222 abcab C abab ， 又因为0,C，所以 3 C . （2） 222 abcab ，2c ， 22 424ababab，即4ab D为AB中点，所以 1 2 CDCACB， 2221 2 4 CDCACBCA CB 22 11 42 44 baabab 1 483 4 当且仅当2ab时，等号成立.所以CD的最大值为3 【点睛
29、】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形，以及利用中点公式的向量式结合基本不等式解决中线 的最值问题，意在考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题 19.已知三棱锥 P-ABC （如图 1） 的展开图如图 2， 其中四边形 ABCD为边长等于 2的正方形， ABE 和BCF 均为正三角形，在三棱锥 P-ABC 中. （1）证明：平面 PAC平面 ABC； （2）若 M，N分别是 AP，BC 的中点，请判断三棱锥 M-BCP 和三棱锥 N-APC体积的大小关系并加以证明. 【答案】 （1）见解析； （2） MBCPNAPC VV ，证明见解析 【分析】 （1）设AC的中点为O，连结BO，PO，
30、推导出POAC，POOB，从而PO 平面ABC，由此 能证明平面PAC 平面ABC （2）由M为AP中点，可得 1 2 MBCPA BCP VV ， N为BC中点，可得 1 2 NAPCB APC VV ，从而解得. 【详解】解： （1）设AC中点为O，连接BO，PO， 由题意，得 2PAPBPC ，1PO ，1AOBOCO 在PAC中，PAPC，O为AC的中点，POAC， 在POB中， 1PO ，1OB ， 2PB ， 222 POOBPB ，POOB， ACOBO，AC，OB 平面ABC， PO 平面ABC， 又PO平面PAC， 平面PAC 平面ABC. （2） MBCPNAPC VV ，
31、理由如下： M为AP中点， 1 2 MBCPA BCP VV ， NQ为BC中点， 1 2 NAPCB APC VV， 又 A BCPB APC VV ， MBCPNAPC VV 【点睛】本题考查线面、面面垂直的证明，锥体的体积计算，属于中档题. 20.已知抛物线 2 (:0)yax a 的焦点为F，若过F且倾斜角为 4 的直线交于M，N两点，满足 | 4MN . （1）求抛物线的方程； （2）若P为上动点，B，C在y轴上，圆 22 (1)1xy内切于PBC，求PBC面积的最小值. 【答案】 （1） 2 2yx（2）8 【分析】 （1） 求出抛物线的焦点， 设出直线MN的方程， 代入抛物线方程
32、， 运用韦达定理和抛物线的定义， 可得2a ， 进而得到抛物线方程； （2）设 00 ,P xy，0,Bb，0,Cc，不妨设bc，直线PB的方程为 0 0 yb ybx x ，由直线与圆相切的条件：dr，化简整理，结合韦达定理以及三角形的面积公式，运用 基本不等式即可求得最小值. 【详解】 （1）抛物线 2 (:0)yax a 的焦点为,0 4 a F ， 则过点F且斜率为 1的直线方程为 4 a yx， 联立抛物线方程 2 yax， 消去y得： 2 2 3 0 216 aa xx， 设 1122 ,M x yN xy，则 12 3 2 a xx， 由抛物线的定义可得 12 |24 2 a M
33、Nxxa，解得2a ， 所以抛物线的方程为 2 :2yx （2）设 00 ,P xy，0,Bb，0,Cc， 不妨设bc， 0 0 : PB yb lybx x 化简得： 000 0yb xx yx b， 圆心1,0到直线PB的距离为 1， 故 00 2 2 00 1 ybx b ybx ， 即 22 222 000000 2ybxybx b ybx b，不难发现 0 2x ， 上式又可化为 2 000 220xby bx， 同理有 2 000 220xcy cx， 所以, b c可以看做关于t的一元二次方程 2 000 220xty tx的两个实数根， 0 0 2 2 y bc x ， 22
34、000 2 0 2 0 0 42 () 2 2 xyx x bcbc x x ， 由条件： 2 00 2yx 2 2 00 2 0 0 42 () 2 2 xx bcbc x x 2 0 00 00 14 ()248 222 PBC x Sbc xx xx ， 当且仅当 0 4x 时取等号. PBC面积的最小值为 8. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛 物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：dr，以及基本不等式的运用，属于中档题. 21.已知 2 22 ( )ln(0) 2 aa f xaxxax a . （1）当1a 时，
35、求 ( )f x的单调区间； （2）若函数 f x在1x 处取得极大值，求实数 a的取值范围. 【答案】 （1）单调递减区间为 1,，单调递增区间为 0,1（2） 1 ,0, 2 【分析】 （1） f x的定义域为0,，把1a 代入函数解析式，求出导函数，利用导函数的零点对定义域分 段，可得原函数的单调区间； （2） 11a xaxa fx x ，对a分类讨论，分为0a ，1a ， 1 2 a ， 1 1 2 a ， 1 0 2 a，结合求解可得使 f x在1x 处取得极大值的a的取值范围. 【详解】解： （1） f x的定义域为0,， 当1a 时， lnf xxx， 1x fx x ， 令
36、0fx ，得1x 若0,1x， 0fx ；若1,x， 0fx f x的单调递减区间为 1,，单调递增区间为 0,1 （2） 2 2 11a xaxa a fxaa xa xx ， 当0a 时，10axa，令 0fx ，得01x； 令 0fx ，得1x .所以 f x在1x 处取得极大值. 当1a 时，10axa，由可知 f x在1x 处取得极大值 当 1 2 a 时， 2 1 0 4 x fx x ，则 f x无极值. 当 1 1 2 a 时，令 0fx，得01x或 1 a x a ； 令 0fx ，得1 1 a x a .所以 f x在1x 处取得极大值. 当 1 0 2 a时，令 0fx，
37、得0 1 a x a 或1x ； 令 0fx ，得1 1 a x a 所以 f x1x 处取得极小值. 综上，a的取值范围为 1 ,0, 2 . 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，体现了分类讨论的数学思想方 法，属于难题. (二二) )选选考题考题: :共共 1010 分请考生在第分请考生在第 22 22、2323 题中任选一题作答如果多做题中任选一题作答如果多做, ,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分 22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos ( 22sin x y 为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系. （1）
38、求曲线C的极坐标方程； （2）设,A B为曲线C上不同两点（均不与O重合） ，且满足 4 AOB ，求OAB的最大面积. 【答案】 （1）4sin； （2）2 2 2 . 【分析】 （1）由曲线C的参数方程消去参数，得到曲线C的普通方程，再利用普通方程与极坐标方程的转化公式 即可得到答案； （2）设出,A B两点的极坐标，代入极坐标方程中，得到OA与OB，由三角形面积公式 1 sin 2 AOB SOA OBAOB ，对其进行化简，结合三角函数的值域，即可得到三角形面积的最大值 【详解】 （1）设曲线C上任意点的极坐标为( , ) ，由题意，曲线C的普通方程为 22 (2)4xy，即 22 4
39、0xyy，则 2 4 sin，故曲线C的极坐标方程为4sin. （2）设 1 (, )A ，则 2 (,) 4 B ，故 3 (0,) 4 ， 因为点,A B在曲线C上，则 1 4sin， 2 4sin() 4 ，故 1 sin 2 AOB SOA OBAOB 2 4 2sinsin()4(sinsincos )2sin22cos22 4 2 2sin(2)2 4 ， 3 (0,) 4 , 故 3 8 时，OAB取到最大面积为2 2 2 . 【点睛】本题考查参数方程、普通方程以及极坐标方程的转化，其中普通方程与极坐标方程转化的公式为： 222 cos sin x y xy ，考查两线段积的取值
40、范围的求法，涉及三角函数的辅助角公式以及三角函数的值域，考 查学生转化与划归的思想以及运算求解的能力，属于中档题 23.设函数( ) | 2|2|f xxx （1）解不等式( )2f x ； （2）当xR，01y时，证明： 11 |2|2| 1 xx yy . 【答案】 （1）解集为|1x x ； （2）见解析. 【分析】 (1)零点分区间，去掉绝对值，写成分段函数的形式，分段解不等式即可； (2) 由（1）知， 224xx, 11111 12 111 yy yy yyyyyy ，之后利用均值不等式可证明. 【详解】 （1）由已知可得： 4,2 2 , 22 4,2 x f xxx x ， 当2x时，42成立； 当22x 时，22x，即1x ，则12x 所以 2f x 的解集为 |1x x . （2）由（1）知，224xx， 由于01y ， 则 11111 12224 111 yy yy yyyyyy ，当且仅当 1 = 1 yy yy ，即 1 2 y 时取等号， 则有 11 22 1 xx yy 【点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的 已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题若不等式恒等 变形之后与二次函数有关，可用配方法
