1、 实际问题与二次函数实际问题与二次函数 二次函数二次函数 商品利润最大问题 九年级数学上导入新课导入新课情境引入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？利用二次函数解决商品利润最大问题一讲授新课讲授新课 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.探究交流180006000数量关系（1）销售额=售价销售量；（2）利润=销售额-总成本=单件利润销售量；（3）单件利润=售价-进价.例1 某商品现在的售价为每件
2、60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？u涨价销售每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售20300(20+x)(30010 x)(20+x)(30010 x)建立函数关系式：y=(20+x)(30010 x),即：y=10 x2+100 x+6000.6000典例精析自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300 10 x 0，且x 0，因此自变量的
3、取值范围是0 x 30.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=10 x2+100 x+6000，当 时，y=1052+1005+6000=6250.10052(10)x 即涨价5元时，最大利润是6250元.u降价销售每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售20300(20 x)(300+20 x)(20 x)(300+20 x)建立函数关系式：y=(20 x)(300+20 x)，即：y=20 x2+100 x+6000.6000综上可知，定价57.5元时，最大利润是6125元.自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下
4、降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20 x 0，且x 0，因此自变量的取值范围是0 x 20.降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？当 时,10052(20)2x 即降价2.5元时，最大利润是6125元.即：y=20 x2+100 x+6000，25520()10060006125.22y 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗?变式 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=2x+180为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元
5、/件且不得高于90元/件(1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函 数关系式；解：(1)由题意可得w=(x50)(2x+180)=2x2+280 x9000.当x=75时，有最大利润，最大利润为750元(2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？(2)w=2x2+280 x9000=2(x70)2+800，销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件，75x90.根据题意，确定自变量的取值范围注意：需根据函数的增减性确定自变量的函数最值，而非在顶点处取最值知识要点求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售
6、价-总成本”或“总利润=单件利润销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.练一练 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每月利润（元）正常销售涨价销售1018010+x18010 x(
7、10+x)(18010 x)1800建立函数关系式：y=(10+x)(18010 x),即：y=10 x2+80 x+1800.营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故18010 x 0，因此自变量的取值范围是x 18.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=10 x2+80 x+1800 =10(x4)2+1960.当x=4时，即涨价4元时，y取最大值1960元.答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.自变量x的取值范围如何确定？例2 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每
8、月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.（1）当售价在4050元时，每月销售量都为60件，则 此时每月的总利润最多是多少元？答：此时每月的总利润最多是1200元.解：由题意得：当40 x50时，Q=60(x30)=60 x 1800.y=60 0，Q随x的增大而增大，当x最大=50时，Q最大=1200.（2）当售价在5070元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：当50 x 70时，设y与x函数关系式为y=kx+b,线段过(50，60)和(70，20).50k+b=60，70k+b=20.y=2x+160（50
9、 x70）.解得：k=2，b=160.Q=(x 30)y =(x 30)(2x+160)=2x2+220 x 4800 =2(x 55)2+1250(50 x 70)a=20，图象开口向下，当x=55时，Q最大=1250当售价在5070元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.解：当40 x 50时，Q最大=12001218 当50 x 70时，Q最大=12501218 售价x应在5070元之间.令：2(x 55)2+1250=1218 解得：x1=51，x2=59 当x1=51时，y1=2x+160=251+160=58(件)（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该
10、商品售价与当月的销售量各是多少？若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.当x2=59时，y2=2x+160=259+160=42(件)变式1 若该商品售价在4070元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：Q与x的函数关系式为：60 x 1800 （40 x 50）2(x55)2+1250（50 x 70）Q=由例2可知：若40 x 50，则当x=50时，Q最大=1200若50 x 70，则当x=55时，Q最大=1250
11、12001250售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.变式2 若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；当40 x 50时，Q最大=12001218，此情况不存在.解：Q与x的函数关系式为：60 x 1800 （40 x 50）2(x 55)2+1250（50 x 70）Q=当50 x 70时，Q最大=12501218，令Q=1218，得 2(x 55)2+1250=1218 解得：x1=51，x2=59 由Q=2(x 55)2+1250的 图象和性质可知:当51 x 59时，Q1218.若该商品所获利润不低于1218元，则售价x的取值范围为51 x 59.xQ055121859511250变式3 在变式2的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？解：由题意得：51 x 5930(2x+160)1620 解得：51 x 53课堂小结课堂小结最大利润问题建立函数关 系 式总利润=单件利润销售量=总售价-总成本.确定自变量取 值 范 围涨价：要保证销售量0；降价：要保证单件利润0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
