1、22.1.2 二次函数y=ax的图象和性质九年级上 人教版学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.用描点法画二次函数y=ax的图象，知道抛物线y=ax是轴对称图形，知道抛物线y=ax的开口方向与a的符号有关.2.理解、掌握二次函数y=ax的性质：能根据图象说出顶点式抛物线y=ax的开口方向、对称轴、顶点（抛物线的最高点还是最低点），并判断顶点与a的关系.3.会利用二次函数y=ax的性质解决数学问题.重点难点 学习目标新课引入问题1：下列函数中,哪些是二次函数？2524yx=-21yxx=-问题2：怎么判断一个函数是不是二次函数？1.自变量的最高次是2次；2.二次项系数a0；3.函数解析式必
2、须为整式.问题3：类比一次函数的学习，我们在学习了二次函数的定义之后还要研究什么？二次函数的图象和性质 问题4：一次函数的图象是什么？一条直线问题5：画函数的基本方法与步骤是什么？列表描点连线问题6：研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？函数的图象我们可以按照画一次函数图象的方法来画二次函数y=ax的图象吗？例1 画出二次函数y=x2的图象.1.列表：在y=x 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：x-3-2-10123y=x29410194新知学习观察表格中的数据，你发现了什么？横坐标互为相反数时，纵坐标相同横坐标互为相反数的点，是关于y轴互相对称的2.描点：根据表中x，y的数值
3、在坐标平面中描点(x，y)3.连线：如图，用平滑的曲线顺次连接各点，就得到y=x2 的图象观察函数图像你能总结出函数y=x的那些性质呢？xyO-4-3-2-112348642-291关于y轴对称.y=x2开口向上xyO-4-3-2-112348642-291在对称轴的左侧，y随x的增大而减小(x0)1.是一条曲线，叫做抛物线 y=x2.2.图象位于 x轴上方（除原点外）,y0，但是因为过原点，所以y的取值范围是y03.在抛物线上任取一点（m,m），我们发现：图象过原点(0,0)，有最低点（抛物线顶点），函数值是最小值例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象221,22yxyx=分别列表：x.
4、-4-3-2-101234.84.520.500.524.58.x.-2-1.5-1-0.500.511.52.y=2x.84.520.500.524.58.1 2 3 4 5x-154321-1yO-2-3-4-5-2212yx=67822yx=2yx=函数 有何相同点和不同点？相同点：1.开口向上 2.都以y轴为对称轴对称 3.都过（0,0）不同点：开口的大小不同2221,22yxyxyx=总结：当a0时，a的值越大，开口越小；a的值越小，开口越大.请总结出a0时，函数y=ax2图象有何特点？并与同伴交流.思考思考y=ax2文字语言文字语言图形图形/符号语言符号语言x取值范围y取值范围图象
5、开口对称轴顶点最值增减性全体实数非负数y0抛物线向上y轴原点(0,0)最小值（最低点）x=0时，y最小值=0在对称轴左侧，抛物线从左到右下降；x0时，y随x增大而增大 1 yOxyOx例3 函数 y=3x2 的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 .向上y轴(0，0)减小增大y判断点A(2,12)在二次函数图象上吗？解：当x=2时，y=3x2=12，所以点A(2,12)在二次函数图象上.对于(a,b)和(c,d)这两点，若ac0，则b和d的大小关系是什么？若0ac，则b和d的大小关系是什么？解：若ac0，则两点在x轴左侧，抛物线向
6、下，所以bd若0ac，抛物线向上，所以bd请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C 的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；B(2,-12)C(-2,12)D(-2,-12)点B、C、D在二次函数y=3x2的图象上吗？在二次函数y=-3x2的图象上吗？点B、点D在y=-3x2的图象上，点C在y=3x2的图象上.当-3x2时，二次函数y=3x2的范围是多少？分析：画草图研究，或者利用对称性研究，可得 0y0,所以图象开口朝上，可以画出草图：因为函数的图象过(2,c)也即过它关于y轴的对称点(2,c)，由图可得acb.213yx=1343213yx=13yOx2c-2(2,c)(-2
7、,c)-1-3ab例4 函数 的图象上有三点(3,a),(1,b),(2,c)，比较a，b，c的大小关系.解法3 数形结合法：因为 ，所以a=0,所以图象开口朝上，由三点的横坐标可以知道三点与对称轴的距离，明确三点的大致位置，从而画出草图：由图可得a,b,c的位置：所以acb213yx=213yx=13yOx2-1-3abc归纳归纳代数法代数法对称性对称性数形结合法数形结合法特点特点直接计算，直接计算，比较数字大比较数字大小小画草图，画草图，利用对称性利用对称性将点都放在函数图象将点都放在函数图象的一侧，利用增减性的一侧，利用增减性来判断来判断画草图，由点的横坐标明画草图，由点的横坐标明确点与
8、对称轴的距离，再确点与对称轴的距离，再结合开口方向，画出点的结合开口方向，画出点的大致位置，从而判断大小大致位置，从而判断大小二次函数比较纵坐标大小方法二次函数比较纵坐标大小方法例5 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象2221,22yxyxyx=-=-=-=-=-=-解：列表如下：x 4 3 2 101234 82 0.50 8 4.5 2 0.5 4.5212yxx 21.510.500.511.52 4.5 82 0.5084.52-0.522yx x-3-2-10123y=-x2-9-4-10-1-9-422246448观察抛物线 ，考虑这些抛物线有什么相同点和不同点.相同点：1、开口
9、向下；2、对称轴是y轴；4、顶点坐标是（0，0）；是 抛物线上的最高点；5、当x0时，y随x的增大 而减小.222212yyyxxx 2221,22yxyxyx=-=-=-不同点：开口大小不一样 总结(结合a0的开口大小规律)：当|a|越大时，开口越小；|a|越小时，开口越大 当a0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？1、开口向下；2、对称轴是y轴；3、a的值越小，开口越小；a的值越大，开口越大；4、顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点；5、当x0时，y随x的增大而减小.思考思考归纳归纳 二次函数y=ax2(a0)的函数图象及其性质yax2a0a0图象开口对称性顶点最值增减性开口向上，
10、在x轴上方开口向下，在x轴下方|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大关于y轴（直线x0）对称顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧(x0)y随x增大而增大在对称轴左侧(x0)y随x增大而减小yOxyOx例 函数y=-5x2的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 .已知A(-1,a)，B(3,b)，则a b(填“”、“0m+m=2解：依题意得由得：m-1m=1，所以二次函数解析式为y=2x是A B.C.D.D课堂小结 二次函数y=ax2(a0)的函数图象及其性质yax2a0a0图象对称性顶点最值增减性开口向上，在x轴上方开口向下，在x轴下方|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大关于y轴（直线x0）对称顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧(x0)y随x增大而增大在对称轴左侧(x0)y随x增大而减小yOxyOx开口对应巩固练习见基础题与中考新考法
