1、1第三节第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用格林公式及其应用 第十一章第十一章 2LD区域区域 D 分类分类单连通区域单连通区域(无无“洞洞”区区域域)多连通区域多连通区域(有有“洞洞”区区域域)域域 D 边界边界L 的的正向正向:域的内部靠左域的内部靠左定理定理1.设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有则有,),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd(格林公式格林公式)函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,LDyxyQxPyxQ
2、Pdddd或或一、一、格林公式格林公式3证明证明:1)若若D 既是既是 X-型区域型区域,又是又是 Y-型区域型区域,且且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21则则yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcydOdcyxECBAbaD4即即yxxQDddLyyxQd),(同理可证同理可证yxyPDddLxyxPd),(、两式相加得两式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd5L2)若若D不满足以上条件不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割则可通
3、过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域为有限个上述形式的区域,如图如图)(的正向边界表示kkDD证毕证毕yxO6推论推论:正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面积的面积LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如,椭圆椭圆)20(sincos:byaxL所围面积所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab7例例1.设设 L 是一条分段光滑的闭曲线是一条分段光滑的闭曲线,证明证明0dd22yxxyxL证证:令令,22xQyxP则则y
4、PxQ利用格林公式利用格林公式,得得yxxyxLdd22022xxDyxdd008例例2.计算计算,dde2Dyyx其中其中D 是以是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域为顶点的三角形闭域.解解:令令,则则2e,0yxQPyPxQ利用格林公式利用格林公式,有有Dyyxdde2Dyyxde2yxOAyde2yyyde102)e1(2112eyxy yx)1,1(A)1,0(BDO9例例3.计算计算,dd22Lyxxyyx其中其中L为一无重点且不过原点为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线的分段光滑正向闭曲线.解解:令令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设设
5、 L 所围区域为所围区域为D,)0,0(时当D由格林公式知由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxLO10dsincos2022222rrr2,)0,0(时当D在在D 内作圆周内作圆周,:222ryxl取逆时取逆时针方向针方向,1D,对区域对区域1D应用格应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dl记记 L 和和 l 所围的区域为所围的区域为林公式林公式,得得yxO11二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2.设设D 是单
6、连通域是单连通域,),(),(yxQyxP在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1)沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L,有有.0ddLyQxP(2)对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L,曲线积分曲线积分(3)yQxPdd),(yxuyQxPyxudd),(d(4)在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关与路径无关,只与起止点有关只与起止点有关.函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 12(1)沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L,有有.0ddLyQxP(2)对
7、对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L,曲线积分曲线积分LyQxPdd与路径无关与路径无关,只与起止点有关只与起止点有关.说明说明:积分与路径无关时积分与路径无关时,曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明(1)(2)设设21,LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP02L2ddLyQxP1ddLyQxP为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线,则则(根据条件根据条件(1)BAyQxPddAByQxPddAB1L13(2)对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L,曲线积分曲线积分(3)yQxP
8、dd),(yxuyQxPyxudd),(dLyQxPdd与路径无关与路径无关,只与起止点有关只与起止点有关.在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 证明证明(2)(3)在在D内取定点内取定点),(00yxA因曲线积分因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证同理可证yu),(yxQ因此有因此有yQxPuddd和任一点和任一点B(x,y),与路径无关与路径无关,),(yxxC),(yxB)
9、,(00yxA有函数有函数 14(4)在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyP(3)yQxPdd),(yxuyQxPyxudd),(d在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 xyuyxu22所以证明证明(3)(4)设存在函数设存在函数 u(x,y)使得使得yQxPuddd则则),(),(yxQyuyxPxuP,Q 在在 D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,从而在从而在D内每一点都有内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,15证明证明(4)(1)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,DD(如图如图),上因此在DxQyP利用利用格林公式格林公式,得
10、得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为所围区域为证毕证毕(1)沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L,有有.0ddLyQxP(4)在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyP16说明说明:根据定理根据定理2,若在某区域若在某区域D内内,xQyP则则2)求曲线积分时求曲线积分时,可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求可用积分法求d u=P dx+Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数:Dyx),(00及动点及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或或yyyyxQyxu0d
11、),(),(0则原函数为则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线,可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点1)计算曲线积分时计算曲线积分时,可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;yx0y0 xOxy174)若已知若已知 d u=P dx+Q dy,则对则对D内任一分段光滑曲内任一分段光滑曲BAyyxQxyxPd),(d),(ABu)()(AuBu线线 AB,有有yyxQxyxPABd),(d),(注注:此式称为此式称为曲线积分的基本公式曲线积分的基本公式(P213定理定理4).babaxFxxf)(dd)(DAB 它类似于微积分基本公式它
12、类似于微积分基本公式:BAud)()(xfxF其中)()()(aFbFxFab18yA xL例例4.计算计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中其中L 为上半为上半24xxy从从 O(0,0)到到 A(4,0).解解:为了使用格林公式为了使用格林公式,添加辅助线段添加辅助线段,AOD它与它与L 所围所围原式原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周圆周区域为区域为D,则则O648319例例5.验证验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分是某个函数的全微分,并求并求出这个函数出这个函数.证证:设设,22yxQyxP则则xQyxyP2
13、由定理由定理2 可知可知,存在函数存在函数 u(x,y)使使yyxxyxuddd22),()0,0(22dd),(yxyyxxyxyxu)0,(x 0yyxyd02yyxyd022221yx)0,0(),(yx20例例6.验证验证22ddyxxyyx在右半平面在右半平面(x 0)内存在原函内存在原函数数,并求出它并求出它.证证:令令2222,yxxQyxyP则则)0()(22222xyQyxxyxP由由定理定理 2 可知存在原函数可知存在原函数),()0,1(22dd),(yxyxxyyxyxu 0)0(arctanxxyxyyyxyx022d)0,(x)0,1(),(yxO21xy)0,(x
14、)0,1(),(yxO),()0,1(22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或或),1(y)0(arctanxxy22例例7.设质点在力场设质点在力场作用下沿曲线作用下沿曲线 L:xycos2由由)2,0(A移动到移动到,)0,2(B求力场所作的功求力场所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令令,22rxkQrykP则有则有)0()(22422yxryxkyPxQ可见可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.)(22yxr其中),(2xyrkFsFWLdLB
15、AyxO23:AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考:积分路径是否可以取积分路径是否可以取?OBAO取圆弧取圆弧为什么？为什么？注意：注意：本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关无关!LBAyxO24判别判别:P,Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,xQyPDyx),(为全微分方程为全微分方程 则则求解步骤求解步骤:方法方法1 凑微分法凑微分法;方法方法2 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件.1.求原函数求原函数 u(x,y)2.由由 d
16、 u=0 知通解为知通解为 u(x,y)=C.*三、全微分方程三、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称则称0d),(d),(yyxQxyxP为为全微分方程全微分方程.25),(yxyxO例例8.求解求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解:因为因为yP236yyx,xQ故这是全微分方程故这是全微分方程.,0,000yx取则有则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解为因此方程的通解为Cyyxyxx332253123)0,(x法法1260d)33(d)35(2223
17、24yyyxyxxyyxx求解法法2 此全微分方程的通解为此全微分方程的通解为 yu,)(2yy Cyxu),(xu,则则有有)(d)35(),(324yxyyxxyxu待定，)()(233225yyyxyxx两边对两边对 y 求导得求导得yu由由得得与与比较得比较得331)(yy 取因此方程的通解为因此方程的通解为Cyyxyxx33225312332435yyxx22233yyxyx)(3322yyxyx27例例9.求解求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 这是一个全微分方程这是一个全微分方程.用凑微分法求通解用凑微分法求通解.将方程改写为将方程改写为0ddd2xxyyxxx即即,
18、0d21d2xyx故原方程的通解为故原方程的通解为021d2xyx或或Cxyx221,xQ28思考思考:如何解方程如何解方程?0dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程,12x就化成例就化成例9 的方程的方程.,0),(yx使使0d),(),(d),(),(yyxQyxxyxPyx为全微分方程为全微分方程,),(yx则称在简单情况下在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到可凭观察和经验根据微分倒推式得到为为原方程的积分因子原方程的积分因子.但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘注注:若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.29内容小结内容小结1.格林公式
19、格林公式LyQxPdd2.等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.yPxQ在在 D 内有内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有0ddLyQxP在在 D 内有内有设设 P,Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则有则有为全微分方程为全微分方程0ddyQxP30思考与练习思考与练习1.设,4:,1:222412yxlyxL且都取正向,问下列计算是否正确?Lyxxyyx22d4d)1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Dd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2
20、412提示提示:时022 yxyPxQ)1(yPxQ)2(LO2y1x2lD312.设设,)56,4(),(42234yyxxyxyxugradgrad).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuOyx),(yx)0,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0,0(yxC作业作业P214 2(1);3;4(3);5(1),(4)；6(2),(5);*8(2),(4),(7);932CCCDOyxaaC 备用题备用题 1.设设 C 为沿为沿yxaxyxaxxay
21、Cd)ln(2d22222222ayx从点从点),0(a依逆时针依逆时针),0(a的半圆的半圆,计算计算解解:添加辅助线如图添加辅助线如图,利用格林公式利用格林公式.原式原式=321aaayayd)ln2(D222xaya222xayyxddC到点到点33D2.质点质点M 沿着以沿着以AB为直径的半圆为直径的半圆,从从 A(1,2)运动到运动到Dyxdd2点点B(3,4),到原点的距离到原点的距离,解解:由图知由图知 故所求功为故所求功为AByxxyddABBAABxxxd)1(3122 锐角锐角,其方向垂直于其方向垂直于OM,且与且与y 轴正向夹角为轴正向夹角为AB)dd(yxxy)1(21
22、334xyAB的方程F求变力求变力 F 对质点对质点M 所作的功所作的功.(1990 考研考研),),(xyFF 的大小等于点的大小等于点 M 在此过程中受力在此过程中受力 F 作用作用,sFWdO),(yxMBAyx34,0)1,0(,1FCF3.已知曲线积分已知曲线积分与路径无关与路径无关,其中其中求由求由确定的隐函数确定的隐函数解解:因积分与路径无关因积分与路径无关,故有故有xFxFxsincosxFxyFysinsin即即因此有因此有dcosdsin),(yxxxyyxFL0),(yxF.)(xfy xyFFyxtanxyytan10 xyxycos1xsecsin),(cos),(xyyxFyxyxFxy
