1、上页上页下页下页返回返回第 1 页第四节第四节 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点一、一、曲线的凹凸曲线的凹凸二、二、曲线的拐点曲线的拐点目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 2 页一、曲线的凹凸一、曲线的凹凸问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 曲线弧位于任一点切曲线弧位于任一点切线的下方线的下方xyo)(xfy 1x2x曲线弧位于任一点的曲线弧位于任一点的切线上方切线上方ABC目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下
2、页下页返回返回第 3 页定义定义;,区间内是凹的那么此曲线弧叫做在该线的上方弧位于其任一点切如果在某区间内的曲线目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导;,区间内是凸的那么此曲线弧叫做在该线的下方弧位于其任一点切如果在某区间内的曲线上页上页下页下页返回返回第 4 页曲线凹凸的判定：曲线凹凸的判定：xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在
3、若在二阶导数二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 5 页例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时，时，当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回
4、第 6 页二、曲线的拐点二、曲线的拐点连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.1.1.定义定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.2.拐点的求法拐点的求法目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导0)()(,000 xfxfx为是曲线拐点的必要条件点（上页上页下页下页返回返回第 7 页目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导判定曲线的凹凸与拐点的一般方法为：)(xfy(1)确定函数的定义域(2)求其二阶导数；(3)求出满足二阶导数为零的
5、所有点；(4)以（2）中找出的点为界，把函数的定义域分成若干个部分区间，然后考察二阶导数在各部分区间的符号，从而判定曲线的拐点。)(xf0)(xf上页上页下页下页返回返回第 8 页例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32(目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 9
6、 页).,32,32,0,0,(凹凸区间为凹凸区间为目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 10 页方法方法2:2:.)()(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2,0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy ,0 y令令.47,4321 xx得得2)43(f,0 2)47(f,0 目录目录后退后退主主页页退退出出本节
7、知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 11 页内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2,0).0,47(),0,43(.)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意:目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 12 页例例4 4.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx ,0,)0,(y内内但在但在;0,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在,
8、0,),0(y内内在在.),0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0,0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 13 页小结：小结：曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1,2.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 14 页目录目录后退后退主主页页退退出出本节的学习目的与要求本节的学习目的与要求 本节知识引入本节目的与要求本节
9、重点与难点本节复习指导1 理解曲线凹凸性判定定理的结论理解曲线凹凸性判定定理的结论2 理解拐点的定义及判定方法理解拐点的定义及判定方法3 掌握利用定理正确求出简单的多项式掌握利用定理正确求出简单的多项式函数的凹凸区间和拐点。函数的凹凸区间和拐点。上页上页下页下页返回返回第 15 页目录目录后退后退主主页页退退出出本节的重点与难点本节的重点与难点本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导 重点1 判定曲线在某区间上的凹凸性；判定曲线在某区间上的凹凸性；2 求曲线凹凸区间和拐点的方法和步求曲线凹凸区间和拐点的方法和步骤。骤。难点1.正确理解曲线的凹凸性判定定理；正确理解曲线的凹凸性判定定理；2曲线凹凸区间和拐点的求解曲线凹凸区间和拐点的求解。
