1、高等数学对坐标的曲面积分高等数学对坐标的曲面积分观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧曲面分上侧和下侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分内侧和外侧1.有向曲面有向曲面 通常光滑曲面都有两侧通常光滑曲面都有两侧.如流体从曲面的这一侧如流体从曲面的这一侧流向另一侧的流量问题等流向另一侧的流量问题等.(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、预备知识一、预备知识n有两侧的曲面有两侧的曲面.规定规定(1)双侧曲面双侧曲面2.曲面的分类曲面的分类法向量的方向来区分曲面的两侧法向量的方向来区分曲面的两侧.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分(2)单侧曲面单侧曲面莫比乌斯莫比乌斯(M
2、obius)带带.B、C 粘在一起形成的环粘在一起形成的环不通过边界可以不通过边界可以这在这在双侧曲面上是不能实现的双侧曲面上是不能实现的.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为它是由一张长方形纸条它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下扭转一下,将将A、D粘在一起，粘在一起，行带行带.小毛虫在莫比乌斯带上小毛虫在莫比乌斯带上,爬到任何一点去爬到任何一点去.有向曲面有向曲面.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分Mobius(1790-1868)19世纪德国数学家世纪德国数学家3.有向有向曲面在坐标面上的投影曲面在坐标面上的投影.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 设设是有向曲面是有向
3、曲面.,S 曲曲面面为为面上的投影面上的投影在在xySxOyS)(xyS)(时时当当0cos xy)(时时当当0cos xy)(时时当当0cos 0 恰好等于恰好等于 与坐标面与坐标面xOy的二面角的二面角.S 假定假定 cosS 的余弦的余弦上各点处的法向量与上各点处的法向量与 z轴的夹角轴的夹角有相同的符号有相同的符号.在有向曲面在有向曲面取一小块取一小块上上 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 类似地类似地,可定义可定义 在在yOz面及面及zOx面的投影面的投影:S,)(yzS,希自己写出希自己写出,)(xyS S 在在xOy面上的投影面上的投影在在xOy面上的投影区域的面积附以一定的面上
4、的投影区域的面积附以一定的S 实际上就是实际上就是正负号正负号.zxS)(、与与坐坐标标面面恰恰好好等等于于yOzS zOx的二面角的二面角.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.v cos|vA 流量流量实例实例(为平面为平面A的的单位单位法向量法向量)n(斜柱体体积斜柱体体积)nvA (1)流速场为流速场为常向量常向量,v有向有向平面平面区域区域 A,求单位时间流过求单位时间流过A的流体的质量的流体的质量(假定密度为假定密度为1).对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分二、概念的引入二、概念的引入A An(2)设稳定流动的不可压缩流体设稳定流动的不可压缩流体kzy
5、xRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(给出给出,函数函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP上上连连续续，都都在在 流体的密度与速度流体的密度与速度均不随时间而变化均不随时间而变化(假定密度为假定密度为1)的速度场由的速度场由v当当 不是常量不是常量,有向有向 曲面曲面求在单位求在单位时间内流向时间内流向 指定侧的指定侧的流体的质量流体的质量.是速度场中的一片有向曲面是速度场中的一片有向曲面,对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 xyzoiS ivin 分割分割则该点流速为则该点流速为 ，iv法向量为法向量为 .in),(iii iSn 小块小块分成分成把曲面把曲面同时也代
6、表同时也代表iS(),小小块块曲曲面面的的面面积积第第i上任取一点上任取一点在在iS),(iii ),(iiiivv kRjQiPiiiiiiiii),(),(),(对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分常向量常向量,有向平面有向平面 i求和求和 niiiiSnv1取近似取近似该点处曲面该点处曲面的的单位单位法向量法向量似值为似值为流向指定侧的流量的近流向指定侧的流量的近通过通过iS iiiSnv ).,2,1(ni 高高底底iS cos|vA nvA 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分通过通过流向指定侧的流量流向指定侧的流量kjiniiii coscoscos ),cos(|iiinvviiiiii
7、iiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 )(,()(,()(,(1xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP 取极限取极限0.的的精精确确值值取取极极限限得得到到流流量量 yziiiSS)(cos zxiiiSS)(cos xyiiiSS)(cos 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,为为光光滑滑的的有有向向曲曲面面设设,上上有有界界函函数数在在 块小块小同时又表示第同时又表示第块小曲面块小曲面分成分成把把iSSnii (),曲曲面面的的面面积积,)(xyiiSxOyS 面面上上的的投投影影为为在在,),(上任意取定的一点上任意取定的一点是是iiiiS 如如
8、果果各各小小块块时时，曲曲面面的的直直径径的的最最大大值值0 1.定义定义三、概念与性质三、概念与性质定义定义对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 nixyiiiiSR10)(,(lim 上上在在有有向向曲曲面面函函数数),(zyxR的的曲曲面面对对坐坐标标yx,积分积分或称或称 yxzyxRdd),(被积函数被积函数积分曲面积分曲面存在存在,则称此极限为则称此极限为第二类曲面积分第二类曲面积分.nixyiiiiSR10)(,(lim 记作记作,dd),(yxzyxR即即如曲面为封闭曲面如曲面为封闭曲面:yxzyxRdd),(对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分类似可定义类似可定义 zyzyxPdd)
9、,(xzzyxQdd),(niyziiiiSP10)(,(lim nizxiiiiSQ10)(,(lim 2.存在条件存在条件对坐标的曲面积分存在对坐标的曲面积分存在.),(),(),(zyxRzyxQzyxP当当在有向光滑在有向光滑上上曲面曲面 连续连续,对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分3.组合形式组合形式yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),(4.物理意义物理意义yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),(如如:上述流向上述流向指定侧的流量指定侧的流量为为:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分5.性质性质 21dd yxR 1dd yxR 2dd
10、 yxRyxRkRkdd)(2211 yxRyxRdddd21),(21为为常常数数kk yxzyxRdd),(yxzyxRdd),(1)(2)(3)1k2k 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 当曲面当曲面 yxRdd(4)是母线平行于是母线平行于z轴的柱面时轴的柱面时,0表示表示相反的一侧相反的一侧,的曲面积分的曲面积分性质对坐标性质对坐标zxyz.也有类似的结果也有类似的结果 Oyxz对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分),(yxzz 所所给给出出方方程程),(yxzz ,xyD上上在在xyDyxzz),(上侧上侧,四、四、对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面设积分曲面是
11、由是由的曲面的曲面在在xOy面面上的投影区域为上的投影区域为函数函数具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,被积函数被积函数R(x,y,z)在在上连续上连续.xyDxys)(sdn yxzyxRdd),(,取取上上侧侧 nixyiiiiSR10)(,(lim yxzyxRdd),(取上侧取上侧 nixyiiiiSR10)(,(lim ,0cos ),(iiiz 又又 nixyiiiiizR10)(,(,(lim yxyxRdd,即即xyD),(yxz 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分xyxyiS)()(,取取下下侧侧若若 yxzyxRdd),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx zyz
12、yxPdd),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy xzzyxQdd),(对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的必须注意曲面所取的,0cos xyxyis)()(xyDyxyxzyxRdd),(,yzDzyzyzyxPdd,),(zxDxzzxzyxQdd),(,注注 侧侧.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 计算计算对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分时时:(1)认定对哪两个坐标的积分认定对哪两个坐标的积分,将曲面将曲面表为表为这两个变量的函数这两个变量的函数,并确定并确定的投影域的投影域.(2)将将 的方程代入被积函数的方程代入被积函数,化为投影域上化为投影域上的二重积分
13、的二重积分.(3)根据根据的侧的侧(法向量的方向法向量的方向)确定二重积分确定二重积分前的正负号前的正负号.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分xyzO解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz 2 1 投影域投影域)0,0(1:22 yxyxDxy对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 例例 计算计算 yxxyzdd其中其中是球面是球面1222 zyx外侧在外侧在0,0 yx的部分的部分.2dddd yxxyzyxxyz 1dd yxxyz xyDyxyxxydd122 xyDyxyxxydd)1(22 xyDyxyxxydd1222 xyD dd1cossin2
14、22极坐标极坐标 d1sincosd2210320 .152)0,0(1:22 yxyxDxy对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 xyDyxyxxydd122 xyDyxyxxydd)1(22 xyzO)0,0,(a)0,0(a),0,0(aO 例例,dddddd222yxzxzyzyx 计算计算其中其中是是所围成的正方体的表面的所围成的正方体的表面的24563 先计算先计算zyxdd2 由于平面由于平面都是母线平行于都是母线平行于x轴的柱面轴的柱面,则在其上对坐标则在其上对坐标y,z的积分为的积分为0.解解ayyazz ,0,0)0(,aazayax三个坐标面与平面三个坐标面与平面外侧外侧.对
15、坐标的曲面积分对坐标的曲面积分1x=a面在面在yOz面上的投影为正面上的投影为正,而而x=0面在面在yOz面上的投影为负面上的投影为负.投影域均为投影域均为:0ya,0za,故故zyxdd2 zyyzDdd02 4a yzDzyadd2由由 x,y,z 的对等性知的对等性知,所求曲面积分为所求曲面积分为 3a4.yzDzyadd2 后两个积分值也等于后两个积分值也等于a4.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分xyzO)0,0,(a)0,0(a),0,0(aO245631),(yxzz ,xyD上上在在xyDyxzz),(设有向曲面设有向曲面是由方程是由方程函数函数具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导
16、数,给出给出,五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分在在xOy面上投影区域为面上投影区域为yxzyxRdd),(xyDyxyxzyxRdd),(,对坐标的曲面积分为对坐标的曲面积分为被积函数被积函数 R(x,y,z)在在上连续上连续.Oyxz),(yxzz xyD,1cos22yxxzzz ,1cos22yxyzzz 2211cosyxzz 曲面曲面的法向量的方向余弦为的法向量的方向余弦为yxzzSyxdd1d22 对面积的曲面积分为对面积的曲面积分为SzyxRdcos),(xyDyxyxzyxRdd),(,SzyxRyxzyxRdcos),(dd
17、),(所以所以(注意取曲面的两侧均成立注意取曲面的两侧均成立)对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分yxzyxRdd),(xyDyxyxzyxRdd),(,yxRxzQzyPdddddd 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系类似可得类似可得 SzyxPzyzyxPdcos),(dd),(SzyxQxzzyxQdcos),(dd),(不论哪一侧都成立不论哪一侧都成立.SRQPd)coscoscos(对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分其中其中 coscoscos、是有向曲面是有向曲面在点在点),(zyx处的法向量的方向余弦处的法向量的方向余弦.解解 zyxzdd)(2有有上上在曲面在曲面,1cos
18、22yxx Sxzdcos)(2 cos)(2xz ,dddd)(2yxzzyxz计算计算介于平面介于平面是旋转抛物面是旋转抛物面其中其中)(2122yxz 例例之间的部分的之间的部分的及及20 zz下侧下侧.2211cosyx 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 yxxxzdd)(2nSzydcosdd cosddyx yxzzSyxdd1d22 cosyxddxyzO 2 yxzzyxzdddd)(2 xyDyxyxxdd)(21222 2022220d)21cos(d xyDyxyxxxyxdd)(21)()(4122222 yxzxxzdd)(2 8)(2122yxz 对坐标的曲面积分对
19、坐标的曲面积分 zyxzdd)(2 yxxxzdd)(2yxyxxxyDdd)(41222 由对称性由对称性0 nxyzO 2 例例,dd)(ddddyxzxxzyzyx 计算计算其中其中解解 法一法一 直接用对坐标的曲面积分计算法直接用对坐标的曲面积分计算法.且其投影区域分别为且其投影区域分别为由于由于取上侧取上侧,yzyDyz220,10:xzxDzx220,10:xyxDxy 10,10:222 zyx是平面是平面在第一卦限部分的在第一卦限部分的上侧上侧.面的投影面的投影xOyzOxyOz,在在所以所以 都是都是正的正的,对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分xyzOyzyDyz220,10:
20、xzxDzx220,10:xyxDxy 10,10:zzyyyd)21(d10220 zzxxxd)21(d10220 .67 0222:zyx 取上侧取上侧对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分yxzxxzyzyxdd)(dddd xyzO 1010d)222(dxyxyxx)cos,cos,(cos0 nSzxyxdcos)(coscos 法二法二 利用两类曲面积分的联系计算利用两类曲面积分的联系计算.取上侧取上侧,yxz222 31,32,32)1,(yxzzn )1,2,2(Szxyxd31)(3232 锐角锐角.则法向量则法向量n与与z轴正向的夹角为轴正向的夹角为对坐标的曲面积分对坐标的曲
21、面积分yxzxxzyzyxdd)(dddd xyzO)23(31 xyDyx xyxx1010d)2(dyxz222 yxdd3.67 yx222 yxdd3Szxyxd31)(3232 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分yxzzSyxdd1d22 若分片光滑的闭曲面若分片光滑的闭曲面 zyzyxPdd),(0 1dd),(2 zyzyxP其中其中注注补充补充x的偶函数的偶函数x的奇函数的奇函数曲面曲面不封闭也可以不封闭也可以.0),(:1 zyxx 取取外侧外侧(内侧仍成立内侧仍成立),那末那末关于关于yOz平面对称平面对称,是是若若),(zyxP是是若若),(zyxP对坐标的曲面积分对坐标的
22、曲面积分 例例,dddddd22yxyxexzzzyz 计算计算其中其中:的的)21(22 zyxz解解关于关于yOz面对称面对称,被积函数被积函数 zydd关于关于x为偶函数为偶函数.下侧下侧.又又1),(zyxP0关于关于zOx面对称面对称,被积函数被积函数 xzzdd 0关于关于y为偶函数为偶函数.zzyxQ),(对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分xyzOn小毛虫在莫比乌斯带上,由 x,y,z 的对等性知,它是由一张长方形纸条ABCD,四步:分割、取近似、求和、取极限如:上述流向指定侧的流量为:曲面的法向量的方向余弦为B、C 粘在一起形成的环五、两类曲面积分之间的联系该点处曲面的单位法向量
23、它是由一张长方形纸条ABCD,这在双侧曲面上是不能实现的.处的法向量的方向余弦.原式原式=yxyxezdd22 yxyxexyDyxdd2222 2021dde).1(2ee 22221:yxDxy取取下下侧侧)21(22 zyxz对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分xyzOn与两平面与两平面是由曲面是由曲面设设222ryxS .dddd2222 Szyxyxzzyx解解下下底底及及圆圆柱柱面面分分别别记记做做的的上上底底将将,S,:1rzS,:2rzS 2223:ryxS S 2S 3S 1994年研究生考题年研究生考题,计算计算,6分分 1S对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,rzrz 求求 1
24、222ddSzyxzyx而而 2222ddSzyxzyx 32222ddSzyxyxz000,)0(围成立体表面的外侧围成立体表面的外侧 r 12222ddSzyxyxz 22222ddSzyxyxz 3222ddSzyxzyx xyDryxyxr2222dd xyDryxyxr2222)(dd)(对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分与两平面与两平面是由曲面是由曲面设设222ryxS .dddd2222 Szyxyxzzyx,rzrz 求求 Szyxyxzzyx2222dddd,:1rzS,:2rzS 2223:ryxS ,)0(围成立体表面的外侧围成立体表面的外侧 r2223:ryxS yzDz
25、rzyyr2222dd yzDzrzyyr2222dd yzDzrzyyr2222dd2 rrzrzyyr022022dd42ryryryr022221arcsin2 8 rrzr0arctan1.212 r 3222ddSzyxzyx对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,面对称面对称关于关于yOzxzyxQ),(被积函数被积函数或或 又又.为奇函数为奇函数关于关于xzyOrr rr 关于曲面侧的性质关于曲面侧的性质对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分六、小结六、小结 对坐标的曲面积分的计算对坐标的曲面积分的计算 对坐标的曲面积分的概念对坐标的曲面积分的概念四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取
26、近似、求和、取极限思想思想:化为化为二重积分计算二重积分计算;对坐标的曲面积分的物理意义对坐标的曲面积分的物理意义注意注意:“一投一投,二代二代,三定号三定号”对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分的性质两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系方法方法:思考题思考题是非题是非题,:,dd22222外侧外侧沿沿求求 azyxyxz 由于由于是以原点为中心的球面是以原点为中心的球面.由对称性知由对称性知 yxzIdd2 yxyxaxyDdd)(2222 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分思考题解答思考题解答 非非因为上半球面因为上半球面2221:yxaz ,xyDxOy面的投影为正面的投影为正在在下半球面下半球面2222:yxaz .xyDxOy面的投影为负面的投影为负在在 yxzIdd2 故故ybbbxzyxzdddd2122 yxyxaxyDdd)(2222 yxyxaxyDdd)(2222 0 外外侧侧沿沿求求 22222:,ddazyxyxz 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分
