1、一、定积分应用的类型一、定积分应用的类型1几何应用几何应用 平面图形的面积平面图形的面积特殊立体的体积特殊立体的体积平面曲线弧长平面曲线弧长 旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为平行截面面积为已知立体的体积已知立体的体积2物理应用物理应用 变力作功变力作功水压力水压力引力引力二、构造微元的基本思想及解题步骤二、构造微元的基本思想及解题步骤1.构造微元的基本思想构造微元的基本思想无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。元素法的实质是局部上元素法的实质是局部上“以直代曲以直代曲”、“以不变代变以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化以均匀变化代不均匀变化
2、”的方法，其的方法，其“代替代替”的原则必须的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部是无穷小量之间的代替。将局部 上所对上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分定积分 badxxf)(,badxxx 2.在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：选取适当的坐标系；选取适当的坐标系；三、典型例题三、典型例题1.几何应用几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元体积和平面曲线的
3、弧长。解决这些问题的关键是确定面积元素、体积元素和弧长元素。素、体积元素和弧长元素。在在 上求出微元解析式上求出微元解析式,x xdx dxxfdU)(把所求的量表示成定积分把所求的量表示成定积分 badxxfU)(确定积分变量和变化范围确定积分变量和变化范围 ；,ba【例【例1】求由】求由 所围成图形的面积。所围成图形的面积。20,2xyyxx分析：在直角坐标系下分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形由给定曲线所围成的几何图形如图所示。如图所示。如果取如果取 为积分变量为积分变量,则则 x0,3.x 0,3,x 设区间设区间 所对应的曲边梯形面积为所对应的曲边梯形面积为 则面积元则
4、面积元,dxxx 素素 就是在就是在 上以上以“以直代曲以直代曲”所形成的矩形面积。所形成的矩形面积。,A dA,dxxx 解解：(1)确定积分变量和积分区间：确定积分变量和积分区间：的交点为的交点为 和和 ,)0,0()3,3(取取 为积分变量为积分变量,则则x0,3.x xxy22 由于曲线由于曲线 和和0 yx（2）求微元：任取）求微元：任取 0,3,x ,0,3.x xdx 如果将图形上方直线的纵坐标记为如果将图形上方直线的纵坐标记为 ,xy 2将图形下方抛物线的纵坐标记为将图形下方抛物线的纵坐标记为 ,xxy221 那么，那么，就是区间就是区间 所对应的矩形的面积。因此所对应的矩形的
5、面积。因此dA,x xdx dxxxdxxxxdxyydA)3()2()(2212 （3）求定积分：所求的几何图形的面积表示为求定积分：所求的几何图形的面积表示为320(3)Axx dx 计算上面的积分得：计算上面的积分得：3209(3).2Axx dx 【例【例2】求由摆线】求由摆线 ,的一拱的一拱)sin(ttax )cos1(tay 20 t与与 轴所围成图形的面积轴所围成图形的面积.x分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，设区间设区间 所对应的曲边梯形面积为所对应的曲边梯形面积为 ,x xdx,A 则面积元素则面积元素 就是在就是在
6、 上上“以直代曲以直代曲”dA,dxxx 所形成的矩形面积。所形成的矩形面积。0,2,xa 如果取如果取 为积分变量为积分变量,则则 .x0,2xa yx2a2 a 0 xdx x解解:(1)确定积分变量和积分区间：选取确定积分变量和积分区间：选取 为积分变量，为积分变量，x0,2xa (2)求微元：求微元：,0,2xa ,0,2x xdxa 那么面积元素那么面积元素 就是区间就是区间 所对应的所对应的dA,x xdx 矩形的面积，即矩形的面积，即 .ydxdA (3)求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：20 aAydx 20)cos1()cos1(
7、dttata22220(12coscos)3att dta 【例【例3】设由曲线】设由曲线 ，及及 围成围成xysin(0)2x 1 y0 x平面图形平面图形 绕绕 轴轴,轴旋转而成的旋转体的体积。轴旋转而成的旋转体的体积。Axy分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕 轴旋转时，轴旋转时，x取取 为积分变量为积分变量;绕绕 轴旋转时轴旋转时,取取 为积分变量。为积分变量。xyy设区间设区间对对 或对或对0,2x 0,1,y 或或 所对应的曲边梯形为所对应的曲边梯形为 是以直代曲是以直代曲,dxxx,dyyy,S 所形成的矩形为所形成的矩形为 则绕则绕 轴、轴、
8、轴旋转而成的旋轴旋转而成的旋 1,S xy转体的体积微元转体的体积微元 就是矩形就是矩形 分别绕分别绕 轴、轴、轴轴dV1S xy旋转而成的体积旋转而成的体积.解解:(一一)求求 绕轴旋转而成的旋转体的体积绕轴旋转而成的旋转体的体积 x（1）确定积分变量和积分区间：绕）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图轴旋转如图,x旋转体体积元素旋转体体积元素 是是 对应的矩形绕对应的矩形绕 轴所得的轴所得的旋转体的体积，即旋转体的体积，即 xdV,x xdx xdxxdVx)sin1(22 0,2x ,0,2x xdx （2）求微元：对）求微元：对取取 为积分变量为积分变量,则则x0,.2x （3）求定
9、积分：绕）求定积分：绕 轴旋转而成的旋转体的体积表示为轴旋转而成的旋转体的体积表示为x220(1sin)xVx dx 计算积分得：计算积分得：4cos )sin1(2202202 xdxdxxVx（1）确定积分变量和积分区间：绕）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图轴旋转如图,y取取 为积分变量为积分变量,则则y0,1.y(二二)求绕求绕 轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积y（2）求微元：对）求微元：对0,1,y ,0,1,y ydy 旋转体的体积元素旋转体的体积元素 ydV是是 对应的矩形绕对应的矩形绕 轴所得的旋转体体积轴所得的旋转体体积,即即,y ydy y22(arcs
10、in).ydVx dyy dy （3）求定积分：绕）求定积分：绕 轴所得的旋转体的体积表示为轴所得的旋转体的体积表示为 y120(arcsin)yVydy 120(arcsin)yVydy 12 10201(arcsin)|2(arcsin)1yyyydyy 1220(arcsin1)2(arcsin)(1)y dy 32102 1arcsin2 4yyy 324 计算积分得计算积分得:【例例4】计算底面是半径为计算底面是半径为2 的圆，而垂直于底面上一条固定的圆，而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。分析：此题为平行截面面
11、积为已知的立体的体积。若选择分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择 积分变量为积分变量为 ,如果能求出平面如果能求出平面 x 2,2,x xx 所截立体的截面面积所截立体的截面面积 那么，那么，(),A x,2,2x xdx 所对应的体积元素为所对应的体积元素为 .()dVA x dx 建立如图所示的坐标系，建立如图所示的坐标系，解解:(1)确定积分变量和积分区间：确定积分变量和积分区间：则底圆方程为则底圆方程为 224.xy取取 为积分变量为积分变量,所以所以 2,2.x x （2）求微元：因为过点）求微元：因为过点 的截面为等边三角形（如图），的截面为等边三角形（如图），其边长
12、为其边长为 高为高为 x22 4,x 232 4.2x 所以截面积为所以截面积为 22213()2 42 4223(4).A xxxx 因此因此,对对 所对应的体积元素为所对应的体积元素为 2,2,x ,2,2x xdx 2()3(4).dVA x dxxdx （3）求定积分：所求立体的体积为求定积分：所求立体的体积为22222()3(4)VA x dxxdx 3233 yy【例【例6】计算半立方抛物线了】计算半立方抛物线了 被抛物线被抛物线 232(1),3yx32xy 截得的一段弧的长度。截得的一段弧的长度。分析：所给定的曲线弧如图所示。分析：所给定的曲线弧如图所示。对对 把区间把区间 上
13、上 1,2,x ,dxxx 所对应的曲线段长所对应的曲线段长 用切线段长用切线段长 s ds代替，则得到弧长的微元代替，则得到弧长的微元 的解析式的解析式.ds1,2.x 取积分变量为取积分变量为 则则,x取取 为积分变量为积分变量,则则x1,2.x 解解:(1)确定积分变量和积分区间：计算两曲线的交点确定积分变量和积分区间：计算两曲线的交点的横坐标得的横坐标得2.x (2)求微元：求微元：区间区间1,2,x ,1,2,x xdx ,dxxx 所对应的曲线段长所对应的曲线段长 用切线段长用切线段长 来代替来代替,得弧长元素得弧长元素s ds222()()1()dsdxdyydx 由于由于212
14、322)1(23)1(2)1(3)1(xxxyxy从而从而 dxxdxyds212312 (3)求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得222113121222sy dxxdx 3282()195 【例【例7】求星形线】求星形线 的全长的全长.3cos,xat tay3sin 分析：曲线为参数方程，由于星形线关于分析：曲线为参数方程，由于星形线关于 轴都对称轴都对称,x y所以只须考虑第一象限中的情况。取参数所以只须考虑第一象限中的情况。取参数 为积分变量，为积分变量，t 对对 把区间把区间 上所对应的曲线上所对应的曲线0,2t 0,2t ,t
15、tdt 段长段长 用切线段长用切线段长 代替代替,则得到曲线弧长的微元则得到曲线弧长的微元 s dsds的解析式。的解析式。解解:(1)确定积分变量和积分区间确定积分变量和积分区间:0,.2t 取参数取参数 为积分变量为积分变量,t (2)求微元：求微元：把区间把区间 上所对应的曲线弧长上所对应的曲线弧长0,2t ,t tdt 用切线段长用切线段长 代替代替,得弧长元微元得弧长元微元 s ds22()().dsx ty tdt (3)求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得2220()()sx ty tdt 242242209cossin9sin
16、cosattattdt 2033sin222atdta 则所求曲线弧长为则所求曲线弧长为 46.Ssa 注：若曲线用极坐标的形式表出，也可转化为直角坐标注：若曲线用极坐标的形式表出，也可转化为直角坐标来做，但积分时要注意积分上下限的确定。来做，但积分时要注意积分上下限的确定。6.3 定积分在物理学上的应用 定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子。仅给出作功、水压力和引力问题的例子。重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。特别指出
17、的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选特别指出的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。一、变力沿直线所作的功求物体沿直线从a移动到b时，变力F(x)所作的功W由定积分的物理意义变力所作的功badxxFW)(功的元素：一个单一个单求电场力所作的功求电场力所作的功.qorabrrdr 11解解:当单位正电荷距离原点当单位正电荷距离原点 r 时时,由由库仑定律库仑定律电场力为电场力为2rqkF 则功的元素为则功的元素为rrqkWdd2 所求功为所求功为 barrqkWd2barq
18、k 1)11(baqk 位正电荷沿直线从距离点电荷位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到处移动到 b 处处(a b),在一个带在一个带+q 电荷所产生的电场作用下电荷所产生的电场作用下,例例1.1.体体,求移动过程中气体压力所求移动过程中气体压力所由于气体的膨胀由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为把容器中的一个面积为S 的活塞从的活塞从点点 a 处移动到点处移动到点 b 处处(如图如图),作的功作的功.在底面积为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气的圆柱形容器中盛有一定量的气 例例2.2.Soxabxxdx 解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.压强压强 p 与体积与体积 V 成反比成
19、反比,即即Vkp 功元素为功元素为 WdxFdxxkd 故作用在活塞上的力为故作用在活塞上的力为SpF xk 所求功为所求功为 baxxkWd baxk ln abkln 恒温时恒温时,SxSk 建立坐标系如图建立坐标系如图.,5,0 ,xx为为积积分分变变量量取取解解:例例3.3.om3xxxdm5设水的密设水的密度为度为 一蓄满水的圆柱形水桶高为一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为底圆半径为3m,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?x ,d,水水的的重重力力为为这这一一薄薄层层取取任任一一小小区区间间xxx gxd32 (kN)这薄层水吸出桶外所作
20、的功这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为为Wdxx dg9 故所求功为故所求功为 50Wxx dg9 5022 g9x g 5 .112(kJ)二、水压力面积为面积为 A 的平板的平板设水密度为设水密度为 在水深在水深 h 处的压强处的压强:hpg h当平板与水面平行时当平板与水面平行时,ApF 当平板不与水面平行时当平板不与水面平行时,所受压力因平板上各点处处于不同水深所以压强所受压力因平板上各点处处于不同水深所以压强不等不等,从而问题就需用积分解决从而问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为平板一侧所受的压力为小窄条小窄条x,x+dx 上各点的压强上各点的压强近似为近似为332Rg
21、的的液体液体,求桶的一个端面所受的压力求桶的一个端面所受的压力.解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.端面圆的端面圆的 222Ryx 故压力元素故压力元素 RF0 xxRxgd222 oxyRxxd222xR Fdxg 端面所受压力为端面所受压力为xd方程为方程为一水平横放的半径为一水平横放的半径为R 的圆桶的圆桶,内盛半桶密度为内盛半桶密度为 例例4.4.x取取 x 为积分变量为积分变量,其变化区间为其变化区间为 0,R xgp 三、引力质量分别为质量分别为21,mm的质点的质点,相距相距 r,1m2mr二者间的引力二者间的引力:大小大小:221rmmGF 方向方向:沿两质点的连线沿两质点的连
22、线若考虑若考虑物体物体对质点的引力对质点的引力,则需用积分解决则需用积分解决.(G 为引力系数为引力系数)设有一长度为设有一长度为 l,线密度为线密度为 的均匀细直棒的均匀细直棒,其中垂线上距其中垂线上距 a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的质点的质点 M,试计试计算该棒对质点的引力算该棒对质点的引力.在在例例5.5.2l2l xyoryyyd Ma建立坐标系如图建立坐标系如图.解解:,2,2 ,llyy为积分变量为积分变量取取,d,yyy 任取一小区间任取一小区间将小段近似看成质点将小段近似看成质点,其质量为其质量为yd 小段与质点的距离为小段与质点的距离为22yar 故引力元素为故引力元素为 22d dyaymGF 水平方向的分力元素为水平方向的分力元素为22d dyaymGFx 22d dyaymGF 2l2l xyoryyyd Ma22yaa 2322)(d 22yayamGFllx 所以所以21)4(222laalGm 22d dyaymGFy 22yay 2223)(d 22llyay ymGFy 所以所以=0作业：作业：
