1、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质情境引入学习目标1.会用配方法或公式法将一般式yax2bxc化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）2.会熟练求出二次函数一般式yax2bxc的顶点坐标、对称轴.（重点）复习引入y=a(x-h)2+ka0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当xh时，y随着x的增大而增大.当xh时，y随着x的增大而减小.x=h时,y最小最小=kx=h时,y最大最大=k抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最值最值y=-2x2y=
2、-2x2-5y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4y=(x-4)2+3y=-x2+2xy=3x2+x-6(0,0)y轴0(0,-5)y轴-5(-2,0)直线x=-20(-2,-4)直线x=-2-4(4,3)直线x=43?怎样直接作出函数怎样直接作出函数y=3xy=3x2 2-6x+5-6x+5的图象的图象?配方化成顶点式配方化成顶点式我们知道我们知道,作出二次函数作出二次函数y=3xy=3x2 2的图象的图象,通过平移抛物线通过平移抛物线y=3xy=3x2 2可以得到二次函数可以得到二次函数y=3xy=3x2 2-6x+5-6x+5的图象的图象.5632xxy23(x2x)5提取二次项系
3、数提取二次项系数23(x2x 1 1)5 配方配方:加上再减去一次项加上再减去一次项系数绝对值一半的平方系数绝对值一半的平方23 x135 整理整理:前三项化为完全平前三项化为完全平方式方式,后两项合并同类项后两项合并同类项.2132x化简化简x x-2-2-1-10 01 12 23 34 4 292914145 52 25 5141429292y 3(x 1)2列表列表:根据对称性根据对称性,选取适当值列表计算选取适当值列表计算.a=30,开口向上开口向上;对称轴对称轴:直线直线x=1;顶点坐标顶点坐标:(1,2).再根据顶点式确定开口方向再根据顶点式确定开口方向,对称轴对称轴,顶点坐标顶
4、点坐标.x=1 (1，2)5632xxy通过图象你能看出通过图象你能看出当当x x取何值时取何值时y y随随x x的增大而减小，当的增大而减小，当x x取何值时，取何值时，y y随随x x的增大而增大吗？的增大而增大吗？当当x1时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象从左到右斜向上，同学们，你想到了什么？从左到右斜向上，同学们，你想到了什么？探究归纳我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？216212yxx问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2
5、+k的形式？216212yxx配方216212xxy你知道是怎样配方的吗？(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.3)6(212xy根据前面的只是，我们知道：其变形过程如下所示221xy 2)6(21xy3)6(212xy向右平移6个单位 长度向上平移3个单位长度还有什么方法平移呢问题2 如何画二次函数 的图象？216212yxx9 98 87 76 65 54 43 3x先利用图形的对称性列表21(6)32yx7.553.533.557.5510 xy510然后描点画图，得到图象如右图.O问题3 结
6、合二次函数 的图象，说出其性质.216212yxx510 xy510 x=6当x6时，y随x的增大而增大.O例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.21522yxx x-2-101234y-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解:函数 通过配方可得 ，先列表：21522yxx 21(1)22yx 典例精析2xy-204-2-4-4-6-8然后描点、连线，得到图象如下图.由图象可知，这个函数具有如下性质：当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.你能用上面的方法讨论二次函数 的图象和性质吗？1422xxy
7、将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k二 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？cbxaxy22ba(xx)ca提取二次项系数提取二次项系数222bbbaxx()()ca2a2a配方配方:加上再减去一次项加上再减去一次项系数绝对值一半的平方系数绝对值一半的平方22bba(x)c2a4a整理整理:前三项化为平方形前三项化为平方形式式,后两项合并同类项后两项合并同类项22b4acba(x).2a4a化简化简一般地一般地,对于二次函数对于二次函数y=axy=ax+bx+c,+bx+c,我们可以利用配方我们可以利用配方法推导出它的对
8、称轴和顶点坐标法推导出它的对称轴和顶点坐标.你能把函数你能把函数y=axy=ax+bx+c+bx+c通过配方法化成顶点式吗？通过配方法化成顶点式吗？抛物线的顶点式抛物线的顶点式.2:abx它的对称轴是直线2b4acb,.2a4a它的顶点是()22b4acbya(x).2a4a二次函数二次函数y=axy=ax+bx+c+bx+c的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线.归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即2224().24bacbyaxbxca xaa因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：对
9、称轴是：直线24(,).24bacbaa.2bxa(1)(2)xyOxyO如果a0,当x 时，y随x的增大而增大.如果a0,当x 时，y随x的增大而减小.2bxa 2bxa 2ba2ba2ba2ba 21 y2x12x13;22 y5x80 x 319;3 y3 x22x.对称轴是对称轴是x=3x=3，顶点坐标是（，顶点坐标是（3 3，-5-5）对称轴是对称轴是x=8x=8，顶点坐标是（，顶点坐标是（8,18,1）对称轴是对称轴是x=0 x=0，顶点坐标是（，顶点坐标是（0 0，1212）根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：xxy23)1(2xxy2)2(2882)3(2xxy3421)4(2xxy
