1、高考数学（理）必考热点新题精选练习：高考数学（理）必考热点新题精选练习： 立体几何（小题） 考向考向 1 1 空间几何体空间几何体 1.已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面所成的角相等,则截此正 方体所得截面面积的最大值为 ( ) A. B. C. D. 2.正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2,侧棱长为,D 为 BC 中点,则三棱锥 A-B1DC1的体积为 ( ) A.1 B. C.2 D.2 3.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一,但陀螺这个名词,直到明朝刘侗、于奕 正合撰的京地景物略一书中才正式出现,如图所示 的网格纸中小正方形的边长均为 1,粗线画出的是一个 陀螺模型的
2、三视图,则该陀螺模型的表面积为 _. 4.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E 为CC1的中点, 则三棱锥 E-BCD 的体积是_. 考向考向 2 2 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 1.若四面体的三视图如图所示,则以下判断中,正确的是 ( ) A.该四面体的所有对棱都互相垂直 B.该四面体恰有三个面是直角三角形 C.该四面体中,棱与面互相垂直的恰有两对 D.该四面体中,面与面互相垂直的恰有四对 2.已知直三棱柱C-11C1中,C=120,=2,C=CC1=1,则异面直 线1与C1所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 3.如图,圆柱的轴截面 ABCD
3、为正方形,E 为的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成 角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 4.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线 与 a,b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论: 当直线AB与a成60角时,AB与b成30角;当直线AB与a成60角时,AB 与 b 成 60角;直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45;直线 AB 与 a 所成角的 最大值为 60.其中正确的是_.(填写所有正确结论的编号) 5.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,
4、若 E 为棱 PC 上一点,满足 BEAC,则=_. 6.如图,三棱锥 A-BCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点 M、N 分别是 AD,BC 的中点,则异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值 是_. 考向考向 3 3 球与几何体的切接问题球与几何体的切接问题 1.设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点,ABC 为等边三角形且其面 积为 9,则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为 ( ) A.12 B.18 C.24 D.54 2.九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑 堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”的外接球的体积为 ( )
5、A. B. C.6 D.8 3.已知三棱锥 P-ABC 中,PA=4,AB=AC=2,BC=6,PA面 ABC,则此三棱锥的外接 球的表面积为 ( ) A.16 B.32 C.64 D.128 4.已知正三棱柱内接于一个半径为 2 的球,则正三棱柱的侧面积取得最大值时, 其底面边长为 ( ) A. B. C. D.2 5.已知圆锥的母线长为 5,底面半径为 4,则它的外接球的表面积为_. 6.若三棱锥 A-BCD 中,AB=CD=6,其余各棱长均为 5,则三棱锥内切球的表面积为 _. 答案与解析答案与解析 考向考向 1 1 空间几何体空间几何体 1.A 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的
6、,所以在正方体 ABCD- A1B1C1D1中, 平面AB1D1与线AA1,A1B1,A1D1所成的角是相等的,所以平面AB1D1与正方体的每条棱 所在的直线所成角都是相等的, 同理平面 C1BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,要求截 面面积最大,则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的,且过棱的中点的正 六边形,且边长为,所以其面积为 S=6=. 2.A 在正ABC 中,D 为 BC 中点,则有 AD=AB=, = 2=.又因为平面 BB1C1C平面 ABC,ADBC,AD平面 ABC, 所以 AD平面 BB1C1C,即 AD 为三棱锥 A-B1DC1底面上的高
7、.所以= AD= =1. 3.【解析】由三视图知,该几何体是上部为圆锥,中部为圆柱体,下部为圆锥体的 组合体,根据图中数据,计算该陀螺的表面积为 S= 42+14+4 2 -2 2+ 8 =. 答案:(8+4+16) 4.【解析】因为长方体 ABCD-A1B1C1D1的体积为 120, 所以 ABBCCC1=120, 因为 E 为 CC1的中点,所以 CE= CC1, 由长方体的性质知 CC1底面 ABCD, 所以 CE 是三棱锥 E-BCD 的底面 BCD 上的高, 所以三棱锥 E-BCD 的体积 V= CDBCCE= ABBC CC1=120=10. 答案:10 考向考向 2 2 直线与平
8、面的位置关系直线与平面的位置关系 1.C 结合三视图,还原直观图,得到: 图中 O-ABC 即为原图,A 选项错误,如 AB 和 OC 不垂直;B 选项四个面都是直角三 角形,错误;C 选项棱和面互相垂直的有 AO 与平面 OCB,BC 和平面 ABO,故正确;D 选项面面垂直的有 2 对,故错误. 2.C 如图所示,补成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,则所求角为BC1D, 因为 BC1=, BD=,C1D=AB1=, 所以 cosBC1D=. 3.D 取 BC 的中点 H,连接 EH,AH,EHA=90,设 AB=2, 则 BH=HE=1,AH=,所以 AE=, 连接 ED,ED=,因为
9、 BCAD, 所以异面直线 AE 与 BC 所成角即为EAD,在EAD 中 cosEAD=. 4.【解析】由题意,AB 是以 AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线,由 ACa,AC b,又 AC圆锥底面,如图所示,可设 DB=a,连接 DE,则 DEBD,可设 DE=b,连接 AD,在等腰ABD 中,设 AC=1,则 AB=AD=. 当直线 AB 与 a 成 60角时,ABD=60,故 BD=, 又在 RtBDE 中,BE=2,所以 DE=, 过点B作BFDE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,所以ABF 为等边三角形,所以ABF=60,即 AB 与 b 成 60角,正
10、确,错误. 由最小角定理可知正确;很明显,可以满足平面 ABC直线 a,直线 AB 与 a 所成 的最大角为 90,错误. 正确的说法为. 答案: 5.【解析】过 B 作 BFAC,交 AC 于 F,连接 EF,根据 BEAC,可得 AC平面 BEF, 故 ACEF,由于 PAAC,所以 EFPA.由于 AD=CD,所以DAC=BAC= .在直角三 角形 ABF 中,AB=1,BAF= ,所以 AF=AB=,而 AC=2,故 AFFC=13.根据 前面证得 EFPA,可得 PEEC=AFFC=13. 答案: 6.【解析】如图,连接 DN,取 DN 中点 P,连接 PM,PC,则可知PMC 即为
11、异面直线 AN,CM 所成角(或其补角), 易得 PM= AN=,PC=,CM=2, 所以 cosPMC= ,即异面直线 AN,CM 所成角的余弦值为 . 答案: 考向考向 3 3 球与几何体的切接问题球与几何体的切接问题 1.B 设等边三角形 ABC 的边长为 x,则 x 2sin 60=9 ,得 x=6. 设ABC 的外接圆半径为 r,则 2r=,解得 r=2,所以球心到ABC 所在平 面的距离 d=2,则点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1=d+4=6,所以三棱 锥 D-ABC 体积的最大值 Vmax= SABC6= 96=18. 2.A 根据几何体的三视图转换为几何体为:下底面为腰
12、长为的等腰直角三角 形,高为 2 的直三棱柱,故外接球的半径 R 满足(2R) 2=( ) 2+( ) 2+22, 解得:R=,所以:V= () 3= . 3.C 因为底面ABC 中,AB=AC=2,BC=6, 所以 cosBAC=- ,所以 sinBAC=, 所以ABC 的外接圆半径 r= =2,PA面 ABC,所以三棱锥外接球的半径 R 2=r2+ =(2) 2+22=16, 所以三棱锥 P-ABC 外接球的表面积 S=4R 2=64. 4.A 如图,设正三棱柱底面边长为 a, 所以 O2C2=a,因为 OC2=2,所以 O2O=.所以 A1A2=O1O2=2OO2=2, 所以三棱锥侧面积
13、为 S=3a2=6 =12. 当且仅当 a 2=12-a2,a= 时取“=”号. 5.【解析】如图,CB=5,BE=4,可得 CE=3,取 CB 中点 D, 作 DOCB 交 CE 延长线于 O,则 O 为ABC 的外心,也即圆锥外接球的球心, 设 OE=x,则 OC=3+x,OB=,所以(3+x) 2=x2+16,得 x= , 所以外接球半径 R=3+ =,所以圆锥外接球的表面积 S=4=. 答案: 6. 【解析】 由题意可知三棱锥的四个面全等,且每一个面的面积均为 64=12. 设三棱锥的内切球的半径为 r,则三棱锥的体积 V= SABCr4=16r, 取 CD 的中点 O,连接 AO,BO,则 CD平面 AOB, 所以 AO=BO=4,SAOB= 6=3, 所以 VA-BCD=2VC-AOB=2 33=6, 所以 16r=6,解得 r=.所以内切球的表面积为 S=4r 2= . 答案:
