1、2022-2023学年第一学期高三期中调研试卷数学一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合 A=xx24x,B=x3x40, 则 AB=A. 0,+)B. 0,43C. 43,4D. (,0)2.设复数 z 满足 (1+i)z=2i, 则 |z|=A. 12B. 22C. 2D. 23.在 ABC 中, 点 N 满足 AN=2NC, 记 BN=a,NC=b, 那么 BA=A. a2bB. a+2bC. abD. a+b4.“ sin+cos=1 ”是“ si
2、n2=0 ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.奇函数 f(x) 在 R 上单调递增, 若正数 m,n 满足 f(2m)+f1n1=0, 则 1m+n 的最 小值为A. 3B. 42C. 2+22D. 3+226.已知函数 f(x)=3cosxsinx(0) 的周期为 2, 那么当 x0,23 时, f(x) 的取值范围是A. 32,32B. 3,3C. 32,1D. 1,2 7. 古时候, 为了防盗、防火的需要, 在两边对峙着高墙深院的“风 火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本装备. 如图, 梯子的长 度为 a, 梯脚落在巷中的 M 点, 当梯
3、子的顶端放到右边墙上的 N 点时, 距地面的高度是 , 梯子的倾斜角正好是 45, 当梯 子顶端放到左边墙上的 P 点时, 距地面的高度为 6 尺 (1 米=3 尺), 此时梯子的倾斜角是 75. 则小巷的宽度 AB 等于 ( ）A. 6 尺B. a 尺C. (+2) 尺D. +a2 尺8.已知实数 a=log23,b=2cos36,c=2, 那么实数 a,b,c 的大小关系是A. bcaB. bacC. abcD. acb二、多项选择题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共计 20 分. 每小题给出的四个选项中, 都有多个选项是正确的, 全部选对的得 5 分, 选对但不全的得 2 分
4、, 选错或不答的得 0 分. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知非零实数 a,b,c 满足 abc 且 a+b+c=0, 则下列不等关系一定正确的有 ( )A. cacbB. ca+ac2C. (ab)a(bc)aD. ca2,1210.已知函数 f(x)=cos2x2cosxcos3x, 则A. f(x) 的最大值为 1B. f6=f3C. f(x) 在 12,6 上单调递增D. f(x) 的图象关于直线 x=4 对称11.在棱长为 2 的正方体中, M,N 分别是棱 AB,AD 的中点, 线段 MN 上有动点 P, 棱 CC1 上点 E 满足 C1C=3C1E. 以下说法中,
5、 正确的有A. 直线 C1P 与 BE 是异面直线B. 直线 C1P/ 平面 BDEC. 三棱雉 CC1MN 的体积是 1D. 三棱雉 CC1MN 的体积是 312.已知函数 f(x)=x2xx2+ax+b 的图象关于直线 x=2 对称, 则A. a+b=5B. f(x) 的最小值是 3516C. f(x) 图象与直线 2x+y8=0 相切D. f(x) 图象与直线 12xy48=0 相切 三、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共计 20 分. 请把答案填写在答题卡相应位置 上.13.命题 p:xR,x2+mx+20, 若“非 p ”为真命题, 则 m 的取值范围是14.已知函
6、数 f(x)=2x,x0,log2x,x0, 则函数 g(x)=2ff(x) 的所有零点之积等于 .15.在 ABC 中, 已知 BC,cosA=3132,cos(BC)=18, 那么 tanB=16.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网, 如图是由无数个正方形环绕而成的, 且每一 个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的 三等分点上. 设外围第一个正方形 A1B1C1D1 的边长为 1 , 往里第二 个正方形为 A2B2C2D2, 往里第 n 个正方形为 AnBnCnDn. 那 么第 7 个正方形的周长是 ，至少需要前个正方形的面积之和超过 2 . (本小题第一空 2 分,
7、第二空 3 分, 参 考数据: lg2=0.301,lg3=0.477).四、解答题: 本大题共 6 小题, 共计 70 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分) 在锐角 ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 2bsinA3a=0.(1) 求角 B 的大小;(2) 求 cosAcosBcosC 的取值范围.18.(本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 E(cos,sin ) (其中 0 ), 将向量 OE 逆时针方向旋转 90, 得到向量 OF, 记 A(1,0),B(0,1).
8、(1) 求 |AE+AF| 的最大值;(2) 试判断两向量 AE 与 BF 的位置关系. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱雉 PABC 中, ACB=90,PA 底面 ABC. 求证: 平面 PAC 平面 PBC;若 AC=BC=PA,M 是 PB 的中点, 记 AM 与底面 ABC 所成角为 ,AM 与平面 PBC 所成角为 , 试研究 与 的等量关系.20.(本小题满分 12 分) 已知首项 a1=4 的数列 an 的前 n 项和为 Sn, 对任意 nN 都有 anSn=n+12n(1) 求数列 an 的通项公式;(2) 记 cn=an2n, 数列 cn 的前 n 项和为
9、Tn, 有 A1T1+1T2+1TnB 恒成立, 求 BA 的最小值.21.(本小题满分 12 分) 给定函数 f(x)=(x+1)ex.(1) 判断函数 f(x) 的单调性, 并求出 f(x) 的极值;(2) 画出函数 f(x) 的大致图象;(3) 求出方程 f(x)=a(aR) 的解的个数.22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ln(1+x)(lna)x (实数 a0 ).(1) 若实数 aN, 当 x(0,+) 时, f(x)0 恒成立, 求实数 a 的最小值;(2) 证明: 1+1nncos45 可得 2cos362 即 bc.又由于 log2312log22+log24
10、=322, 所以 ac.由于 3528,5ln38ln2,a=log231.6,所以 bac. 选 B 项.二、多项选择9 BD 10. ABD 11. ABC 12. AD12.解: 因为 y=f(x) 图象关于直线 x=2 对称, 当 x=3 时, f(3)=f(1)=0, 于是 9+3a+b=0, 当 x=4 时, f(4)=f(0)=0, 于是 16+4a+b=0, 于是 a=7,b=12, 所以 a+b=5.f(x)=x2xx27x+12=x(x1)(x3)(x4)=x24xx24x+3, 令 t=x24x,t4, 则 g(t)=t(t+3)=t2+3t,t4, 因为 g(t)=t2
11、+3t 图象开口向上, 对称轴是 t=32, 所以 g(t) 的最小值为 94. 联立方程 y=x(x1)(x3)(x4)y=82x,x=4 是方程组的解, 约分 x4, 而方程 x(x1)(x3)=2 有三个解, 所以 f(x) 与直线 2x+y8=0 不能相切. 函数 y=f(x) 在 x=4 处的切线方程为 12xy48=0.三、填空题13 (22,22) 14. 2 15. 579 16. 500729,415 解: 由 cosA=3132 得到 cosBcosCsinBsinC=3132, 由 cos(BC)=18 得到 cosBcosC+sinBsinC=18, 于是 cosBco
12、sC=2764,sinBsinC=3564, 于是 tanBtanC=3527. 在 ABC 中, tan(B+C)=tanB+tanC1tanBtanC=tanA=3731, 于是 tanB+tanC=279. 再由 tanBtanC=3527, 解方程组得到 tanB=579 或 tanB=73, 由于 BC, 取 tanB=579.四、解答题17 解: (1) 由正弦定理, b=2RsinB,c=2RsinC, 代入 2bsinA3a=0,有 22RsinBsinA32RsinA=0 ，因为 A 是三角形的内角, sinA0, 所以 sinB=32,注: 不说明 sinA0, 扣 1 分
13、。如果说明了 A 是三角形的内角, 锐角三角形等都可以 在锐角 ABC 中, B=3.注: 不说明锐角三角形扣 1 分(2) 由 (1), B=3,A+C=23,C=23A于是 cosAcosBcosC=cosAcos3cos23A=12cosA12cosA+32sinA=34sinAcosA14cos2A=38sin2A141+cos2A2=14sin2A618在锐角 ABC 中, 由于 B=3, 有 6A2,62A656,注: 正确求出角 A 的范围给 1 分于是 sin2A612,1,14sin2A6180,18.所以 cosAcosBcosC 的取值范围是 0,18.18 解析: (1
14、) 向量 OE 逆时针方向旋转 90, 得到点 F(sin,cos),又因为 A(1,0), 所以 AE=(cos1,sin),AF=(sin1,cos),所以 AE+AF=(cossin2,sin+cos),所以 |AE+AF|=(cossin2)2+(sin+cos)2=cos2+sin2+42sincos4cos+4sin+sin2+cos2+2sincos=6+42sin4 6+42=2+2,所以 |AE+AF| 的最大值为 2+2, 此时 sin4=1,=34.8 分注: 不说明取得最值的条件即: =34 扣 1 分(2) 由题意, AE=(cos1,sin),BF=(sin,cos
15、+1),9 分因为 (cos1)(cos+1)sin(sin)=cos21+sin2=0,所以 (cos1)(cos+1)=sin(sin), 11 分所以两向量 AE 与 BF 平行. 12 分19 解析: (1) 证明: 因为 PA 底面 ABC,BC 底面 ABC, 所以 PABC,1 分 又因为 ACB=90, 即 ACBC,又因为 PA,AC 平面 PAC, 且 PA,AC 相交于点 A,所以直线 BC 平面 PAC. 3 分注: 只是不说明 PA、AC 在平面 PAC 内, 扣 1 分, 如果再少其它条件扣 2 分, 讲评时要强调条件缺一不 可。又因为 BC 平面 PBC, 所以平
16、面 PBC 平面 PAC. 4 分(2) 解: 取 AB 的中点 N, 连接 MN, 由于 M 是 PB 的中点, 有 MN/PA, 又因为 PA 底面 ABC, 所以 MN 底面 ABC, 所以 MAN 就是直线 AM 与底面 ABC 所成角 . 记 AC=BC=PA=2a, 在直角 MAN 中, 计算得到tan=tanMAN=a2a=22. 7 分取 PC 的中点 H, 连接 AH,HM, 由于 AC=PA, 有 AHPC. 由 (1) BC 平面 PAC,AH 平面 PAC, 所以 BCAH. 又因为 PC,BC 平面 PBC, PC,BC 相交于点 C, 所以 AH 平面 PBC, 所
17、以 AMH 就是直线 AM 与平面 PBC 所成角 .注: 在证明过程中少条件的话要适当扣 1-2 分, 并在讲评时强调条件缺一不可。在直角 AMH 中, 计算得到 tan=tanAMH=2aa=2. 10 分由于 、 都是锐角, 所以 +=2. 12 分注: 不说明 、 都是锐角扣 1 分。 20. 解析: 由 anSn=n+12n 得到 Sn=2nann+1, 当 n2 时, Sn1=2(n1)an1n,.1 分两式相减, 有 an=2nann+12(n1)an1n, 得到 2(n1)an1n=(n1)ann+1,由于 n2，ann+1=2an1n, 3 分因为 a12=2, 由上述递推关
18、系知 ann+10(注: 这里不说明不扣分, 说明等比数列时也不一定要写成比的形式。但讲评时强调要说明按照定义证明, ) 所以 ann+1 是以 a12=2 为首项, 2 为公比的等比数列,所以 ann+1=22n1,an=(n+1)2n. 分(2) 由 (1) cn=n+1, 前 n 项和为 Tn=n(2+n+1)2=n(n+3)2, .7 分 1Tn=2n(n+3)=231n1n+31T1+1T2+1Tn=2311+12+131n+11n+21n+3 9 分 0,1T1+1T2+1Tn1T1=12, 所以 BA11912=1318,BA 的最小值为 1318. 12 分21 解析: (1)
19、 函数的定义域为 R.f(x)=(x+1)ex+(x+1)ex=(x+2)ex.令 f(x)=0, 解得 x=2. 2 分f(x),f(x) 的变化情况如表所示.x(,2)2(2,+)f(x)0+f(x)单调递减1e2单调递增所以, f(x) 在区间 (,2) 上单调递减, 在区间 (2,+) 上单调递增. 当 x=2 时, f(x) 有极小值 f(2)=1e2 +4 分注: 不列表也可以, 只要说明清楚了在-2 左右两边的单调性就可以。 (2) 令 f(x)=0, 解得 x=1. 当 x1 时, f(x)1 时, f(x)0.所以, f(x) 的图象经过特殊点 A2,1e2,B(1,0),
20、C(0,1) 分当 x 时, 与一次函数相比, 指数函数 y=ex 呈 爆 炸 性 增 长, 从 而 f(x)=x+1ex0; 当 x+ 时 ， f(x)+,f(x)+根据以上信息, 我们画出 f(x) 的大致图象如图所示. .8 分 注: 这里如上述描述(教材上就是这样描述的)正常给分。没有说明, 只画图, 只要图形正确也给分, 不扣 分。(3) 方程 f(x)=a(aR) 的解的个数为函数 y=f(x) 的图象与直线 y=a 的交点个数.由（1）及图可得, 当 x=2 时, f(x) 有最小值 f(2)=1e2.所以关于方程 f(x)=a(aR) 的解的个数有如下结论:当 a1e2 时,
21、解为 0 个;当 a=1e2 或 a0 时，解为 1 个;当 1e2a0,f(x) 在 (0,+) 上单调递增, f(x)f(0)=0 舍去; 3 分 当 a=2 时, 令 f(x)=11+xln2=0, 得 x=1ln210, 当 x0,1ln21 时, f(x)0,f(x) 在 0,1ln21 上单调递增, 此区间上 f(x)f(0)=0 舍去; .5 分当 a3 时, 由于 11+x(0,1),lna1,f(x)=11+xlna 恒小于零, f(x) 在 (0,+) 上单调递减, f(x)f(0)=0, 满足题意. .7 分综合上述, 实数 a 的最小值为 3 . .8 分 注: 如果用罗比塔法则求解, 适当给分, 一般表述会有问题, 结论正确时也不宜超过 5 分。 (2) 由（1）, 当 a=3 时, f(x)0 恒成立, 即 ln(1+x)(ln3)x0, 于是 ln(1+x)(ln3)x. 10 分 取 x=1n, 有 ln1+1n(ln3)1n, 所以 nln1+1nln3, 即 ln1+1nnln3, 所以 1+1nn3. .12 分 注: 其它解法参照给分, 如果是分析法, 要注意是否有相应过渡性的语言联结。
