1、 - 1 - - 1 - 高考高考数学数学模拟模拟试题试题 一一 选择题：本大题共选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。只有一项是符合题目要求的。 1已知全集 U=l，2，3，4，5，集合 A=l，24，集合 B=l，5，则 U AB（ ） A2,4 B1，2,4 C2,3,4,5 Dl,2,3,4,5 【解析】2,3 4 UB ，所以2,4 U AB ，选 A. 2.i是虚数单位，则 1 i i 的虚部是（ ） A 1 2 i B 1 2 i C 1 2 D 1 2 【
2、解析】 1 i i =i 2 1 2 1 ，选 C 3.设, ,a b c分别ABC是的三个内角, ,A B C所对的边，若1,3,3060A Aab则则是是B=B= 的（ ） A.充分不必要条件； B.必要不充分条件； C.充要条件； D.既不充分也不必要条件； 【解析】 若1,3,30A Aab， 由正弦定理得 3 sinsin,60 2 b BAa b B a 或120B 反之，1,3,60B Bab则 1 sinsin,30 2 a ABa b A b ，故选 B 4下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题“若1 2 x，则1x”的否命题为“若1 2 x，则1x” B命题“01, 2
3、xxRx”的否定是“01, 2 xxRx” C命题“若yx ，则yxsinsin”的逆否命题为假命题 D若“p 或 q”为真命题，则 p，q 至少有一个为真命题 【解析】 “若1 2 x，则1x”的否命题为“若 2 1x ，则1x” ，所以 A 错误。 “01, 2 xxRx”的否定是“ 2 ,10xR xx ”所以 B 错误。若yx ，则 yxsinsin，原命题正确，所以若yx ，则yxsinsin”的逆否命题为真命题，所以 C 错误。D 正确，选 D. 5.(文科)若 n a为等差数列， n S是其前 n 项的和，且 3 22 11 S，则 6 tana=（C ） A.3 B. 3 C.
4、 3 D. 3 3 - 2 - - 2 - 【解析】 111 66 11()222 11, 233 aa aa ，选 C. 5（理科） 如果 2 3 1 ()x x 的展开式中的常数项为a，则直线yax与曲线 2 yx围成图形的 面积为（ ） A. 27 2 B. 9 C. 9 2 D. 27 4 【解析】展开式的通项为 3233 133 1 ( )() kkkkk k TCxC x x ，所以当330k 时，1k 。即 常数项为 1 3 3aC，所以直线方程为3yx，由 2 3yx yx 得0x 或3x ，所以曲线所围 成图形的面积为 3 2233 0 0 319 (3)() 232 xx
5、dxxx ，选 C. 6 如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形， 则该几何体的体积是 ( ) A 8 3 B. 8 2 3 C. 4 3 D. 4 2 3 【解析】由三视图可知该几何体为正方体内部四棱锥PABCD(红线图形)。则正方体的边长 为 2，所以2 2,BC 2OP ,所以四棱锥PABCD的体积为 18 2 2 22 33 ，选 A. 7. 已知椭圆 2 2 1 4 x y的焦点为 1 F， 2 F， 在长轴 12 A A上任取一点M， 过M作垂直于 12 A A 的直线交椭圆于点P，则使得 12 0PF PF的点M的概率为（ ） A 1 2
6、 B 2 3 C 2 6 3 D 6 3 【解析】设( , )P x y，则 12 0(3,) ( 3,)0PF PFxyxy 22 30xy ， 2 2 2 6 3 10 43 x xx ，概率为 4 6 6 3 43 ，选 D - 3 - - 3 - 8已知函数 0,1 0, 2 )( xnx xkx xf，若0k，则函数1| )(|xfy的零点个数是 A1 B. 4 C.3 D. 2 【解析】由 10yf x ，得( )1f x 。若0x ，则( )ln1f xx，所以ln1x 或 ln1x ，解得xe或 1 x e 。若0x，则( )21f xkx，所以21kx或 21kx，解得 1
7、0x k 或 3 0x k 成立，所以函数1| )(|xfy的零点个数是 4 个，选 B. 9设F为双曲线 22 1 169 xy 的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆 与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则 FNFM FA 的值为（ C ） A. 2 5 B. 5 2 C. 4 5 D. 5 4 【 解 析 】 对 22 22 1 xy ab 有 1FNFM FAe ， 特 殊 情 形 ：A为 右 焦 点 ， ,Rt FMARt FNAFMAN， 21 2 FNFMFNAMa FAFAce 。选 C 10如图正四棱锥SABCD的底面边长为4 2，高8SE ，点F
8、在高SE上，且SFx， 记过点, , ,A B C D F的球的半径为 R x，则函数 R x的大致图像是（ ） 答案：A 二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 11 若1 ,2, 1,1 , 2abxc， 且()abc， 则 x= . 【解析】因为()(1, 1) (1,2)01abcxx， 填1。 12. 若某算法流程图如右图所示，则该程序运行后输出 的 B 等于 。 - 4 - - 4 - 【解析】第一次循环，2 13,1 12BA ; 第二次循环，2 3 17,2 13BA ;第三次循环，2 7 1 15,3 14BA ;
9、第 四次循环，2 15 131,4 15BA ;第五次循环，2 31 163,5 16BA ; 第六次循环，满足条件 输出63B 。填 63 13 已知变量 x、 y， 满足 2 20 2301(24) 0 xy xyzogxy x ,则 -? -+?+ 的最大值为 【解析】设2txy，则2yxt 。做出不等式组对应的可行 域如图为三角形OBC内。做直线2yx ，平移直线2yx ， 当直线2yxt 经过点 C 时，直线2yxt 的截距最大，此 时t最大，对应的z也最大，由 20 230 xy xy ,得1,2xy。即(1,2)C代入2txy得 4t ，所以 2 1(24)zogxy的最大值为
10、222 1(24)(44)83zogxyloglog，填 3. 14（文科） 给出下列等式： 22 c o s 4 ， 222 c o s 8 ， 2222 c o s 16 ， 请从中归纳出第n n * N个等式： 2 222 n 个 【解析】易得第nn * N个等式： 2 222 n 个 1 2cos n ； 14.( 理科)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、 乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为 【解析】甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生则，从 4 人 中先选 2 人一个班，然后在分班，有 23 43 36C
11、A 种。若甲乙两人分在一个班则有 3 3 6A 种， 所以甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为36630种，填 30 - 5 - - 5 - 15.（文科）若函数log(1) a yx a的定义域和值域均为,m n,则a的范围是 _ 1 (1,) e e_。 【解析】方程logaxx有两个不同正根，函数logayx和yx相切时 1 e ae，由对数函 数性质知 1 1 e ae。填 1 (1,) e e （ 理科理科 ）三）三.选做题：选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评 阅计分，本题共 5 分。 （1）.（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系
12、下，点 2 1,3, 33 ABO 是极点， 则AOB的面积等于_； (2).(不等式选择题）关于x的不等式 1 1 1 1 x x x x 的解集是_ _。 理科理科四、文科三四、文科三：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16 （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c，向量P=（sinA,b+c） ， q= （ac,sinCsinB） ,满足pq=pq（） 求角 B 的大小； （） 设m= （sin （C+ 3 ） , 1 2 ） , n=（2k,cos2A） （k1）, m n 有最大值为 3，求 k
13、的值. 17 （理科） （本小题满分 12 分）PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准 GB3095 2012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米 75 毫克/立方米之间空气质量为二 级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标。从某自然保护区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测 值数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示： PM2.5 日均值 （微克/立方米） 25,35 (35,45 (45,55 (55,65 (65,75 (75,8
14、5 频数 3 1 1 1 1 3 （1）从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽取 3 天，求恰有 1 天空气质量达到一级 的概率； （2）从这 10 天的数据中任取 3 天数据，记 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数， 求 的分布列； （3）以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量状况，则一年（按 366 天算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。 （精确到整数） 17 （文科） （本小题满分 12 分）某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学生成绩样本，得频率分布表如下： 组号 分组 频数 频率 第一组 230，235) 8 0
15、.16 第二组 235，240) 0.24 - 6 - - 6 - 第三组 240，245) 15 第四组 245，250) 10 0.20 第五组 250，255 5 0.10 合 计 50 1.00 （1）写出表中位置的数据； （2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学生 进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数； （3）在（2）的前提下，高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生，求 2 人中至少有 1 名是 第四组的概率 18 （理科） （本小题满分 12 分）如图分别是正三棱台 ABCA1B1C1的直观图和正视图，O，O1 分别是上下
16、底面的中心，E 是 BC 中点 （1）求正三棱台 ABCA1B1C1的体积； （2）求平面 EA1B1与平面 A1B1C1的夹角的余弦； （3）若 P 是棱 A1C1上一点，求 CPPB1的最小值 18 （文科）文科） （本小题满分 12 分）长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2AA ，2ABBC， O是底面对角线的交点. () 求证： 11/ / B D平面 1 BC D； () 求证： 1 AO 平面 1 BC D； () 求三棱锥 11 ADBC的体积。 - 7 - - 7 - 19已知各项均不相等的等差数列 n a的前三项和为 18， 2 n n a a 是一个与n无关的常
17、数，若 139 ,a a a恰为等比数列 n b的前三项， （1）求 n b的通项公式 （2）记数列 1 1 cos2012cos2013 nn n nn bb c bb ， n c的前三n项和为 n S，求证： 1 2 3 n Sn 20（本小题满分 13 分）已知平面内一动点P到点) 1 , 0(F的距离与点P到x轴的距离的差 等于 1 （I）求动点P的轨迹C的方程； （II） 过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线 12 , l l， 设 1 l与轨迹C相交于点,A B， 2 l与轨迹C相交于点,D E，求AD EB的最小值 21. 文科文科 （本小题满分 14 分） 设函数)0(ln)(
18、 2 xbxxaxf。 （)若函数)(xf在1x处 与直线 2 1 y相切，求实数a，b 的值；求函数, 1 )(e e xf在上的最大值；()当0b 时，若不等式xmxf)(对所有的 2 , 1, 2 3 , 0exa都成立，求实数 m 的取值范围。 21.理科理科 （本小题 14 分） 已知函数( )ln(1)f xxmx， 当0x 时， 函数( )f x取得极大值. （）求实数m的值； （）已知结论：若函数( )ln(1)f xxmx在区间( , )a b内导数都 存在，且1a ，则存在 0 ( , )xa b，使得 0 ( )( ) () f bf a fx ba .试用这个结论证明：
19、若 12 1xx ，函数 12 11 12 ()() ( )()() f xf x g xxxf x xx ，则对任意 12 (,)xx x，都有 ( )( )f xg x； （）已知正数, 321n 满足, 1 321 n 求证：当 2n，nN时，对任意大于1，且互不相等的实数 n xxxx, 321 ,都有 nnnn xfxfxfxxxf 22112211 - 8 - - 8 - 参考答案参考答案 一、一、 选择题：选择题： 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案答案 A C B D C. A A D C A 二、填空题：每小题分，共二、填空题：每小题分，共 16 分分
20、11. 1 12.63 。 13。3 14。文 2 222 n 个 1 2cos n 。 理科 30 文文 15 题题： 1 (1,) e e 理科三理科三： （1） 4 33 （2）) 1 , 1( （理科四，文科三）解答题：（理科四，文科三）解答题： 16解： （）由条件pq=pq|，两边平方得0a b ，2 分 得（ac）sinA（b+c） （sinCsinB）0， 根据正弦定理，可化为 a（ac）+（b+c） （cb）=0,即 222 acbac，4 分 又由余弦定理 222 acb2 a cosB,所以 cosB 1 2 ，B 3 .6 分 （）m=（sin（C+ 3 ）, 1 2
21、）, n=（2k,cos2A） （k1）, m n=2ksin（C+ 3 ）+ 1 2 cos2A=2ksin（C+B）+ 1 2 cos2A=2ksinA+ 2 cos A- 1 2 =- 2 sin A+2ksinA+ 1 2 =- 22 (sin)Akk+ 1 2 （k1）. 8 分 而 0A 2 3 ,sinA（0,1,故当 sinA1 时，m n取最大值为 2k- 1 2 =3,得 k 7 4 .12 分 17（理科）解: 解： （）记“从 10 天的 PM2.5 日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空 气质量达到一级”为事件A， 12 37 3 10 21 ( ) 40 CC P
22、 A C . （）依据条件，服从超几何分布：其中10,3,3NMn，的可能值为0,1,2,3，其 分布列为： 3 37 3 10 0,1,2,3 kk C C Pkk C （）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 7 10 P ，一年中空气质量 达到一级或二级的天数为，则(366,0.7)B 3 6 60 . 72 5 6 . 22 5 6E， 一年中平均有 256 天的空气质量达到一级或二级 17（文科）解： （1）的位置为 12，的位置为 0。304 分 （2）抽样比为 61 305 ，所以第三、四、五组抽中的人数为 3、2、18 分 （3）设 2 人中至少有 1 名是第四
23、组为事件 A，则 63 ( )1 155 P A 12 分 0 1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 - 9 - - 9 - 4 分 18（文科）解:() 证明：依题意： 11/ / B DBD， 且 11 B D在平面 1 BC D外2 分 11/ / B D平面 1 BC D 3 分 () 证明：连结 1 OCBDAC 1 AABD BD 平面 11 ACC A4 分 又O在AC上， 1 AO在平面 11 ACC A上 1 AOBD5 分 2ABBC 11 2 2ACAC 2OA 1 Rt AAO中， 22 11 2AOAAOA6 分 同理： 1 2OC 11 AOC
24、中， 222 1111 AOOCAC 11 AOOC 7 分， 1 AO 平面 1 BC D8 分 ()解： 1 AO 平面 1 BC D所求体积 11 11 32 VAOBD OC 114 2 22 2 2 323 12 分 18. 解:（1）由题意34, 32 11 CAAC,正三棱台高为32 分 21, 312, 33 111111 CBAABCCBAABC VSS4 分 （2） 设 1 ,OO分别是上下底面的中心，E是BC中点，F是 11C B中点.以 1 O 为原点， 过 1 O平 行 11 BC的线为x轴建立空间直角坐标系xyzO 1 . )0 , 2 , 32( 1 C，)3,
25、1 , 3(C， )3, 1 , 0(E，)0 , 4, 0( 1 A，)0 , 2 , 32( 1 B，)3, 1 , 0( 1 EA，)0 , 6 , 32( 11 BA， 设平面 11B EA的一个法向量),(zyxn ，则 0 0 11 1 BAn EAn 即 033 035 yx zy 取)5, 3, 3(n，取平面 111 CBA的一个法向 量) 1 , 0 , 0(m，设所求角为 则 37 375 cos nm nm 8 分 （3）将梯形 11ACC A绕 11C A旋转到 1 1 CCAA,使其与 111 CBA成平角 7 72 sin, 7 21 coscos 11 111
26、111 1111 ACC ACCC ACCC ACCACC 14 21 ) 3 cos(cos 1111 ACCBCC 34, 3, 111 11 BCCCBCC中，由余弦定理得67 1 BC 即 1 PBCP 的最小值为67 13 分 19/解（1） 2 n n a a 是一个与n无关的常数 1 ad2 分 又 311 1 33 2618 2 Sada 1 3a3 , n an4 分 - 10 - - 10 - 3n n b 6 分 （2） 1 111 33112(31) 22 31313131(31)(31) nnn n nnnnnn c 8 分 又因为 1 11 2 2 312 31 2
27、 3 31331 313331 nn nn nnnn 即 1 2 2 3 n n c 12 分 所以： 2311 111111 22()22 333333 n nn Snnn 12 分 20解：解析： （1）设动点P的坐标为( , )x y，由题意得1) 1( 22 yyx 2 分 化简得yyx22 2 当 0y时yx4 2 ；当0y时0x 所以动点P的轨迹C的方程为yx4 2 和0x（0y） 5 分 （2）由题意知，直线 1 l的斜率存在且不为 0，设为k，则 1 l的方程为 1 kxy 由 044x 4 1 2 2 kx yx kxy 得设 1122 ( ,), (,),A x yB xy
28、则 4,4 2121 xxkxx，1, 24 21 2 21 yykyy 6 分 因为 12 ll，所以 2 l的斜率为 1 k 设),(),( 4433 yxEyxD，则同理可得 4, 4 4343 xx k xx，1, 2 4 43 2 43 yy k yy 7 分 ) 1)(1() 1)(1( )()( 2143 yyyy FBAFEFFDFBAFEFFD FBFDFBAFEFFDEFAF FBEFFDAFEBAD 1)(1)( 21214343 yyyyyyyy 10 分 16248) 1 (48 4 48 2 2 2 2 k k k k 12 分 当且仅当 2 2 1 k k 即1k
29、 时，AD EB取最小值 1613 分 21. 文科解文科解: （1）( )2 a fxbx x 函数( )f x在1x 处与直线 1 2 y 相切 (1)20 , 1 (1) 2 fab fb 解得 1 1 2 a b 3 分 2 2 111 ( )ln,( ) 2 x f xxxfxx xx 当 1 xe e 时，令( )0fx 得 1 1x e ；令( )0fx ，得1;xe - 11 - - 11 - 1 ( ),1f x e 在上单调递增，在1，e上单调递减， max 1 ( )(1) 2 f xf 8 分 （2） 当 b=0 时，( )lnf xax若不等式( )f xmx对所有的
30、 2 3 0,1, 2 axe 都成 立， 则lnaxmx对所有的 2 3 0,1, 2 axe 都成立， 即,lnxxam对所有的 2 , 1, 2 3 , 0exa都成立， 令)(,ln)(ahxxaah则为一次函数， min ( )mh a 2 1,ln0,xex 3 ( )0, 2 h aa在上单调递增 min ( )(0)h ahx ， mx 对所有的 2 1,x e 都成立 22 1,1,xeex 2 min ()mxe 14 分 21.（理科）解： （） 1 ( ) 1 fxm x . 由(0)0 f ，得1m ，此时( ) 1 x fx x . 当( 1,0)x 时，( )0f
31、x，函数( )f x在区间( 1,0)上单调递增； 当(0,)x时，( )0fx，函数( )f x在区间(0,)上单调递减. 函数( )f x在0x 处取得极大值，故1m .3 分 （）令 12 11 12 ()() ( )( )( )( )()() f xf x h xf xg xf xxxf x xx ，4 分 则 12 12 ()() ( )( ) f xf x h xfx xx .函数( )f x在 12 (,)xx x上可导，存在 012 ( ,)xx x， 使得 12 0 12 ()() () f xf x fx xx . 又1 1 1 )( x xf 0 0 00 11 ( )(
32、 )() 11(1)(1) xx h xfxfx xxxx 当 10 (,)xx x时，( )0h x，( )h x单调递增， 1 ( )()0h xh x； 当 02 (,)xxx时，( )0h x，( )h x单调递减， 2 ( )()0h xh x； 故对任意 12 (,)xx x，都有( )( )f xg x.8 分 （）用数学归纳法证明. 当2n 时， 12 1Q，且 1 0， 2 0， 1 12212 ( ,)xxx x，由（）得( )( )f xg x，即 12 1 1221 122111122 12 ()() ()()()()() f xf x fxxxxxf xf xf x
33、xx ， 当2n 时，结论成立.9 分 假设当(2)nk k时结论成立，即当, 1 321 k 时， kkkk xfxfxfxxxf 22112211 . 当1nk时， 设正 数, 121k 满足, 1 1321 k 令 k m 321 ， , 2 2 1 1 mmm k k - 12 - - 12 - 则1 1 k m，且1 21 k . 112211112211 kkkkkkkk xxxxmfxxxxf 1112211 112211 112211 )( kkkk kkkk kkkk xfxfxfxf xfxfmxfmxfm xfxxxmf 13 分 当1nk时，结论也成立. 综上由，对任意2n，nN，结论恒成立. 14 分
