1、 - 1 - - 1 - 20202020 年年高考高考数学数学（理）（理）模拟模拟试题试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的项符合题目要求的. 1已知集合 2 |10Mx x , 1 1 |24, 2 x NxxZ ,则MN ( ) A0 , 1 B1 C1 , 0 , 1 D 2 在复平面内,复数54 , 12ii 对应的点分别为 A,B 若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的 复数的模是( ) A13 B13 C2 13 D2
2、 10 3下列函数中既是偶函数,又是区间( 1,0)上的减函数的是( ) Acosyx B1xy C x x y 2 2 ln D xx eey 4已知函数 2 ,1 ( ) (1),1 x x f x f xx ,则 2 (log 7)f=( ) A 7 16 B 7 8 C 7 4 D 7 2 5一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边 三角形,则这个几何体的体积为 ( ) A (4) 3 3 B (8) 3 6 C (8) 3 3 D(4) 3 6已知实数, x y满足条件 08,07, 012, 10672, 0219, , xy xy xy xy x yZ 则使得目标函数
3、450350zxy取得最大值的, x y的值分别为( ) A0，12 B12，0 C8，4 D7，5 7函数sin()(0)yx 的部分图象如右图所示,设P是图象的最高点,A B是图象与x轴 的交点,记APB,则sin2的值是( ) A 16 65 B 63 65 C 16 63 D 16 65 x A B P y O - 2 - - 2 - 8下列命题中:“xy”是“ 22 xy”的充要条件; 已知随机变量X服从正态分布 2 (3,)N,(6)0.72P X ,则(0)0.28P X ; 若n组数据 1122 ( ,),(,),(,) nn x yxyxy的散点图都在直线21yx 上,则这n
4、组数据的相 关系数为1r ; 函数 1 ( )( ) 3 x f xx的所有零点存在区间是 1 1 ( , ) 3 2 .其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 9 如右图所示， 单位圆中弧AB的长为x,( )f x表示弧AB与弦AB所围成的弓 形（阴影部分）面积的 2 倍，则函数( )yf x的图象是( ) 10抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F,点,A B在此抛物线上,且90AFB,弦AB的中点M 在该抛物线准线上的射影为M,则 | | MM AB 的最大值为( ) A3 B 3 2 C1 D 2 2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5
5、 分，共分，共 20 分分. 11下图给出了一个程序框图,其作用是输入x的值,输出相应的y值若要使输入的x值与输 出的y值相等,则这样的x值有_个. 12一个盒子里有 20 个大小形状相同的小球，其中 5 个红球，5 个黄球，10 个绿球，从盒子 中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是_. 13已知二项式 5 3 1 ()x x 展开式中的常数项为p,且函数 2 2 1, 10 ( ) 3,01 10 xx f x p xx ,则 1 1 ( )f x dx _. 14 已知数列 n a为等差数列,若 m aa, n ab * (1,)nmm nN,则 m n nbma a nm .类比
6、上 述结论,对于等比数列 n b * (0,) n bnN,若, mn bc bd * (2,)nmm nN,则可以得到 m n b _. - 3 - - 3 - 三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答. 若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分， 本题共本题共 5 分分. 15.(1)（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线 l 与圆4相交 于,A B两点,若| 4AB ,则直线 l 的极坐标方程为_. (2)（不等式选做题）不等式 2 |3|1|3xxaa对任意实数x恒成立,则实数a的取值
7、范围 是_. 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分 12 分） 已知向量 1 (sin , 1),( 3cos ,) 2 axbx,函数( )()2.f xaba (1)求函数( )f x的最小正周期 T 及单调减区间; (2)已知 a， b， c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边， 其中 A 为锐角，2 3a ,4c ,且( )1f A . 求 A，b 的长和ABC 的面积. 17.（本小题满分 12 分） 小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二
8、关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进 入下 一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值 分别为 1000 元,3000 元,6000 元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依 次为 4 3 2 , 5 4 3 ,且每个问题回答正确与否相互独立. (1)求小王过第一关但未过第二关的概率; (2)用 X 表示小王所获得奖品的价值,写出 X 的概率分布列,并求 X 的数学期望. 18.（本小题满分 12 分） 各项均为正数的数列 n a前n项和为 n S,且 NnaaS nnn , 124 2 . (1)求数列 n a的通项公式;
9、 (2) 已 知 公 比 为)( Nqq的 等 比 数 列 n b满 足 11 ab ， 且 存 在 Nm满 足 mm ab , 31 mm ab,求数列 n b的通项公式. - 4 - - 4 - 19.（本小题满分 12 分） 如图，在正三棱柱 111 CBAABC 中，ABAA2 1 ，N是 1 CC的中点，M是线段 1 AB上的动 点（与端点不重合） ，且 1 ABAM. (1)若 2 1 ，求证: 1 AAMN ; (2)若直线MN与平面ABN所成角的大小为，求sin的最大值. 20.（本小题满分 13 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长是短轴长的两
10、倍，焦距为 3 2 . (1)求椭圆C的标准方程; (2)设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成 等比数列，求OMN面积的取值范围. 21.（本小题满分 14 分） 已知函数 2 ( )ln(1)f xxkx（kR）. (1)若函数( )yf x在1x 处取得极大值,求k的值; (2)0,)x时,函数( )yf x图象上的点都在 0 0 x yx 所表示的区域内,求k的取值范围; (3)证明:2) 12ln( 12 2 1 n i n i ， Nn. - 5 - - 5 - 参 考 答 案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D
11、 C B D A C D D 6.解析：易知 B,C 不在可行域，A，D 选项的 z 分别为 4200，4900，故选 D. 7.解析：取2,1xy 时，有 22 xy但得不到xy,故不必要，错误; 的正态分布的对称轴是3x ，(0)(6)1(6)0.28P XP XP X ，正确; 斜率为负数表明负相关,得0r ,由于数据均在直线上,故相关程度最强,为1r ,正确; 1111 3222 111111 ( )( )( )0,( )( )( )0, 333232 ff得 11 ( )( )0 32 ff，且( )f x单调，故正确. 8.解析：过 P 作PQx轴于 Q，则 3 13 44 tan
12、,tan, 1212 TT APQBPQ tantan tantan()8 1tantan APQBPQ APQBPQ APQBPQ .则 2 2tan16 sin2 1tan65 . 另解：由图可知, 2 ,C、D 是负值根本不可能.则2,故sin20,故排除 B. 9.提示：( )sin ,( )1 cosf xxx fxx . 10.解析： 222 1|2 |(|)| 2222 AFBFAB MMAFBFAB |2 |2 MM AB . 二、填空题 11.3 12. 2 3 13.2 4 14.bmn nm dn cm解析：观察an的性质：amn nbma nm ,则联想 nbma 对应
13、等比数列bn 中的d n cm,而an中除以(nm)对应等比数列中开(nm)次方,故 bmn nm dn cm. 三、选做题 15.（1）cos2 3. 解析：设极点为 O,由该圆的极坐标方程为 4,知该圆的半径为 4,又 直线 l 被该圆截得的弦长|AB|为 4,所以AOB60 ,极点到直线 l 的距离为 d4 cos30 2 3,所以该直线的极坐标方程为cos2 3. （2）1a 或4a .解析：f(x)|x3|x1| ， 2x3x， 画出函数 f(x)的图 象,如图,可以看出函数 f(x)的最大值为 4,故只要 a23a4 即可,解得1a 或4a . 四、解答题 16.解析：(1)( )
14、sin(2) 6 f xx （2 分） ,T（4 分） - 6 - - 6 - 单调递减区间是 5 ,() 36 kkkZ （6 分） (2)( )1 3 f AA ; 8 分） sin sin1 cA C a 2 C 6 B 2b （10 分） 1 22 32 3 2 ABC S . （12 分） 17.解析：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为 P1, 则 P1 4 5 2 1 4 3 4 1 4 7 25. （4 分） (2)X 的取值为 0,1000,3000, 6000,则 P(X0)1 5 4 5 1 5 9 25, P(X1000) 4 5 2 1 4 3 4 1 4 7 2
15、5, P(X3000) 4 5 2 3 4 2 1 2 3 2C1 2 2 3 21 3 7 75, P(X6000) 4 5 2 3 4 2 2 3 2C1 2 2 3 21 3 4 15, X 的概率分布列为 （10 分）(错一列扣 2 分，扣完为止) X 的数学期望 EX0 9 251000 7 253000 7 756000 4 152160. （12 分） 18.解析：(1)124 2 nnn aaS，124 1 2 11 nnn aaS 两式相减得： nnnnn aaaaa224 1 22 11 ，（2 分） 即0)2)( 11 nnnn aaaa2 1 nn aa，（4 分） n
16、 a为首项为 1，公差为 2 的等差数列，故12 nan（6 分） (2) 1 n n qb，依题意得 52 12 1 mq mq m m ，相除得 N mm m q 12 6 1 12 52 （8 分） 312112mm或，代入上式得 q=3 或 q=7，（10 分） 1 7 n n b或 1 3 n n b.（12 分） 19.解析：如图,建立空间直角系,则 11 13 (1,0,2),( ,0,2 ), (1,0,0),( ,1),(0,0,2) 22 BMBNA（1 分） (1)当 2 1 时,) 1 , 0 , 2 1 (M,此时 3 (0,0) 2 MN , 1 (0,0,2)AA
17、 ,（3 分） 因为 1 0MN AA，所以 1 MNAA.（5 分） (2)设平面 ABN 的法向量),(zyxn ，则 0 0 ANn ABn ， 即 0 2 3 0 zy x ，取)3, 2 , 0(n。而)21 , 2 3 , 2 1 (MN，（7 分） X 0 1000 3000 6000 P 9 25 7 25 7 75 4 15 - 7 - - 7 - nMN,cossin 2557 32 2 2 1 2 1 557 32 （9 分） 10，1 1 ，故 2 2 34 64 630 sin 105105 11 7552 （11 分） 当且仅当 4 51 ，即 5 4 时，等号成立
18、. （12 分） 20.解析:(1)由已知得 222 22 2 3 2 ab c a cab 2 1 a b C方程： 2 2 1 4 x y （4 分） (2)由题意可设直线l的方程为：ykxm (0,0)km 联立 2 2 1 4 ykxm x y 消去y并整理，得： 222 (14)84(1)0kxkmxm 则 2222 6416(14)(1)k mkm 22 16(41)0km, 此时设 11 ( ,)M x y、 22 (,)N xy 2 1212 22 84(1) , 1414 kmm xxx x kk 于是 22 12121212 ()()()y ykxm kxmk x xkm
19、xxm（7 分） 又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列， 22 2 121 112 1212 ()yyk x xkm xxm k xxx x 22 2 2 8 0 14 k m m k 由 0m 得： 2 1 4 k 1 2 k .又由0 得： 2 02m 显然 2 1m （否则： 12 0x x ，则 12 ,x x中至少有一个为 0，直线OM、ON 中至少有一 个斜率不存在，矛盾！ ） （10 分） 设原点O到直线l的距离为d,则 2 12 2 11 1 22 1 OMN m SMN dkxx k 22 1212 1 ()4(1)1 2 mxxx xm 故由m得取值范围可得OMN面积
20、的取值范围为(0,1)（13 分） 21.解析：(1)kx x xf2 1 1 )( ，由 4 1 0) 1 ( kf得 经检验符合题意（3 分） (2)依题意知，不等式0) 1ln( 2 kxxx在, 0x恒成立.令 2 ) 1ln()(kxxxxg, 当 k0 时,取 x1,有02ln1) 1 (kg，故 k0 不合（4 分） 当 k0 时， g(x) x x12kx 212 1 xkxk x . 令 g(x)0，得 x10，x212k 2k 1. （5 分） 当 k1 2时， 12k 2k 0，g(x)0 在(0，)上恒成立，因此 g(x)在0，)上单调递减， - 8 - - 8 - 从
21、而对任意的 x0，)，总有 g(x)g(0)0，故 k1 2符合题意（6 分） 当 0k1 2时， 12k 2k 0, 对于 x 0，12k 2k ，g(x)0， 故 g(x)在 0，12k 2k 内单调递增，因此当取 x0 0，12k 2k 时，g(x0)g(0)0，不合 综上， 1 2 k . （8 分） (3)证明：当 n1 时，不等式左边2ln32右边，所以不等式成立（9 分） 当 n2 时，在(2)中取 k1 2，得 2 ) 1ln( 2 x xx（10 分） 取 x= 2 2i1代入上式得: 2 2i1-ln(1+ 2 2i1) 2 i 2 2 (23)(21)ii （12 分） i1 n 2 2i1ln 1 2 2i1 2ln3 i2 n 2 (23)(21)ii i1 n 2 2i1ln(2n1)2ln31 1 2n12. 综上， i1 n 2 2i1ln(2n1)2， Nn （14 分）
