1、 - 1 - - 1 - 高考高考高高三三数学数学模拟模拟试题试题 第卷(共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1复数 3 1 1 i i z （i为虚数单位）对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知非空集合 ,A B ，全集 BAU ，集合 BAM ， 集合 (N B）（ A） ，则（ ） A MNM B NM CM N DM N 等差数列 n a 的前n项和为 n S ，若 15 4 a ， 55 5 S ，则过点 P (3 ， 3 a ) ，Q（4 ， 4 a ）
2、的直线的斜率为（ ） A4 B4 1 C4 D14 4执行如图所示的程序框图，若输入 2a ，则输出的结果为( ) A3 B 4 C5 D6 5椭圆C: 2 2 1 4 x y 与动直线l： 22210mxymm R ， 则直线l与椭圆 C 交点的个数为（ ） A0 B 1 C2 D不确定 6“ 1a ”是“ 6 (1)ax 的展开式的各项系数之和为 64”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7. 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ） - 2 - - 2 - 8在等比数列 n a 中，对于 n * * N
3、N 都有 n nn aa3 21 ，则 621 aaa （ ） A 113 )3( B 133 )3( C 5 3 D 6 3 9已知关于x的方程 11 lg = 21 lg x a a 有正根,则实数a的取值范围是( ) A(0,1) B 1 10 10 （，） C 1 (,1) 10 D 10 （ ，） 10已知点O为 ABC 外接圆的圆心，且 0OAOBCO ,则 ABC 的内角A等于（ ） A30 B60 C90 D120 11函数 ( )sin()f xAx （ 0A , 0 ）的图像在 4 3 , 2 3 上单调递增，则 的最大值是（ ） A2 1 B 4 3 C 1 D2 12定
4、义在 ) 2 , 0( 上的函数 )(xf ， fx 是它的导函数，且恒有 xxfxftan)()( 成立， 则（ ） A 3 ()2 () 43 ff B (1)2 ()sin1 6 ff C 2 ()() 64 ff D 3 ()() 63 ff 第卷 (共 90 分) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题纸上. 13 2 0 cos2 cossin x dx xx . 14将 7 支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有 种 放法(用数字作答) - 3 - - 3 - 15已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，
5、左右焦点分别为 12 ,FF ， 且它们在第一象限的交点为P， 12 PFF 是以 1 PF 为底边的等腰三角形若 1 10PF ，双曲线 的离心率的取值范围为 1 , 2 则该椭圆的离心率e的取值范围是 16三棱锥 BCDA 的外接球为球O， ABC 与 ACD 都是以AC为斜边的直角三角形， BCD 是以BD为斜边的等腰直角三角形, 且 2BD ，向量DA与AB的夹角为 3 2 ，则 球O的表面积为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位 置. 17. (本小题满分 12 分) 已知 ABC 的内角A，B，C的对边分别为 cba, ，且 1 c
6、os cos aA bC . （1）求角A； （2）若 1a ，求 ABC 的面积S的最大值 18. (本小题满分 12 分) 如图甲， 已知ABCD是上、 下底边长分别为2和6， 高为 3 的等腰梯形， 将它沿其对称轴 1 OO 折成直二面角，如图乙. （1）证明：AC 1 BO （2）求二面角OAC 1 O 的大小. - 4 - - 4 - 19. (本小题满分 12 分) 在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表: 平面几何选讲 极坐标与参数方程 不等式选讲 合计 男同学(人数) 12 4 6 22 女同学(人数) 0 8 12 20 合计 12 12 18 42 （
7、1）在统计结果中，如果把平面几何选讲和极坐标与参数方程称为几何类，把不等式选讲称 为代数类，我们可以得到如下 22 列联表: 几何类 代数类 合计 男同学(人数) 16 6 22 女同学(人数) 8 12 20 合计 24 18 42 据此统计你是否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握? （2）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中 随机选出 7 名同学进行座谈. 已知这名学委和两名数学科代表都在选做“不等式选讲”的同学 中. 求在这名学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率； 记抽取到数学科代表的人数为X，求X的分布列
8、及数学期望 ()E X . 下面临界值表仅供参考： )( 2 kxP 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式： 2 2 11221221 1212 ()n n nn n n n n n ） 20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 2 :,Cyx 过点 00 1 ,0 8 A xx 作直线l交抛物线于点 QP, （点P在第一象限） . （1）当点是抛物线的焦点，且弦长 2PQ 时，求直线l的方程； （2）设点关于x轴的对称点为M,直线PM交x轴于点，且
9、 .BPBQ 求证：点的坐标是 0,0 , x 并求点到直线l的距离d的取值范围. - 5 - - 5 - 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 2 32 ( )ln() 2 x f xaxaa ，aR 且 0a （1）讨论函数 ( )f x 的单调性； （2）当 0a 时，若 22 12 aaxxaa ，证明: 2 21 21 ()() 2 f xf xa a xx . 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清 题号. 22.（本题满分 10 分) 选修 41：几何证明选讲 如图, ABC 内接于O, AB是O的直径, PA是过点A的
10、直线, 且 ABCPAC . (1)求证: PA是O的切线; (2)如果弦CD交AB于点E, 8AC , 5:6:EDCE , 3:2:EBAE , 求直径 AB的长. - 6 - - 6 - 23 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆C的方程是 04 22 xyx ，圆心为C在以坐标原点为极点,以x轴 的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 1 C ： 4 3sin 与圆C相交于 ,A B 两点 （1）求直线AB的极坐标方程； （2）若过点C(2,0)的曲线 C2: 3 2 2 1 2 xt yt (t是参数)交直线AB于点D,交 y 轴于点E，求 |CD
11、|:|CE|的值. 24(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知函数 ( )1f xx （1）解不等式: 1( )(1)2f xf x ； （2）若 0a ，求证： ()( )f axaf x ( )f a . - 7 - - 7 - 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 参考答案 D B A B C B C D C A C D 5C 动直线l即为： 1 1 2 ym x ，动直线过定点 1 1, 2 ，该点在椭圆内部，所以总 有两个交点，选 C. 8提示：由题知， 123456
12、a aaaaa 33 34 aa 2 36 (3 )3 ，选. 9提示：由题只须 1 lg (0,1) 1 lg a a ，解得lg ( 1,0)a ，从而 实数a 1 (,1) 10 ，故选 C. 11提示： （方法一）令x t ，原题等价于函数 sinyt 的图像在 , 2 4 上单调递增如图： 只须 22 ，从而 1 选. （方法二）因为 0A , 0 , 所以函数 ( )sin()f xAx 的增区间满足： kxk2 2 2 2 ，化简得 k x k2 2 2 2 k Z. 又因为函数 ( )sin()f xAx 在 4 3 , 2 3 上单调递增， 所以 4 3 , 2 3 kk2
13、2 , 2 2 ， - 8 - - 8 - 解得 k k 41 82 ，所以 1 ，即的最大值为 1. 12提示： 由 xxfxftan)()( 得cos ( ) sin( )0x f xx f x 可见 2 cos( )sin( ) 0 sin x f xx fx x ，即函数 ( ) sin f x x 在 ) 2 , 0( 上单调递增,所以选 D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 130 14112 15 12 e 35 163 13提示：因 cos2 cossin cossin x xx xx ，所以 2 0 cos2 cossin x dx xx 2 0
14、 (cossin )xx dx 2 0 (sincos )|1 10xx . 提示： （方法一）令甲、乙两个笔筒，放入甲筒里的情况共有四种，每种情况里的方法数分别 为 2 7 C ， 3 7 C ， 4 7 C ， 5 7 C ，从而共有 2345 7777 CCCC 353 888 2112CCC （方法二）将 7 支不同的笔放入两个不同的笔筒中，先将 7 支不同的笔分成两份，有两种情 况，一是一份 5 支，另一份 2 支，有 52 72 C C 方法，二是一份 4 支，另一份 3 支，有 43 73 C C 方法， 共有 5243 7273 56C CC C 种方法，接着将两份笔分别放入两
15、个不同的笔筒中有 2 2 2A 种方法， 由分步计数原理得56 2 112 种方法. 三、解答题：本大题共 70 分. - 9 - - 9 - 17解： （1）解法:由正弦定理可知 sin sin aA bB , 所以 sin1 cos sincos AA BC ， 2 分 即sin cossinsincosACBBA ， 又因为在 ABC 中，sin sin()sin()BACAC ， 4 分 又sin( )sincoscossinACACAC ， 所以sin cossincoscossinsincosACACACBA ， 即cos (sinsin)0ACB ， 6 分 又因为在 ABC 中
16、,sin 0,sin0CB ， 所以cos 0A ，即 2 A . 8 分 （方法二）:由余弦定理可知 222 cos 2 bca A bc , 222 cos 2 bac C ab ， 代入原式中，得 222222 22 bacbca b bc ， 2 分 即 2222222 ()2()c bacb cbca b ，即 222222 ()()c acbb bca ， 于是 222 ()()0bcabc ， 因为 0bc ，所以 222 0bca ， 6 分 所以 2 A . 8 分 由（1）知 22 1bc ，又因为 22 2bcbc ，所以 1 2 bc （当 cb 时取“=”） ， 10
17、 分 又因为 ABC 的面积 2 bc S 1 4 ，从而 ABC 的面积S的最大值为 1 4 . 12 分 - 10 - - 10 - 18解: （1）证明： （方法一） 由题设知 OAOO1，OBOO1. 所以AOB 是所折成的直二面角的平面角， 即 OAOB. 所以有 AO平面 OO1B，所以 B O1AO. 如右图在直角梯形 OO1CB 中，连 BO1 交 OC 于 E， 由已知， O1C=1，OO1= 3，OB=3，4 分 所以在 RtOO1C 中， 1 3 tan 3 OOC ，所以O1OC=30o. 在 RtO1OB 中， 1 tan3OO B ，所以OO1B=60o. 所以O1
18、EO=90o， 于 是BO1 OC. （ 或 由 三 角 形 相 似 及 相 似 比 得 222 11 O EOEOO 得 BO1OC 可参照给分） 又 OCAO=O，所以 BO1平面 AOC，又 AC平面 AOC， 所以 ACBO1. 6 分 （2） （方法一） 解:连 OD 交 AO1 于 E， 由(1)可知 OEAO1 又 CO1平面 AOO1D， 而 OE 在平面 AOO1D 内，所以 CO1OE， 从而 OE平面 AO1C. 过 E 作 EFAC 于 F，连 OF. 即在 RtOEF 中， OEF=90o， EFO 即是二面角 OACO1 的平面角. 8 分 由(1)可知 OE= 3
19、 2 ，AE= 3 3 2 ， 而AEFA O1C，则 1 EFAE COAC ，而 AC= 13， 所以 EF= 3 39 26 ， 10 分 从而 tanEFO= OE EF = 326 23 39 39 3 ， 11 分 即二面角 OACO1 的大小是 39 arctan 3 . 12 分 - 11 - - 11 - （1） （方法二） 由题设知 OAOO1，OBOO1.所以AOB 是所折成的直二面角的平面角， 即 OAOB. 故可以 O 为原点，OA、OB、OO1 所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立（如图）空间直角坐标系，2 分 则 A（3，0，0） B（0，3，0） ，C（0，1
20、， 3） ，O1（0，0，3）. 从而 . 0333),3, 3, 0(),3, 1 , 3( 11 BOACBOAC 所以 ACBO1. 6 分 1 9解： （1）由题 2 22201824 )681216(42 2 252 4.5823.841 55 . 所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关. 4 分 （2）由题可知在“不等式选讲”的 18 位同学中，要选取 3 位同学. 6 分 令事件 A 为“这名学委被抽取到”；事件 B 为“两名数学科代表被抽到”， - 12 - - 12 - 则 3 3 3 18 () C P AB C , 2 17 3 18 ( )
21、 C P A C . 所以 () (|) ( ) P AB P B A P A 2 17 3 3 C C 21 17 16136 . 8 分 (另解: 令事件 A 为“在这名学委被抽取到的条件下，两名数学科代表也被抽到”； 则 2 17 2 2 )( C C AP 21 17 16136 . 8 分 由题X的可能值有 0,1,2.依题 3 16 3 18 35 (0) 51 C P X C ； 21 162 3 18 5 (1) 17 C C P X C ； 12 162 3 18 1 (2) 51 CC P X C . 10 分 从而X的分布列为: X 0 1 2 P 35 51 5 17
22、1 51 11 分 于是 ()E X 3551 012 511751 171 513 . 12 分 (另解：因为X服从超几何分布，所以 ()E X 21 3 183 . 12 分） - 13 - - 13 - 由题意知，BM/ ,BP 211122BB x yy xx yx y , 即 121221B yyxx yx y 22 12211212. y yy yyyy y 显然 , 0 21 myy , 021 xyyxB 0,0 . Bx 9 分 由题意知， MBQ 为等腰直角三角形， - 14 - - 14 - 1, PB k 即 12 12 1, yy xx 也即 12 22 12 1, yy yy , 1 21 yy, 14)( 21 2 21 yyyy - 15 - - 15 - - 16 - - 16 - 因为 0a ，所以 2 3 2 aax a aaxy 在 22 ,aa aa 上为增函数， 所以 32 2222 22 0 2 aa gxg aaaaaaaaa aaaa . 从而知 0 x g 在 22 (,)xaa aa 上恒成立， - 17 - - 17 - 所以函数 xa a xfxg 2 2 在 22 (,)xaa aa 内单调递减. 从而原命题成立. 12 分 - 18 - - 18 - - 19 - - 19 - - 20 - - 20 -
