1、14.2 14.2 乘法公式乘法公式14.2.1 14.2.1 平方差公式平方差公式1 4.2 乘法公式1 4.2.1 平方差公式学习目标1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差 公式的结构特征公式的结构特征.（重点）（重点）2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）（难点）学习目标1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差【导入新课】【导入新课】复习引入多项式与多项式是如何相乘的？多项式与多项式是如何相乘的？（x 3)(x5）=x25x 3x 15=x28x 15.(a+b)(m+n)=a
2、m+an+bm+bn【导入新课】复习引入多项式与多项式是如何相乘的？（x 【讲授新课】【讲授新课】平方差公式一探究发现面积变了吗？a米米5米米5米米a米米(a-5)相等吗？【讲授新课】平方差公式一探究发现面积变了吗？a 米5 米5 米a 米（x 1)(x1）；）；（m 2)(m2）；）；（2m 1)(2m1）；）；（5y z)(5yz）.计算下列多项式的积，你能发现什么规律？计算下列多项式的积，你能发现什么规律？算一算：看谁算得又快又准.（x 1)(x 1）；计算下列多项式的积，你能发现什（m 2)(m2）=m2 22（2m 1)(2m1)=4m2 12（5y z)(5yz)=25y2 z2（
3、x 1)(x1）=x2 1，想一想：这些计算结果有什么特点？想一想：这些计算结果有什么特点？x2 12m222(2m)2 12(5y)2 z2（m 2)(m 2）=m 2 2 2（2 m 1)(两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差等于这两数的平方差.公式变形公式变形1.（a b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2知识要点平方差公式(a+b)(a b)=a 2 b 2 两数和与这两数差的积,等于这平方差公式平方差公式注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等 (a+b)(a-b)=(a)2
4、-(b)2 相同为a 相反为b，-b适当交换适当交换合理加括号合理加括号平方差公式注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(-1)(1+)(1+a)(-1+a)aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-12 1()2-12(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(-1)(1+)练一练：口答下列各题：(l)(-a+b)(a+b)=_.(2)(a-b)(b+a)=_.(3)(-a-b)(-a+b)=_.(4)(a-b)(-a-b)=_.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2练一练：口答下列各题：a 2-b 2 a 2-b
5、 2 b 2-a 2 b 2-a典例精析NoImage例例1 1 计算：计算：(1)(3x(1)(3x2)(3x2)(3x2)2)；(2)(2)（-x+2y)(-x-2y).x+2y)(-x-2y).(2)原式(-x)2-(2y)2x2-4y2.解：（1）原式=(3x)222=9x24；典例精析例1 计算：(1)(3 x 2 )(3 x 2（3）(2m+n)(n-2m)（4）(3b-2a)(-3b-2a)（3）(2 m+n)(n-2 m)方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二左边是两个二项
6、式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右右边是相同项的平方减去相反项的平方；边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的公式中的a和和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式可以是具体数，也可以是单项式或多项式方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：(1)(3x5)(3x5)；(2)(2ab)(b2a)；(3)(7m8n)(8n7m)针对训练针对训练解：解：(1)原式原式=(3x)2529x225；(2)原式原式=(2a)2b24a2b2；(3)原式原式=(7m)2
7、(8n)249m264n2；利用平方差公式计算：针对训练解：(1)原式=(3 x)2 5 2例例2 2 计算计算:(1)102(1)10298;98;(2)(y+2)(y-2)(y-1)(y+5).(2)(y+2)(y-2)(y-1)(y+5).解:(1)10298（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=1002-22=10000 4=（1002）(1002)=9996；=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.通过合理变形，利通过合理变形，利用平方差公式，可用平方差公式，可以简化运算以简化运算.不符合平方差公式运不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘算条
8、件的乘法，按乘法法则进行运算法法则进行运算.例2 计算:解:(1)1 0 2 9 8（2）(y+2)(试一试试一试（1）（）（2x+1）(2x-1)-3 x;(2)(1-2x)(1+2x)(1+4x)(1+16x)试一试（1）（2 x+1）(2 x-1)-3 x;针对训练计算计算:(1)51(1)5149;(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).49;(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).解:(1)原式=（501）(501)=502-12=2500 1=2499；(2)原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5
9、x-10.针对训练计算:解:(1)原式=（5 0 1）(5 0 1)例例3 先化简，再求值：先化简，再求值：(2xy)(y2x)(2yx)(2yx)，其中，其中x1，y2.原式原式51252215.解：原式解：原式4x2y2(4y2x2)4x2y24y2x25x25y2.当当x1，y2时，时，例3 先化简，再求值：(2 x y)(y 2 x)(2 y x 对于任意的正整数n，整式(3n1)(3n1)(3n)(3n)的值一定是10的整数倍吗？即即(3n1)(3n1)(3n)(3n)的值是的值是10的倍数的倍数解：原式解：原式9n21(9n2)10n210.(10n210)10=n2-1.n为正整
10、数，为正整数，n2-1为整数为整数【议一议】【议一议】对于任意的正整数n，整式(3 n 1)(3 n 1)方法总结：对于平方差中的方法总结：对于平方差中的a和和b可以是具体数，可以是具体数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系方法总结：对于平方差中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或 王大伯家把一块边长为王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了米的正方形土地租给了邻居李大妈今年
11、王大伯对李大妈说：邻居李大妈今年王大伯对李大妈说：“我把这块我把这块地一边减少地一边减少4米，另外一边增加米，另外一边增加4米，继续租给你，米，继续租给你，你看如何？你看如何？”李大妈一听，就答应了你认为李大李大妈一听，就答应了你认为李大妈吃亏了吗？为什么？妈吃亏了吗？为什么？a2a216，解：李大妈吃亏了解：李大妈吃亏了理由：原正方形的面积为理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为改变边长后面积为(a4)(a4)a216，李大妈吃亏了李大妈吃亏了【考考你】【考考你】王大伯家把一块边长为a 米的正方形土地租给了邻居李大妈方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出方法总结：解决实际问题的关键
12、是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题算式，然后根据公式化简算式，解决问题方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式1.下列运算中，可用平方差公式计算的是下列运算中，可用平方差公式计算的是()A(xy)(xy)B(xy)(xy)C(xy)(yx)D(xy)(xy)当堂练习当堂练习C2.计算（计算（2x+1）（）（2x-1）等于（）等于（）A4x2-1 B2x2-1 C4x-1 D4x2+1 A3.两个正方形的边长之和为两个正方形的边长之和为5，边长之差为，边长之差为2，那，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差
13、是积，差是_101.下列运算中，可用平方差公式计算的是()当堂练习C 2.（1）(a+3b)(a-3b)；=4a29；=4x4y2.原式=(2a+3)(2a-3)=a29b2；=(2a)232 原式=(-2x2)2y2 原式=(a)2(3b)2（2）(3+2a)(3+2a)；（3）(2x2y)(2x2+y).4.利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：（1）(a+3 b)(a-3 b)；=4 a 2 9；=4 x 4 y5.计算：计算：20152 20142016.解：20152 20142016=20152 (20151)(2015+1)=20152（2015212)=20152 20152
14、+12=15.计算：2 0 1 5 2 2 0 1 4 2 0 1 6.解：2 0 1（1）（）（a-2)(a+2)(a2+4)解解:原式原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.6.利用平方差公式计算:（1）（a-2)(a+2)(a 2 +7.先化简，再求值：先化简，再求值：(x1)(x1)x2(1x)x3，其中其中x2.解：原式解：原式=x21x2x3x3=2x21.将将x2代入上式代入上式原式原式=222-1=7.7.先化简，再求值：(
15、x 1)(x 1)x 2(1 x)x1，计算：，计算：(1x)(1x)1x2，(1x)(1xx2)1x3，(1x)(1xx2x3)(1)观察以上各式并猜想：观察以上各式并猜想：(1x)(1xx2xn)_；(n为正整数为正整数)(2)根据你的猜想计算：根据你的猜想计算：(12)(1222232425)_；222232n_(n为正整数为正整数)；(x1)(x99x98x97x2x1)_；拓展提升拓展提升1xn+1-632n12x1001 1，计算：(1 x)(1 x)1 x 2，(1 x)(1(3)通过以上规律请你进行下面的探索：通过以上规律请你进行下面的探索：(ab)(ab)_；(ab)(a2a
16、bb2)_；(ab)(a3a2bab2b3)_a2b2a3b3a4b4(3)通过以上规律请你进行下面的探索：a 2 b 2 a 3 b 3【课堂小结】【课堂小结】平 方 差平 方 差公式公式内容内容注意注意两个数的和与这两个数的差的两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差积，等于这两个数的平方差1.符号表示：（符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b22.紧紧抓住紧紧抓住“一同一反一同一反”这一这一特征，在应用时，只有两个特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形用公式的，可能要经过变形才可以应用才可以应用【课堂小结】平方差公式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，布置作业布置作业 P112第1题布置作业 P
