1、2abab3.43.4基本不等式基本不等式:重要不等式：重要不等式：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)abab22ba ADCBHFGE适用范围：适用范围：a,bR0,0,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到：即：即：)0,0(ba2abab 即：即：2abab)0,0(ba证明不等式：证明不等式：2abab证明：要证证明：要证 只要证只要证_ab 要证，只要证要证，只要证_0ab要证，只要证要证，只要证2(_)0显然
2、显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时,中的等号成立中的等号成立.分析法分析法22(0,0,(),()abaabb2abab)0,0(ba证明不等式：证明不等式：2 ab2 abba基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.(0,0)2ababab适用范围：适用范围：a0,b0 我们把我们把 叫做正数叫做正数a，b的的算术平均数算术平均数，叫做正数叫做正数a，b的的几何平均数几何平均数；2abab代数意义：代数意义：两个正数的两个正数的算术平均数算术平均数不小于它们的不小于它们的几何平均数几何平均数.ABCDE如图如图,AB是圆的直径，是圆的直径，C是
3、是AB上与上与A、B不重合的一不重合的一点，点，AC=a,CB=b,过点过点C作作垂直于垂直于AB的弦的弦DE，连，连AD,BD,则则OD=,CD=abab2ba=ACDCDCBC2DCBC ACabO探究几何意义探究几何意义几何意义：几何意义：半径不小于弦长的一半半径不小于弦长的一半RtACDRtDCB，2aba b例例1 若若 ,求求 的最小值的最小值.10 xyxxmin0,12112xyxxxxyx解：当且仅当，即时，10.xyxx变式：若，求的最值变式变式 若若 ,求求 的最小值的最小值.10 xyxxmax0,0,1()1()22112xxyxxxyxxxyx 解：当且仅当，即时，
4、例例2 用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，问这的矩形菜园，问这 个矩形个矩形 的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？2m,x my m解：设矩形菜园的长为宽为2 10022()40 xyxyxyxy由可得：100,2()xyxy m则篱笆的长为xy当且仅当时等号成立，10 xy此时因此这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.例例3用一段长为用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？形的长宽各为多少时，菜
5、园面积最大？最大面积是多少？22,2()3618,18981229981.xx my mxyxyxymxyxyxyxymmy 解：设矩形菜园的长为宽为则矩形菜园的面积为由，当且仅当可得：此时因此这个矩形的长、宽都为时，菜园面积最大，最时等号成立是，大面积已知 x,y 都是正数,P,S 是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当 x=y 时,取“=”号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当 x=y 时,取“=”号).14利用基本不等式利用基本不等式 求函数的最值时需要同时求函数的最值时需要同时满足以下三个条件：满足以下三个条件：2abab(1),a babab均为；(2)与有一个为；(3
6、)正数定值等号必须取到.简称为：简称为：一正、二定、三相等一正、二定、三相等例例4 若若 求求 的最小值的最小值120,3xyxxmin0,30,12312123212xxyxxxxyx解：当且仅当，即时，=(x+1)+-11x+1 f(x)=x+1x+1=1,2 (x+1)-11x+1 当且仅当当且仅当 取取“=”号号.当当 x=0 时时,函数函数 f(x)的最小值是的最小值是 1.x+1=,即即 x=0 时时,1x+1 解解:1(1)5).1f xxxx 求函数的最小值例 x-1,x+10.构造积为定值，利用基本不等式求最值构造积为定值，利用基本不等式求最值16.0,sinsinxyxx已
7、知求函数的例最小值.min00sin111sin2 sin2sinsin1sin2sin2xxyxxxxxxyx 解：当且仅当，即时，40,sinsinxyxx 变式 已知求函数的最小值.x+(1-x)=1.解解:0 x0.y=x(1-x)当且仅当当且仅当x=1-x,时时,取取“=”号号.即即 x=12当当 x=时时,函数函数 y=x(1-x)的最大值是的最大值是 .1214 01 7(1).xyx-x若，求函数的最大值例41)21(2配凑系数配凑系数分析分析:x+(1-2x)不是不是 常数常数.2=1为为 解解:0 x0.12y=x(1-2x)=2x(1-2x)12 22x+(1-2x)21
8、218=.当且仅当当且仅当 时时,取取“=”号号.2x=(1-2x),即即 x=14当当 x=时时,函数函数 y=x(1-2x)的最大值是的最大值是 .14181 0(1 2).28xyx-x若，求函数的最大值例构造和为定值，利用基本不等式求最值构造和为定值，利用基本不等式求最值例9 求函数 的最小值，及此时x的值。223()(0)xxf xxx解：解：，因为，因为x0，3()1(2)f xxx 3322 22 6xxxx()12 6f x 当且仅当当且仅当 ，即，即 时，式中等号成立。时，式中等号成立。32xx232x 由于由于x0，所以，所以 ，式中等号成立，式中等号成立，62x 因此因此
9、 ，此时，此时 min()1 2 6f x 62x 例例10 判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确 12xRxx(1)若，则；10,0,2ababab(2)若则；(3)200yxxyxy不等式成立的条件是且；0,0,lglg2 lglgababab(4)若则课堂小结课堂小结0,0,2ababab若那么1、本节课主要学习了基本不等式的证明本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用。与初步应用。2 2、注意公式的正向、逆向使用的条件以、注意公式的正向、逆向使用的条件以 及及“=”成立的条件。成立的条件。（）若（）若a,bR，那么，那么a2+b22ab （当且仅当（当且仅当a=b时，取时，取“=”号）号）（2）（当且仅当（当且仅当a=b时，取时，取“=”号）号）3 3、会用基本不等式解决简单的最大、会用基本不等式解决简单的最大(小小)值问题。值问题。
