1、函数的概念与性质第三章3.1.1函数的概念3.1函数的概念及其表示问题问题1：请同学们根据如下情境回答问题：某高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时。（1）这段时间内列车行进的路程s（单位：km)，与运行时间t(单位:h)的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么?(2)如果有人说:“根据对应关系s=350t，这趟列车加速到350 km/h 后，运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗？（3)你认为如何表述s与t的对应关系才是更为精确的？列车行进的路程s与运行时间t的对应关系是s=350t，其中t的变化范围是数集A1=t|0t0.5,S的变化范围是数集B1=S|0S175,对
2、于数集数集A1A1中的任意时刻t,按照对应关系对应关系在数集数集B1B1中都有唯一确定的路程s和它对应问题问题2：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：（1）你认为该怎样确定一个工人的每周所得？（2）一个工人的工资W是他工作天数的d的函数吗？(3)你能仿照问题1中对S与t的对应关系的精确表示，给出这个问题中w与d的对应关系的精确表示吗？思考思考：问题1和2中函数的对应关系相同（对应关系以解析式给出），你认为它们是同一函数吗？为什么？d的变化范围是数集A2=1,2,3,4,5,6,w的变化范围是数集B2=350
3、,700,1050,1400,1750,2100，对于数集数集A2A2中的任一个工作天数d按照对应关系对应关系在数集数集B2B2中都有唯一确定的工资w与它对应问题3：图中是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图。（1）如何根据该图确定这一天内任意时刻t的空气质量指数（AQI）的值I？（2）你认为这里的I是t的函数吗？如果是你能仿照前面的方法描述I与t的对应关系吗？t的变化范围是数集A3=t|0t24,AQI的值I都在数集B3=I|0I150中，对于数集A3中的任一时刻t，按照图中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的
4、值I与之对应，因此，这里的I是t的函数（1）你认为按表中给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为什么?(2)如果是,你能仿照前面的方法给出精确刻画吗？(3)三如果我们引入集合B4=r|0r1,将对应关系表示为对于任何任意一个年份y都有B4中唯一确定的r与之对应，你认为有道理吗？问题4:国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高y的取值范围A4=2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,201
5、4,2015根据恩格尔系数r的定义可知，r的取值范围是数集B4=r|0r1对于数集数集A4中的任意一个年份y，根据表中所给定的对应关系对应关系，在数集数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r，与之相对应，所以r是y的函数共同特征:(1)都包含两个非空数集用A,B来表示(2)都有一个对应关系(3)尽管对应关系的表示方法不同，但他们都有如下的特征，对于数集A中的任意，一个数x，按照对应关系在数集B中都有唯一确定的y值和它对应问题问题5:上述问题一至问题四中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质特征吗？问题情境 自变量的集合对应关系函数值所在的集合函数值的集合 问题1A1=t|0t0.5 S=3
6、50tB1=S|0S150B1问题2A2=1,2,3,4,5,6W=350dB2=350，700，1050，1400，1750，2100B2问题3A3=t|0t24图1B3=I|0I150C3(C3B3)问题4A4=2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015表1B4=r|0r1C4=0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.35150.3353,0.33870.2989,0.29350.2857函数的定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的
7、数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.可见，构成函数的要素为：定义域，对应关系和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数 对函数概念的五点说明(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系
8、，在不同的函数中f的具体含义不一样(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可1一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面，击中目标炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h单位m与时间t单位s的关系为h=130t-5t方一球一所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数解：定义域为t|0t26,值域为h|0h845,对于数集t|0t26中的任意一个数，在数集 h|0h845中都有唯一确定的数h=130t-5t2与之对应2.2016年11月2日8时至次日八时，
9、北京的温度走势如图所示。（1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域（2）根据图像求，这一天中，12时所对应的温度解（1）设从今日八点起24小时内经过时间t的温度为y0C，则定义域为t|0t24,值域为y|2y12.(2）由图知12时的温度约为9.70C3.集合A，B与对应关系f，如图所示，f：AB是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义值域与对应关系各是什么？解：由图知A中的任意一个数，B中都有唯一确定数，与之对应，所以f：AB 是从A到B的函数定义域是A=1,2,3,4,5,值域C=2，3，4，5问题问题6如果让你用函数的定义重新认识一次函数，二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述
10、这些函数？我们所熟悉的一次函数y=ax+b(b0)的定义域是R,值域也是R,对应关系f把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数ax+b(b0).请同学们自己完成二次函数以及反比例函数的表述问题问题7：函数的解析式是舍弃问题的实际背景，而抽象出来的它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律，例如正比例函数y=kx（k不等于零），可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系，一定密度的物体的质量与体积的关系，圆的周长与半径的关系等。你能构建一个问题情景，使其中函数的对应关系为你能构建一个问题情景，使其中函数的对应关系为Y=x（10-x）吗？）吗？问题7你能构建一个问
11、题情景，使其中函数的对应关系为Y=x（10-x）吗？解解：把y=x（10-x）看成二次函数，那么它的定义域是R值域是B=y|y25,对应关系f把R中的任意一个数x对应到B中，唯一确定的数x(10-x)，如果对x取值范围作出限制，例如0 x10，那么可以构建如下情景境：长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x（10-x），其中x的取值范围是A=x|0 x10,y的取值范围是B=y|0y25.对应关系f把每一个长方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x)1.构建一个问题情景，使其中的变量关系能用解析式y=x来描述2构建其他可用解析式y=x(10-x)描述，其中变量关系的问题情境，什么是函数？其三要素是什么？对于对应关系f,你有哪些认识?与初中学习过的函数概念相比，你对函数又有什么新认识？本节课我们是怎样得到函数概念的？结合本节课的学习，你对如何学习数学又有什么体会？经历了由具体函数实例到一般函数概念的归纳过程，体验用数学的眼光看待事物，培养数学抽象素养。学习用数学的语言表达世界布置作业 教科书习题3.1，第1，11，14题
