1、第六章 线性方程组的迭代解法1 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数 1.1 1.1 向量的范数向量的范数 1.2 1.2 矩阵的范数矩阵的范数2 迭代解法与收敛性迭代解法与收敛性 2.1 2.1 迭代法的构造迭代法的构造 2.2 2.2 迭代法的收敛性条件迭代法的收敛性条件3 常用的三种迭代解法常用的三种迭代解法 2.1 Jacobi2.1 Jacobi迭代法迭代法 2.2 Gauss-Seidel2.2 Gauss-Seidel迭代法迭代法 2.2 2.2 超松弛超松弛(SOR)(SOR)迭代法迭代法11/8/202211 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数一、向量的范数一、向量的范数 为了对线
2、性方程组数值解的精确程度，以及方程组为了对线性方程组数值解的精确程度，以及方程组本身的性态进行分析，需要对向量和矩阵的本身的性态进行分析，需要对向量和矩阵的“大小大小”引引进某种度量，范数就是一种度量尺度，向量和矩阵的范进某种度量，范数就是一种度量尺度，向量和矩阵的范数在线性方程组数值方法的研究中起着重要的作用。数在线性方程组数值方法的研究中起着重要的作用。定义定义6.1设设|是向量空间是向量空间Rn上的实值函数，且满足条件上的实值函数，且满足条件 求解线性方程组的数值解除了使用直接解法，迭代解求解线性方程组的数值解除了使用直接解法，迭代解法也是经常采用的一种方法，这种方法更有利于编程计法也是
3、经常采用的一种方法，这种方法更有利于编程计算，本章将介绍这种方法。算，本章将介绍这种方法。11/8/20222则称则称|为为 Rn 空间上的范数空间上的范数，|x|为向量为向量 x 的范数的范数。理论上存在多种多样的向量范数，但最常用的是如下理论上存在多种多样的向量范数，但最常用的是如下三种。三种。（2）齐次性：对任何实数和向量齐次性：对任何实数和向量x|x|x|（3）三角不等式：对任何向量三角不等式：对任何向量x和和y，都有都有|xy|x|y|设向量设向量x（x1，x2，xn）T，定义定义 （1）非负性：对任何向量非负性：对任何向量 x，|x|0，且且|x|0当且仅当当且仅当x011/8/2
4、0223向量向量1-范数范数：niixx1121122 niixx向量向量2-范数范数：向量向量-范数范数：inixx 1max容易验证，以上三种范数都满足向量范数的三个条件。容易验证，以上三种范数都满足向量范数的三个条件。例例6.1 设向量设向量x（1，3，2，0）T，求向量范数求向量范数|x|p，P1，2，。11/8/20224 解解:对于对于 向量向量 x(1，3，2，0)T ，根据定义根据定义可以计算出：可以计算出：|x|1|1|3|2|0|6 1402312122222 x 30,2,3,1max x 由此例可见，向量不同范数的值不一定相同，但这并不由此例可见，向量不同范数的值不一定
5、相同，但这并不影响对向量大小做定性的描述，因为不同范数之间存在如影响对向量大小做定性的描述，因为不同范数之间存在如下等价关系下等价关系。11/8/20225 定理定理6.1 （范数的等价性）对于（范数的等价性）对于Rn上任何两种范数上任何两种范数|和和|，存在着正常数存在着正常数 m，M，使得使得：nRxxMxxm ,范数的等价性表明，一个向量若按某种范数是一个范数的等价性表明，一个向量若按某种范数是一个小量，则它按任何一种范数也将是一个小量。容易证明，小量，则它按任何一种范数也将是一个小量。容易证明，常用的三种向量范数满足下述等价关系。常用的三种向量范数满足下述等价关系。|x|x|1 n|x
6、|x|x|2|x|x|2|x|1 n|x|2 niixx11例如例如：inixn 1max xnnn111/8/20226定义定义6.2 对于向量序列对于向量序列,2,1,),()()(2)(1)(kxxxxTknkkk*)(limxxkk *)(xxk 向量序列向量序列 x(k)收敛于向量收敛于向量 x*，当且仅当它的每一当且仅当它的每一个分量序列收敛于个分量序列收敛于x*的对应分量，即的对应分量，即 nixxxxikik,2,1,*)(*)(Tnxxxx),(*2*1*及向量及向量0lim*)(xxkk如果如果则称向量序列则称向量序列 x(k)收敛于向量收敛于向量 x*。记作记作 或或11
7、/8/20227二、矩阵的范数二、矩阵的范数 矩阵范数是反映矩阵矩阵范数是反映矩阵“大小大小”的一种度量，具体定义如的一种度量，具体定义如下。下。定义定义6.3 设设|是以是以n阶矩阵为变量的实值函数，且满足阶矩阵为变量的实值函数，且满足条件：条件：（1）|A|0，且且|A|0时，当且仅当时，当且仅当A0 （2）|A|A|，R （3）|AB|A|B|（4）|AB|A|B|则称则称|A|为矩阵为矩阵A的范数。的范数。11/8/20228设设 n 阶矩阵阶矩阵 A（aij），），常用的矩阵范数有：常用的矩阵范数有：矩阵矩阵1-范数：范数：niijnjaA111|max()122TAA A=的的最最
8、大大特特征征值值矩阵矩阵2-范数：范数：njijniaA11|max矩阵矩阵-范数：范数：以上三种范数都满足矩阵范数的条件，通常将这三种以上三种范数都满足矩阵范数的条件，通常将这三种矩阵范数统一表示为矩阵范数统一表示为|A|p，P1，2，。列和列和行和行和11/8/20229例例6.2 设矩阵设矩阵 4321A求矩阵求矩阵A的范数的范数|A|p，P1，2，。解解 根据定义根据定义 6|4|2|,3|1|max1 A 43214231AAT由于由于 7|4|3|,2|1|max A 20141410则它的特征方程为则它的特征方程为:0430201414102 AAIT11/8/202210此方程
9、的根为矩阵此方程的根为矩阵ATA的特征值，解得的特征值，解得 221151 221152 因此因此 46.522115212 A 在线性方程组的研究中，经常遇到矩阵与向量的乘积在线性方程组的研究中，经常遇到矩阵与向量的乘积运算，若将矩阵范数与向量范数关联起来，将给问题的分运算，若将矩阵范数与向量范数关联起来，将给问题的分析带来许多方便。设析带来许多方便。设|是一种向量范数，由此范数派生是一种向量范数，由此范数派生的矩阵范数定义为的矩阵范数定义为 xAxAx0max 注意，此式左端注意，此式左端|A|表示矩阵范数，而右端是向量表示矩阵范数，而右端是向量Ax 和和 x 的范数，利用向量范数所具有的
10、性质不难验证，由上式的范数，利用向量范数所具有的性质不难验证，由上式定义的矩阵范数满足矩阵范数的条件。定义的矩阵范数满足矩阵范数的条件。11/8/202211nRxxAAx ,通常将满足上式的矩阵范数称为与向量范数通常将满足上式的矩阵范数称为与向量范数相容的矩阵范相容的矩阵范数。数。可以证明，前述的三种矩阵范数可以证明，前述的三种矩阵范数|A|p，P1，2，就是由向量范数就是由向量范数|x|p派生出的矩阵范数，即派生出的矩阵范数，即 ,2,1,max0pxAxAppxp通过向量范数定义的矩阵范数，满足不等式关系：通过向量范数定义的矩阵范数，满足不等式关系：均为相容范数，即均为相容范数，即 ,2
11、,1,pxAAxppp11/8/202212三、矩阵的谱半径三、矩阵的谱半径 矩阵范数同矩阵特征值之间有密切的联系，设矩阵范数同矩阵特征值之间有密切的联系，设是矩是矩阵阵A相应于特征向量相应于特征向量x的特征值，即的特征值，即 Axx,于是利用于是利用向量向量-矩阵范数的相容性，得到矩阵范数的相容性，得到|x|x|从而，对从而，对A的任何特征值的任何特征值均成立均成立=|Ax|A|x|A|（6.1）设设n阶矩阵阶矩阵A的的n个特征值为个特征值为1,2，n。称。称iniA 1max)(为矩阵为矩阵A的谱半径，从（的谱半径，从（6.1）式得知，对矩阵）式得知，对矩阵A的任何一的任何一种相容范数都有
12、种相容范数都有(A)|A|（6.2）11/8/202213 另一个更深刻的结果另一个更深刻的结果,对于任意的对于任意的0，必存在一种相必存在一种相容的矩阵范数，使容的矩阵范数，使|A|(A)（6.3）式（式（6.2）和（）和（6.3）表明，矩阵）表明，矩阵A的谱半径是它所有相的谱半径是它所有相容范数的下确界。容范数的下确界。定义定义6.4 设有矩阵序列设有矩阵序列 和矩阵和矩阵A（aij）。）。称称 A（k）收敛于收敛于A，如果如果,2,1),()()(kaAkijk0|lim)(AAkk记作记作 A（k）A，或或 A（k）A。klim11/8/202214四、矩阵的条件数四、矩阵的条件数 引
13、进了矩阵的度量标准引进了矩阵的度量标准范数，就可以对方程组求范数，就可以对方程组求解进行误差分析，对于方程组解进行误差分析，对于方程组Ax=b如果常数项产生了误差如果常数项产生了误差b,并设求解时产生的误差为并设求解时产生的误差为x，则有则有A(x+x)=b+b两式相减得到两式相减得到 A x=b当系数矩阵可逆时当系数矩阵可逆时x=A-1b取范数取范数|x|=|A-1b|A-1|b|再由再由 Ax=b，得到得到|b|=|Ax|A|x|11/8/202215于是，由于是，由|x|A-1|b|得到解的相对误差为得到解的相对误差为bAx 1bbAAxx 1及及|b|A|x|令令 Cond(A)=|A
14、|A-1|,并并称其为矩阵称其为矩阵A的条件数。的条件数。这时这时bbACondxx )(可见，求解线性方程组所产生的误差与系数矩阵的条件可见，求解线性方程组所产生的误差与系数矩阵的条件数有关。数有关。11/8/202216 对于线性方程组对于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵的条件数如果系数矩阵的条件数Cond(A)=|A|A-1|太大，则称相应的方程组为太大，则称相应的方程组为病态方病态方程组。程组。病态现象是方程组的固有属性，无法改变，因此在求病态现象是方程组的固有属性，无法改变，因此在求解时为了不至于产生太大的误差，应该尽量减少原始数据解时为了不至于产生太大的误差，应该尽量减少原始数据
15、 A、b 的误差，或者用高精度的计算机计算。的误差，或者用高精度的计算机计算。例如：对于方程组例如：对于方程组 20001.112121xxxx系数矩阵和逆矩阵分别为系数矩阵和逆矩阵分别为 44441101010101,0001.1111AA可以求得可以求得 1)(AAACond44102)101(0001.2 条件数比较大，可见该方程组为病态方程组。条件数比较大，可见该方程组为病态方程组。11/8/2022172 2 迭代解法与收敛性迭代解法与收敛性一、迭代解法一、迭代解法设有线性方程组设有线性方程组 AX=b (1)ARnn,bR.对对A 进行分裂，进行分裂，A=A1+A2,其中其中 A1
16、 可逆可逆，则则 (A1+A2)x=b A1x=-A2x+b令令 B=-A1-1 A2 ,F=A1-1 b则则 x=Bx+F （2）x=-A1-1 A2 x+A1-1 b11/8/202218得到得到 x(1)=Bx(0)+F 称称(3)为求解为求解(1)的近似解的迭代解法，称的近似解的迭代解法，称x(k)为为(1)近近似解序列，称似解序列，称B为为迭代矩阵迭代矩阵。如果如果*)(limxxkk则有则有 x(2)=Bx(1)+F x(k+1)=Bx(k)+F,k=0,1,（3）x*=Bx*+F （4）我们称迭代法我们称迭代法(3)(3)收敛收敛，否则为，否则为发散发散。下面分析迭代格。下面分析
17、迭代格式式(3)(3)收敛的条件收敛的条件.由由 x=Bx+Fx(0)Rn11/8/202219由由(3)(3)(4)(4)得得 x(k+1)-x*=B(x(k)-x*)令令 e(k)=x(k)-x*,则则有有(1)()2(1)1(0)kkkkeBeB eBe+-+=L L若若 x(k+1)x*,则则 e(k)0。这时只有这时只有 Bk+1 0（k）。）。x(k+1)=Bx(k)+F,k=0,1,（3）x*=Bx*+F （4）而而 Bk+1 0 (B)1，由此可得如下的收敛性条件。由此可得如下的收敛性条件。11/8/202220二、迭代法收敛性条件二、迭代法收敛性条件 x(k+1)=Bx(k)
18、+F,k=0,1,（3）定理定理6.3 若若|B|1 ，则迭代法则迭代法(3)(3)收敛收敛.定理定理6.4 若若|B|1，则有估计式则有估计式 定理定理6.2 迭代法格式迭代法格式(3)(3)收敛的充要条件是收敛的充要条件是(B)1.这是一个充分条件，根据范数与谱半径的关系式这是一个充分条件，根据范数与谱半径的关系式(A)|B|，容易推出该充分条件容易推出该充分条件.)2(1*0)(xFBBxxkk )1()()(1*kkkxxBBxx11/8/2022213 3 常用的三种迭代解法常用的三种迭代解法一、一、Jacobi迭代法迭代法对于线性方程组对于线性方程组 Ax=b (1)A=L+D+U
19、 (2)设设 det(A)0 ，aii 0,i=0,1,2,n ，按照如下方式对按照如下方式对A A进行分裂：进行分裂：0000002121nnaaaL 222211000000aaaD 0000002112nnaaaU11/8/202222则则由由 Ax=b 得到得到令令 BJ=-D-1(L+U)，FJ=D-1 b.(L+D+U)x=b D x=-(L+U)x+b x=-D-1(L+U)x+D-1 b则有则有 x=BJ x+FJ (3)任取初始向量任取初始向量 x(0)Rn,则可以由上式得到如下的迭代则可以由上式得到如下的迭代格式：格式：并称其为并称其为J Jacobi迭代格式，迭代矩阵为迭
20、代格式，迭代矩阵为 x(k+1)=BJ x(k)+FJ (4)BJ=-D-1(L+U)=-D-1(A-D)=E-D-1 A11/8/202223例如例如,对于三元线性方程组对于三元线性方程组 232131333332312122223132121111xaxabxaxaxabxaxaxabxa 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa )(1)(1)(1232131333332312122223132121111xaxabaxxaxabaxxaxabax11/8/202224 得到具体的迭代格式得到具体的迭代格式0,1,2,k=L
21、L由定理由定理6.46.4的结论的结论,可以通过可以通过|x(k+1)-x(k)|控制迭代次数。控制迭代次数。x(0)Rn )(1)(1)(1)(232)(131333)(3)(323)(121222)1(2)(313)(212111)1(1kkkkkkkkkxaxabaxxaxabaxxaxabax11/8/202225对于对于 n 元线性方程组元线性方程组1,2,in=L L其一般式为：其一般式为：从中解出：从中解出：1,2,in=L L得得Jacobi迭代格式迭代格式1,2,in=L L0,1,2,k=L L通过通过|x(k+1)-x(k)|控制迭代次数。控制迭代次数。)(1111 ni
22、jjijijjijiiiixaxabax)(11)(11)()1(nijkjijijkjijiiikixaxabaxininiiiiiiiiiibxaxaxaxaxa 111111 nnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa32211222221211121211111/8/202226二二、Gauss-Seidel迭代法迭代法对于三元方程组对于三元方程组，将，将Jacobi迭代格式迭代格式改进为改进为(1)()()11122133111()kkkxbaxaxa+=-0,1,2,k=L L(1)(1)()22211233221()kkkxbaxaxa+=-(1)(1)(1)3
23、3311322331()kkkxbaxaxa+=-并称其为并称其为Gauss-Seidel迭代格式。迭代格式。)(1)(1)(1)(232)(131333)1(3)(323)(121222)1(2)(313)(212111)1(1kkkkkkkkkxaxabaxxaxabaxxaxabax11/8/202227对于对于n元方程元方程 先写出先写出Jacobi迭代格式迭代格式1,2,in=L L0,1,2,k=L L同样可以用同样可以用|x(k+1)-x(k)|控制迭代次数。控制迭代次数。1,2,in=L L再写出再写出Gauss-Seidel迭代格式迭代格式ininiiiiiiiiiibxax
24、axaxaxa 111111)(11)(11)()1(nijkjijijkjijiiikixaxabax)(11)(11)1()1(nijkjijijkjijiiikixaxabax11/8/202228 为讨论收敛性方便，下面再写出为讨论收敛性方便，下面再写出Gauss-Seidel迭代格迭代格式的矩阵表示式。首先改写式的矩阵表示式。首先改写Gauss-Seidel迭代格式迭代格式为：为：(1)()()kkLD xUxb+=-+(1)1()1()()kkxLDUxLDb+-=-+)(11)(11)1()1(nijkjijijkjijiiikixaxabax nijkjijikjiiijkji
25、jxabxaxa1)()1(11)1(ikninkiiikiiikiiikibxaxaxaxaxa )()(11)1()1(11)1(1111/8/202229令令 11(),()GGBLDU FLD-=-+=+则有则有(1)(),kkGGxB xF+=+0,1,2,k=L L其中其中 B BG G 为迭代矩阵。为迭代矩阵。(1)1()1()()kkxLDUxLDb+-=-+例例6.3 用用Jacobi迭代法和迭代法和Gauss-Seidel迭代法解下列方迭代法解下列方程组程组,已知方程组得精确解为已知方程组得精确解为 x*=(1，1，1)T。141035310214310321321321x
26、xxxxxxxx11/8/202230解：先改写方程如下解：先改写方程如下再写出再写出Jacobi迭代格式迭代格式0,1,2,k=L L取初值为取初值为:x(0)=(0，0，0)T,求得求得:x(1)=(1.4，0.5，1.4)Tx(6)=(1.00025，1.00580，1.00251)T误差为由误差为由x*=(1，1，1)T 得到得到|x(6)-x*|=0.00580 。123213312114310152310114310 xxxxxxxxx (1)()()123(1)()()213(1)()()312114310152310114310kkkkkkkkkxxxxxxxxx 11/8/2
27、02231初值也取为初值也取为:x(0)=(0，0，0)T,求得近似解：求得近似解：0,1,2,k=L LGauss-Seidel迭代格式为迭代格式为误差为由误差为由x*=(1，1，1)T 得到得到|x(4)-x*|=0.00846 。Jacobi迭代法迭代迭代法迭代6次与次与Gauss-Seidel迭代法迭代迭代法迭代4次的次的精度一致，说明精度一致，说明Gauss-Seidel迭代法收敛的较快。迭代法收敛的较快。x(1)=(1.4，0.78，1.026)Tx(4)=(0.99154，0.99578，1.00210)T (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312114
28、310152310114310kkkkkkkkkxxxxxxxxx 11/8/202232三三.超松弛超松弛(SOR)迭代法迭代法(Successive Over Relaxation Method)对对Gauss-seidel迭代进行改写迭代进行改写令令 nijkjijijkjijiiikixaxabax1)(11)1()1(1 nijkjijkiiiijkjijiiixaxaxaba)()(11)1(1 nijkjijijkjijiiikixaxabax)(11)1()(1 nijkjijijkjijiiikikikixaxabaxxr)(11)1()()1()(111/8/202233再
29、通过加权加速收敛：再通过加权加速收敛：(1)()()kkkiiixxr+=+1()(1)()1inkkkiiijjijjjjiiixba xa xa 1,2,in=L L0,1,2,k=L L并称其为并称其为超松弛迭代法超松弛迭代法，称为松弛因子。称为松弛因子。当当 0 1 时，称为低松弛；时，称为低松弛；当当 =1 时，为时，为Gauss-Seidel Gauss-Seidel 迭代格式迭代格式；当当 1 2 时，称为高松弛。时，称为高松弛。11/8/202234超松弛迭代法超松弛迭代法(SOR)也可以用矩阵的形式来表示也可以用矩阵的形式来表示 (1)1()1()()()kkxDLD DU
30、x DWLb+-=+-+令令 B=(D+L)-1D-(D+U)则有则有 x(k+1)=B x(k)+F,k=0,1,2,。1(1)()(1)()1inkkkkiiiijjijjjjiiixxba xa xa 1(1)()(1)()1inkkkkiiiiiiiijjijjjjia xa x ba xa x 1(1)(1)()()1inkkkkiiiijjiiiiijijjia xa xa xa xwb 改写改写SOR为为或者或者 (1)()()()kkDL xD DUxb+=-+F=(D+wL)-1 b11/8/202235 定理定理6.6 Gauss-Seidel 迭代法迭代法 收敛的收敛的充
31、要条件充要条件是是(BG)1，收敛的收敛的充分条件充分条件是是|BG|1。定理定理6.7 对于对于 线性方程组线性方程组 AX=b，如果系数矩阵如果系数矩阵A严格严格对角占优对角占优，则，则Jacobi、G-S迭代法都收敛。迭代法都收敛。定理定理6.8 SOR迭代法收敛的迭代法收敛的必要条件必要条件是是 0 2。定理定理6.9 如果系数矩阵如果系数矩阵A对称对称正定正定，且，且 0 2，则，则SOR 法收敛法收敛定理定理6.10 如果系数矩阵如果系数矩阵A对称正定对称正定，则，则G-S迭代法收敛。迭代法收敛。四、收敛性条件四、收敛性条件 定理定理6.5 Jacobi迭代法收敛的迭代法收敛的充要
32、条件充要条件是是(BJ)1 ，收敛的收敛的充分条件充分条件是是|BJ|1,还无法判断迭代法是否收敛还无法判断迭代法是否收敛。27213523121321xxxxxxx11/8/202238这时只能通过求迭代矩阵的谱半径来判断，由迭代矩阵这时只能通过求迭代矩阵的谱半径来判断，由迭代矩阵13270120000JB 132712det()000JIB-=-=-=-=解得特征值解得特征值12319190,2121=-=-谱半径谱半径(BJ)1故故Jacobi迭代法收敛迭代法收敛.11/8/202239 例例6.6 分别用分别用Jacobi迭代法和迭代法和Gauss-Seidel迭代法解下迭代法解下列方
33、程组，问是否收敛？列方程组，问是否收敛？由于该矩阵非严格对角占优，由于该矩阵非严格对角占优，无法判断无法判断；但由于对称，再；但由于对称，再看是否正定。看是否正定。解：系数矩阵为解：系数矩阵为 各阶顺序主子式各阶顺序主子式|A1|=1,|A2|=3/4,|A3|=1/2,说明矩阵对称正定说明矩阵对称正定所以所以Gauss-Seidel迭代法收敛迭代法收敛。但无法判断。但无法判断Jacobi迭代法是迭代法是否收敛，再利用迭代矩阵的范数或者谱半径进行判断。否收敛，再利用迭代矩阵的范数或者谱半径进行判断。111212121212121A 221211212152121321321321xxxxxxx
34、xx11/8/202240由系数矩阵由系数矩阵写出写出Jacobi迭代矩阵迭代矩阵其其-范数范数|BJ|=1 和和 1-范数范数|BJ|1=1，不小于不小于1，还无还无法判断是否收敛法判断是否收敛。再求其谱半径进行判断。再求其谱半径进行判断。由由 det(I-BJ)=0 求得特征值求得特征值1=-1，2=3=0.5 谱半径谱半径(BJ)=|1|=1，由此可知由此可知Jacobi迭代法是发散迭代法是发散的。的。111212121212121A 000212121212121JB11/8/202241 例例6.7 取初值取初值 x(0)=(0，0，0)T 用用Jacobi迭代法解下列迭代法解下列方
35、程组，如果要保证各分量的误差的绝对值小于方程组，如果要保证各分量的误差的绝对值小于10-6,问需问需要迭代多少次？要迭代多少次？解：由于方程组得系数矩阵严格对角占优，所以解：由于方程组得系数矩阵严格对角占优，所以Jacobi迭代法收敛。要确定迭代次数需要用到估计式迭代法收敛。要确定迭代次数需要用到估计式其中其中 BJ=E-D-1A，FJ=D-1 b，范数用范数用-范数范数。)2(1*0)(xFBBxxkk 301532128143220321321321xxxxxxxxx11/8/202242由方程组得到系数矩阵和常数项由方程组得到系数矩阵和常数项3110201118821155000JBE
36、D A 迭代矩阵为迭代矩阵为-范数范数|BJ|=1/3 1,|FJ|=1.5,|x0|=1.5，带入下式：带入下式：得到得到()*1/31.511/3kkxx-10.753k-=750000 解得：解得：klg7500/lg3=8.12至少需要迭代至少需要迭代9次。次。15321813220A 31214b 51231071bDFJ)2(1*0)(xFBBxxJkJk 11/8/202243第第6 6章章 复习小结复习小结一、向量、矩阵的范数、矩阵的谱半径和条件数一、向量、矩阵的范数、矩阵的谱半径和条件数二、迭代格式的构造与收敛性条件二、迭代格式的构造与收敛性条件三、常用的三种迭代法三、常用的
37、三种迭代法 1.Jacobi迭代法迭代法 2.Gauss-Seidel迭代法迭代法 3.超松弛超松弛(SOR)迭代法迭代法四、了解基本概念、掌握迭代算法的构造方法、四、了解基本概念、掌握迭代算法的构造方法、收敛性收敛性 条件以及编程计算。条件以及编程计算。11/8/202244第第6 6章章习题习题:线性方程组的迭代解法线性方程组的迭代解法6-1 对二维向量对二维向量 x（x1，x2）T，画出由平面上点集：画出由平面上点集：|x|11，|x|21，|x|1所确定的几何图形。所确定的几何图形。6-2 证明下列不等式证明下列不等式 （1）|xy|xz|zy|（2）|x|y|xy|6-3 设设|为一
38、向量范数，为一向量范数，P为非奇异矩阵，定义为非奇异矩阵，定义|x|p|Px|。证明证明|p 也是一种向量范数。也是一种向量范数。6-4 设设A为对称正定矩阵，定义为对称正定矩阵，定义 。证明。证明|A 也是一种向量范数。也是一种向量范数。AxxxTA 11/8/2022456-5 证明范数的等价性证明范数的等价性 （1）|x|x|2|x|（2）|x|2|x|1|x|2 （3）|A|2|A|F|A|2nnn6-6 设设计算矩阵计算矩阵A的的1-范数，范数，2-范数，范数，-范数及相应的条件数范数及相应的条件数Cond（A）。）。3.01.05.06.0A6-7 试证明试证明 (1)如果如果A为正交矩阵，则为正交矩阵，则 Cond2(A)1;(2)如果如果A为对称正定矩阵为对称正定矩阵,则则 Cond2(A)1/n ,1和和n分别为分别为A的最大和最小特征值的最大和最小特征值。11/8/202246
