1、Principle of Automatic Control Institute of Control and Information自动控制原理自动控制原理(频域分析部分频域分析部分)航空航天学院航空航天学院肖刚肖刚1Principle of Automatic Control Institute of Control and Information第四章 根轨迹法u41 闭环系统的根轨迹u42 绘制根轨迹图的基本规则u43 控制系统性能的根轨迹分析2Principle of Automatic Control Institute of Control and Information复习复习
2、序内容规 则 1起点终点起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无限零点）2分支数等于开环传递函数的极点数（nm）3对称性对称于实轴4渐近线相交于实轴上的同一点：坐标为：倾角为：5实轴上分布实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数mnzpnimjji11mnk)12(1803Principle of Automatic Control Institute of Control and Information复习复习序内容规 则 6分离（回合）点实轴上的分离（会合）点（必要条件）7出射角入射角复极点处的出射角：复零点处的入射角：8虚轴交点（1）
3、满足特征方程 的 值；（2）由劳斯阵列求得（及K1响应的值）；9走向当 时，一些轨迹向右，则另一些将向左。10K1计算 根轨迹上任一点处的K1：00)()(111dsdKdssHsGd或minajjjiak11)12(180njmbiiijbk11)12(1800)()(1jHjGj1,2 Kmn长度的乘积开环零点至向量长度的乘积开环极点至向量sssHsGK)()(1111114Principle of Automatic Control Institute of Control and Information 例例:系统的开环传递函数试画根轨迹，并确定 时K1的值。解：解：只对根轨迹曲线的特
4、征点进行分析。(1)渐近线：3条。渐近线的夹角：渐近线与实轴的交点：（2）分离点：即 （舍去）)6)(4()()(1sssKsHsG5.0180,6013)12(180k33.330)640(061411sss57.11s1.52s0242032ss4-3 控制系统性能的复域分析5Principle of Automatic Control Institute of Control and Information4-3 控制系统性能的复域分析（3）与虚轴的交点系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0令 代入，求得 实部方程:虚部方程：解得：(舍去)（4）确定 时的K1 值：过原点作OA
5、射线交根轨迹于A，使得 ，测量得:求得js 0101 K02432409.41K001K5.0605.0cos1AOC5.3,3.5,4.2ACABOA5.4413.55.34.21K6Principle of Automatic Control Institute of Control and Information4-3 控制系统性能的复域分析A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置:K1=44.5时另外两个极点同理可求得根轨迹在实轴上的分离点-1.57处对应的K1=17。1.22.11js6.71.22.132sjs7Principle of Automatic Control Instit
6、ute of Control and Information4-3 控制系统性能的复域分析u一、复域分析一、复域分析1稳定性分析：稳定性分析：当K1=240时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡。当K1240时，根轨迹曲线进入S右半平面，系统有一对正实部的共轭复根，因此系统处于不稳定状态。当K1240时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在S左半平面，系统是稳定的。2稳态性能分析：稳态性能分析：系统的开环根迹增益K1与开环放大系数成正比，因此对稳定的系统来说，K1越大，稳态误差越小，稳态性能也越好，但K1 最终不能大于240，否则，系统将出现不稳定状态。8Principle of Aut
7、omatic Control Institute of Control and Informationu3动态性能分析：动态性能分析：u 当0K117时，该系统的根为负实数，此时可看成三个惯性环节的串联，系统输出具有非周期特性。u 当17K1240时，系统有两个根轨迹分支进入复平面，产生一对共轭复根，使系统的阶跃响应带有振荡的特性。随着K1增大，复根越靠近虚轴，输出振荡越厉害。u 若取=0.5，极点：s1=-1.2+j2.1，s2=-1.2-j2.1，s3=-7.6。由于s3相对s1、s2来说，远离虚轴，s1、s2可看成主导极点，s3可忽略，即可用二阶系统的动态特性指标来近似这个实际上的三阶系
8、统。不难求得该系统的复域动态性能指标：=0.5，n=2.4对应的动态性能时域指标：ts=2.9sp=16.3%n.534-3 控制系统性能的复域分析9Principle of Automatic Control Institute of Control and Informationu二、增加开环零、极点对系统性能的影响二、增加开环零、极点对系统性能的影响系统根轨迹的整体格局是由开环传递函数的零点、极点所共同决定的。开环零、极点位置不同，根轨迹的走向差异很大。1增加极点增加极点（以具体系统加以说明）一般可以认为，当函数一般可以认为，当函数G(s)H(s)在在s左半平面增加极点，会左半平面增加极
9、点，会促使原根轨迹向右半部移动，稳定性下降。促使原根轨迹向右半部移动，稳定性下降。设系统的开环传递函数：增加零点 0aassKsHsG1 abbsassKsHsG14-3 控制系统性能的复域分析10Principle of Automatic Control Institute of Control and Information 0aassKsHsG1 abbsassKsHsG1 增加极点轨迹向右弯曲，渐近线角度由900变为600。分离点向右移。(a)稳定，(b)在K1小时稳定，K1大可能不稳定。(a)(b)4-3 控制系统性能的复域分析11Principle of Automatic Co
10、ntrol Institute of Control and Information abccsbsassKsHsG1 增加复零点对0aassKsHsG14-3 控制系统性能的复域分析12Principle of Automatic Control Institute of Control and Information -2 2增加零点增加零点（以具体系统加以说明）对G(s)H(s)函数增加零点，会使根轨迹向s平面左半部移动，系统的稳定性增加。abassbsKsHsG1增加一个零点，根轨迹将向左弯曲形成一个圆4-3 控制系统性能的复域分析13Principle of Automatic Co
11、ntrol Institute of Control and Information增加一对轭复数零点后的根轨迹 abassbsKsHsG14-3 控制系统性能的复域分析14Principle of Automatic Control Institute of Control and Information3.闭环零、极点对系统动态性能的影响闭环零、极点对系统动态性能的影响(1)闭环极点的分布决定了动态响应的类型。(2)闭环零点的分布决定了瞬态响应曲线的形态和指标。(3)闭环实数零点会减小系统的阻尼比，使系统运动速度加 快，超调量增大，峰值时间提前。(4)系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点。(5)远离虚轴的极点(或零点)和偶极子。(6)主导极点。4-3 控制系统性能的复域分析15
