1、第二部分第五课时：第二部分第五课时：方程与几何的综合方程与几何的综合 思想方法提炼思想方法提炼 感悟、渗透、应用感悟、渗透、应用 课时训练课时训练 思想方法提炼思想方法提炼1.1.充分利用一元二次方程根与系数的关系及其判别式等充分利用一元二次方程根与系数的关系及其判别式等知识解决有关几何问题；知识解决有关几何问题；2.2.能熟练地将方程的根与几何图形中的线段联系起来，能熟练地将方程的根与几何图形中的线段联系起来，通过方程的性质和几何图形的性质实行转化通过方程的性质和几何图形的性质实行转化.感悟、渗透、应用感悟、渗透、应用【例例2 2】已知已知ABAB是半圆是半圆O O的直径，的直径，ACAC切
2、半圆于切半圆于A A，CBCB交交O O于于D D，DEDE切切O O于于D D，BEDEBEDE，垂足是垂足是E E，BD=10BD=10，DEDE、BEBE是方是方程程x x2 2-2(m+2)x+2m-2(m+2)x+2m2 2-m+3=0-m+3=0的两个根的两个根(DEDEBE)BE)，求求ACAC的长的长.【解析】【解析】已知半径，一般先构造已知半径，一般先构造90的圆周角，的圆周角，故可以连故可以连AD，由此可容易由此可容易推得推得RtBDARtBACRtBED，由一元二次方程由一元二次方程根与系数关系和勾股定理建立关于根与系数关系和勾股定理建立关于DE、BE、m的方程组，的方程
3、组，解之，于是解之，于是RtBED可解可解.欲求欲求AC，只要先求出只要先求出AB，而而这通过相似三角形易求得这通过相似三角形易求得.解：解：DEDE、BEBE是方程是方程x x2 2-2(m+2)x+2m-2(m+2)x+2m2 2-m+3=0-m+3=0的两个根的两个根(DEDEBE)BE)且且BEDEBEDE，BD=10BD=10连接连接ADAD，ABAB是直径是直径ADB=90ADB=90DEDE是是O O的切线的切线EDB=DABEDB=DABRtRtBDERtBDERtBADBADABC=DBEABC=DBE，AB=AB=ACAC切切O O于于ACAB=90ACAB=90RtRtC
4、ABRtCABRtDEB DEB AC=AC=8BE6DE5m100BDBEDE3mm2BEDE2m2BEDE2222)(BEBDBDAB 8100BEBDAB2 225BEABDEAC 87586225BEDEAB 【例【例3 3】已知：已知：ABCABC的两边的两边ABAB、ACAC的长是关于的长是关于x x的一元二的一元二次方程次方程x x2 2-(2k+3)x+k-(2k+3)x+k2 2+3k+2=0+3k+2=0的两个实数根，第三边的两个实数根，第三边BCBC的的长为长为5.5.(1)(1)k k为何值时，为何值时，ABCABC是以是以BCBC为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形?
5、(2)(2)k k为何值时，为何值时，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形?并求并求ABCABC的周长的周长.【分析】【分析】ABAB、ACAC是方程的两根，则根据根与系数的关系以是方程的两根，则根据根与系数的关系以及及ABCABC是以是以BCBC为斜边的直角三角形联立关于为斜边的直角三角形联立关于k k的方程，即的方程，即可求得可求得k k的值；而的值；而ABCABC为等腰三角形，则要通过分类讨论为等腰三角形，则要通过分类讨论三种情形，并且使分类不重不漏，再由其他条件确定三种情形，并且使分类不重不漏，再由其他条件确定k k值，值，从而求得等腰三角形的周长从而求得等腰三角形的周长.解：解：(1
6、)(1)ABAB、ACAC是方程是方程x x2 2-(2k+3)x+k-(2k+3)x+k2 2+3k+2=0+3k+2=0的两根的两根AB+AC=2k+3AB+AC=2k+3，ABAC=kABAC=k2 2+3k+2+3k+2又又ABCABC是以是以BCBC为斜边的直角三角形，且为斜边的直角三角形，且BC=5BC=5ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2(AB+AC)(AB+AC)2 2-2ABAC=25-2ABAC=25即即(2(2k+3)k+3)2 2-2(k-2(k2 2+3k+2)=25+3k+2)=25kk2 2+3k-10=0k+3k-10=0k1 1=-5=-5或或
7、k k2 2=2=2当当k=-5k=-5时，方程为时，方程为x x2 2+7x+12=0+7x+12=0解得解得x x1 1=-3=-3，x x2 2=-4(=-4(舍去舍去)当当k=2k=2时，方程为时，方程为x x2 2-7x+12=0-7x+12=0解得解得x x1 1=3=3，x x2 2=4=4当当k=2k=2时，时，ABCABC是以是以BCBC为斜边的直角三角形为斜边的直角三角形.(2)(2)若若ABCABC是等腰三角形，则有是等腰三角形，则有AB=ACAB=AC，AB=BCAB=BC，AC=BCAC=BC三种三种情况情况.=(2k+3)=(2k+3)2 2-4(k-4(k2 2+
8、3k+2)=1+3k+2)=10 0ABACABAC，故第一种情况不成立；故第一种情况不成立；当当AB=BCAB=BC，或或AC=BCAC=BC时，时，5 5是方程是方程x x2 2-(2k+3)x+k-(2k+3)x+k2 2+3k+2=0+3k+2=0的根的根即即25-5(225-5(2k+3)+kk+3)+k2 2+3k+2=0k+3k+2=0k2 2-7k+12=0-7k+12=0kk1 1=3=3或或k k2 2=4=4当当k=3k=3时，时，x x2 2-9x+20=0-9x+20=0，x x1 1=4=4，x x2 2=5=5等腰三角形的三边长分别是等腰三角形的三边长分别是5 5
9、、5 5、4 4，周长是，周长是14.14.当当k=4k=4时，时，x x2 2-11x+30=0 x-11x+30=0 x1 1=5=5，x x2 2=6=6等腰三角形的三边长分别是等腰三角形的三边长分别是5 5、5 5、6 6，周长为，周长为1616，故当故当k=3k=3或或k=4k=4时，时，ABCABC为等腰三角形，周长分别为为等腰三角形，周长分别为1414或或16.16.【例【例4 4】已知，在】已知，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，a a、b b、c c分别是分别是A A、BB、CC的对边，的对边，tan Atan A、tan Btan B是关于是关于x x的一元二
10、次的一元二次方程方程x x2 2-kx+12k-kx+12k2 2-37k+26=0-37k+26=0的两个实数根，的两个实数根，求：求：(1)(1)求求k k的值；的值；(2)(2)若若c=10c=10，且且a ab b，求求a a、b b的值的值.【分析】利用根与系数的关系列方程即可求【分析】利用根与系数的关系列方程即可求k k的值；再利的值；再利用三角函数知识可求出用三角函数知识可求出a a、b b的边长的边长.解：解：(1)(1)tan Atan B=12ktan Atan B=12k2 2-37k+26-37k+26则由则由C=90C=90知知A+B=90A+B=90即即tan At
11、an B=1tan Atan B=112k12k2 2-37k+26=1(12k-25)(k-1)=0-37k+26=1(12k-25)(k-1)=0k=25/12k=25/12或或k=1k=1当当k=1k=1时时 ，方程变为，方程变为x x2 2-x+1=0-x+1=0因因00不合题意舍去不合题意舍去当当k=25/12k=25/12，方程变为方程变为x x2 2-25/12x+1=0-25/12x+1=0因因00成立成立k k的值为的值为25/12.25/12.(2)(2)又又tan A+tan B=ktan A+tan A+tan B=ktan A+(tanA)(tanA)2 2-(tan
12、 A)+1=012(tan A)-(tan A)+1=012(tan A)2 2-25(tan A)+12=0-25(tan A)+12=0tan A=3/4tan A=3/4或或tan A=4/3tan A=4/3又又a abtan A=a/bbtan A=a/b1tan A=4/31tan A=4/31225A1 tantan 6b8a10ba34ba2221225【例【例5 5】如图所示，锐角三角形】如图所示，锐角三角形ABCABC内接于内接于O O，高高ADAD、BEBE交于点交于点H H，过点过点A A引圆的切线与直线引圆的切线与直线BEBE交于点交于点P P，直线直线BEBE交交O
13、 O于另一点于另一点F F，AB12AB12的长是关于的长是关于x x的方程的方程x x2 2-x+(sin-x+(sin2 2C-sin C+1)=0C-sin C+1)=0的一个实数根的一个实数根.(1)(1)求求C C的度数与的度数与ABAB的长；的长；(2)(2)设设BH=xBH=x，BP=yBP=y，求求y y与与x x间的函数关系式；当间的函数关系式；当y=3 y=3 时，试判断时，试判断ABCABC的形状，并的形状，并说明理由说明理由.214133【分析】【分析】(1)(1)利用根的判别式利用根的判别式00可迅速求得；可迅速求得；(2)(2)要寻找要寻找y y与与x x的关系式，
14、就要寻找的关系式，就要寻找y y、x x所在的两个所在的两个三角形相似，故即证三角形相似，故即证PBAPBAABHABH；再利用再利用y y与与x x的关的关系式，已知系式，已知y y值即可求出值即可求出x x的值的值.在在RtRtAHEAHE和和RtRtABEABE中中运用勾股定理及三角函数知识求出运用勾股定理及三角函数知识求出HEHE、BEBE的长度，最后的长度，最后计算出计算出BAC=60BAC=60=C=C即可即可.21解：解：(1)(1)方程有实根方程有实根=(-1/2)=(-1/2)2 2-4-41 11/4(sin1/4(sin2 2C-C-3sin C+1)03sin C+1)
15、0即即-(-(sin C-)sin C-)2 20sin C=0sin C=，C=60C=60由由=0=0知知x x1 1=x=x2 2，而而x x1 1+x+x2 2=2x=2x1 1=1/2x=1/2x1 1=1/4=1/4即即AB12=14AB=3.AB12=14AB=3.(2)(2)ADBCADBC，BEACBEACP+PAC=BAD+ABC=90P+PAC=BAD+ABC=90又又PAPA切切O O于于APAC=ABCAPAC=ABCP=ABHP=ABHPBAPBAABHABHx x即即y=y=23x33yBHABABPB x923当当y=y=时，即时，即 在在RtRtDACDAC中
16、，中，C=60C=60DAC=30DAC=30在在RtRtAHEAHE中，设中，设HE=mHE=m，则则AH=2mAH=2m，AE=mAE=m在在RtRtAEBAEB中，中，AEAE2 2+BE+BE2 2=AB=AB2 2 =3 =32 2m=-(m=-(舍舍)m=m=BE=HE+HB=BE=HE+HB=sin BAE=sin BAE=BAE=60BAE=60BAE=C=60BAE=C=60ABCABC为等边三角形为等边三角形.33333339BH 322m33m)()(323323323 233323 课时训练课时训练1.1.斜边长为斜边长为1313的直角三角形的两直角边长为方程的直角三角
17、形的两直角边长为方程x x2 2-(m-(m-1)x+3(m+2)=01)x+3(m+2)=0的两根，求其内切圆的半径的两根，求其内切圆的半径r.r.解：设两直角边长为解：设两直角边长为a a、b b，则则a a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=(m-1)-2ab=(m-1)2 2-6(m+2)=13-6(m+2)=132 2m=18m=18或或m=-10m=-10又又a+b=m-1a+b=m-10m0m1m=-101m=-10舍去舍去a+b=m-1=18-1=17a+b=m-1=18-1=17r=(a+b-13)=(17-13)=2.r=(a+b-13)=(17-1
18、3)=2.21212.(20022.(2002年年北京东城区北京东城区)在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，斜边斜边c=5c=5，两直角边的长两直角边的长a a、b b是关于是关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-mx+2m-2=0mx+2m-2=0的两个根，求的两个根，求RtRtABCABC中较小锐角的正弦值中较小锐角的正弦值.解：解：a a、b b是方程是方程x x2-mx+2m-2=0-mx+2m-2=0的两个根的两个根a+b=ma+b=m，ab=2m-2.ab=2m-2.在在RtRtABCABC中，由勾股定理得中，由勾股定理得a a2 2+b+b2=c=c2
19、 2即即(a+b)a+b)2 2-2ab=25.-2ab=25.mm2 2-2(2m-2)=25m=7-2(2m-2)=25m=7或或m=-3(m=-3(舍舍)当当m=7m=7时时 ，原方程，原方程x x2 2-7x+12=0 x=3-7x+12=0 x=3或或x=4.x=4.假设假设a=3a=3则则sin A=ac=sin A=ac=RtABC中较小锐角的正弦值为中较小锐角的正弦值为 .53533.(20023.(2002年年济南卷济南卷)在等腰三角形在等腰三角形ABCABC中，中，A A、BB、CC的对边分别是的对边分别是a a、b b、c c，已知已知a=3a=3，b b、c c是关于是
20、关于x x的方程的方程x x2 2+mx+2-m=0+mx+2-m=0的两个实数根，求的两个实数根，求ABCABC的周长的周长.21解：解：=m=m2 2-4(2-12m)=m-4(2-12m)=m2+2m-8+2m-8方程有两个实数根方程有两个实数根0m0m2 2+2m-80+2m-80m-4m-4或或m2m2又又b b、c c是是x x2 2+mx+2-m=0+mx+2-m=0的两个实数根的两个实数根b+c=-mbc=2-mb+c=-mbc=2-m当当b b、c c为腰时即为腰时即b=c b=c 而此时而此时m m-4-4有意义有意义.周长周长=a+b+c=3+2+2=7.a+b+c=3+
21、2+2=7.21212bm212bmb22 当当b b、c c中只有一个为腰时，不妨设中只有一个为腰时，不妨设b b为腰，则有为腰，则有b=a=3b=a=3而此时而此时m=225m=225有意义有意义.周长周长=a+b+c=3+3+75=375.a+b+c=3+3+75=375.综上所述，周长为综上所述，周长为7 7或或375.375.57cm212c3mc3 只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里
22、之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福
23、都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的
24、流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美
25、的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我
26、，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态
27、炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来，我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵
28、使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂
29、，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地
30、唱着罗大佑的童年，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动，日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，谁会和你牵手相伴一生，
