1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年福建省福州市福清市高考数学一模试卷（理科）年福建省福州市福清市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |5Ux x， |327 x Ax，则( UA ) A |3x x B |5x x C |35xx D |0x x或 35x 2 （5 分）已知复数z满足0zz，且9z z ，则(z ) A3 B3i C3 D3i 3 （5 分）已知两个力 1 (4,2)
2、F ， 2 ( 2,3)F 作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该 物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力 3 F，则 3 (F ) A( 2, 5) B(2,5) C( 5, 2) D(5,2) 4（5 分） 已知等比数列 n a的前n项和为 n S， 若 2413 2 ()aaa a， 且 135 512a a a ， 则 10 (S ) A1022 B2046 C2048 D4094 5 （5 分）如图 1 为某省 2018 年1 4月快递义务量统计图，图 2 是该省 2018 年1 4月快 递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( ) A2018 年1 4月的业务量，3
3、 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B2018 年1 4月的业务量同比增长率超过50%，在 3 月最高 C从两图来看，2018 年1 4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全 第 2 页（共 19 页） 一致 D从1 4月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 6 （5 分）已知 2 ( )2f xx xf （2） ，则曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为( ) A490xy B610xy C1010xy D610xy 7 （5 分）若 4 (12 )(1)xax展开式中 2 x的系数为 78，则整数a的值为( ) A3 B2 C2 D
4、3 8 （5 分）已知函数( ) xx f xee ，若 0.5 0.6a ， 0.5 log0.6b ， 0.6 log5c ，则( ) Af（a）f（b）f（c） Bf（c）f（b）f（a） Cf（b）f（a）f（c） Df（c）f（a）f（b） 9 （5 分）如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该 几何体的体积为( ) A4 B16 3 C 32 3 D16 10 （5 分）将曲线 1 2sin()1 24 yx 向左平移 4 个单位长度，得到曲线的对称中心为( ) A(2,0)k，kZ B(2,0), 4 kkZ C(2,1), 4 kkZ D 5 (
5、2,1), 4 kkZ 11 （5 分）双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平 行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形(OAFB O为坐标原点）的面积为bc， 则双曲线的离心率为( ) A2 B2 C3 D3 第 3 页（共 19 页） 12 （5 分）半正多面体亦称“阿基米德多面体” ，是由边数不全相同的正多边形为面的多面 体，体现了数学的对称美如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥， 如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八 个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体
6、为二十四等边体若棱长为 2 的二十四 等边体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A16 B 32 3 C8 D4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13 （5 分）已知3sintan80,(, ) 2 ，则tan 14 （5 分）某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 5 4 2 , 6 5 5 ，只有通过前 一关才能进入下一关，且通过每关相互独立某选手参加该节目，则该选手能进入第四关的 概率为 15 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且
7、 13 10aa， 9 72S 数列 n b的首项 为 3，且 1 3 nn b b ，则 102020 a b 16 （5 分）过点( 1,0)M 的直线l与抛物线 2 :4C yx交于A，B两点(A在M，B之间） ， F是C的焦点，点N满足6NFAF，则ABF与AMN的面积之和的最小值是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第22、 23题为选考题， 考生根据要求作答（一）题为选考题，
8、考生根据要求作答（一） 必考题：共必考题：共 60 分分 17（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 7 coscos 7 aBbAac， sin2sinAA （1）求A及a； （2）若2bc，求BC边上的高 18（12 分） 如图， 四边形ABCD是梯形， 四边形CDEF是矩形， 且平面ABCD 平面CDEF， 第 4 页（共 19 页） 90BADCDA ， 1 2 2 ABADDECD，M是AE的中点 （1）证明：/ /AC平面MDF； （2）求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值 19 （12 分） 2019 年 9 月 24 日国家统计局在庆祝中华人
9、民共和国成立 70 周年活动新闻中心 举办新闻发布会指出，1952 年 2018年，我国GDP查 679.1 亿元跃升至 90.03 万亿元，实 际增长 174 倍；人均GDP从 119 元提高到 6.46 万元，实际增长 70 倍全国各族人民，砥 砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展如图是全国 2010 年至 2018 年GDP总 量y（万亿元）的折线图注：年份代码1 9分别对应年份2010 2018 （1） 由折线图看出， 可用线性回归模型拟合y与年份代码t的关系， 请用相关系数加以说明； （2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01)，并预测 2021 年全国GDP的总量 附
10、注： 参考数据： 9999 22 1111 582.01,64.668,3254.80,()()345.900 iiiii iiii yyt yttyy 参考公式：相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii ttyy r ttyy ； 回归方程 yabt中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyy b tt ， a ybt 第 5 页（共 19 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点(2,1)P，且离心率为 3 2 （1）求C的方程； （2） 已知直线l不经过
11、点P， 且斜率为 1 2 ， 若l与C交于两个不同点A，B， 且直线PAPB 的倾斜角分别为， 试判断是否为定值， 若是， 求出该定值； 否则， 请说明理由 21 （12 分）已知函数( )2sinf xlnxxx，证明： （1）( )f x在区间(0, )存在唯一极大值点； （2）( )f x有且仅有 2 个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂
12、黑选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程（共（共 1 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 3 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，在以坐标 原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为4cos6sin （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为(3,1)，求|AMAN 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（共（共 1 小题，满分小题，满分 0 分）分） 23已知函数( ) |21|1|f xxax，aR （1）当2a 时，求不等式( )1f x 的
13、解集； （2）当(1,2)x时，不等式( )1f xx 成立，求实数a的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2020 年福建省福州市福清市高考数学一模试卷（理科）年福建省福州市福清市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |5Ux x， |327 x Ax，则( UA ) A |3x x B |5x x C |35xx D |0x x或 35x 【解答】解：
14、集合 |5Ux x， |327 |3 x Axx x剟，则 |35 UA xx， 故选：C 2 （5 分）已知复数z满足0zz，且9z z ，则(z ) A3 B3i C3 D3i 【解答】解：设( ,)zabi a bR， 由0zz，且9z z ，得 2 0 9 b a ，即3a ，0b 3z 故选：C 3 （5 分）已知两个力 1 (4,2)F ， 2 ( 2,3)F 作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该 物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力 3 F，则 3 (F ) A( 2, 5) B(2,5) C( 5, 2) D(5,2) 【解答】解：根据题意知， 312 ()(2
15、,5)( 2, 5)FFF 故选：A 4（5 分） 已知等比数列 n a的前n项和为 n S， 若 2413 2 ()aaa a， 且 135 512a a a ， 则 10 (S ) A1022 B2046 C2048 D4094 【解答】解：由等比数列的性质可知， 3 1353 512a a aa， 所以 3 8a ， 因为 2413 2()aaaa， 第 7 页（共 19 页） 所以 2 88 82(8)q qq ， 整理可得， 32 2(1)qqq 所以2q ， 1 2a ， 10 10 2(12 ) 2046 12 S 故选：B 5 （5 分）如图 1 为某省 2018 年1 4月快
16、递义务量统计图，图 2 是该省 2018 年1 4月快 递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( ) A2018 年1 4月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B2018 年1 4月的业务量同比增长率超过50%，在 3 月最高 C从两图来看，2018 年1 4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全 一致 D从1 4月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 【解答】解：选项A，B显然正确； 对于选项C，2 月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正 确的 ；对于选项D，1，2，3，4 月收入的同比增长率分别为55
17、%，30%，60%，42%，并不 是逐月增长，D错误 故选：D 第 8 页（共 19 页） 6 （5 分）已知 2 ( )2f xx xf （2） ，则曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为( ) A490xy B610xy C1010xy D610xy 【解答】解：由题意，( )22fxx f （2） ， 当2x 时，f（2）4 2f （2） ，解得f（2）4 故 2 ( )8f xxx，( )28fxx f（1）187 ，f（1）286 曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为76(1)yx ， 即610xy 故选：D 7 （5 分）若 4 (12 )(1)xax
18、展开式中 2 x的系数为 78，则整数a的值为( ) A3 B2 C2 D3 【解答】解： 4234 (12 )(1)(12 )(146 ()4()()xaxxaxaxaxax)， 展开式中 2 x的系数为 2 6( 2)478aa 得3a 或 13 3 a ， 整数a的值为3 故选：A 8 （5 分）已知函数( ) xx f xee ，若 0.5 0.6a ， 0.5 log0.6b ， 0.6 log5c ，则( ) Af（a）f（b）f（c） Bf（c）f（b）f（a） Cf（b）f（a）f（c） Df（c）f（a）f（b） 【解答】解：函数( ) xx f xee ，在R上单调递减 0
19、.5 0.61a ， 0.5 log0.6(0,1)b ， 0.6 log50c ， 则abc， f（a）f（b）f（c） 故选：A 9 （5 分）如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该 几何体的体积为( ) 第 9 页（共 19 页） A4 B16 3 C 32 3 D16 【解答】解：由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥，且侧棱PD 底面ABCD， 2PD ，1AD ，3BC ，4CD ； 所以该四棱锥的体积为 11116 (13)42 3323 VSh 故选：B 10 （5 分）将曲线 1 2sin()1 24 yx 向左平移 4 个单位长度，得到曲线
20、的对称中心为( ) A(2,0)k，kZ B(2,0), 4 kkZ C(2,1), 4 kkZ D 5 (2,1), 4 kkZ 【解答】解：将曲线 1 2sin()1 24 yx 向左平移 4 个单位长度， 得到 11 2sin ()12sin()1 24428 yxx ， 由 1 28 xk 得2 4 xk ， 即函数 1 2sin() 28 yx 对称中心为(2 4 k ，0)，kZ 则 1 2sin()1 28 x 的对称中心为(2 4 k ，1)，kZ 故选：C 第 10 页（共 19 页） 11 （5 分）双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F，过F作与
21、双曲线的两条渐近线平 行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形(OAFB O为坐标原点）的面积为bc， 则双曲线的离心率为( ) A2 B2 C3 D3 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为( ,0)F c， 设OA的方程为0bxay，OB的方程为0bxay， 过F平行于OA的直线FB的方程为() b yxc a ，平行于OB的直线FA的方程为 () b yxc a ， 可得平行线OA和BF的距离为 22 bc b ba ， 由 0 0 bxay bxaybc 可得 1 2 xc， 2 bc y a ，即 1 (2Ac，) 2 bc a ， 则平行四
22、边形OAFB的面积为 22 2 2 1 44 b c Sbcbc a ， 化为 22 3ba， 则 2 2 1132 cb e aa 故选：B 12 （5 分）半正多面体亦称“阿基米德多面体” ，是由边数不全相同的正多边形为面的多面 体，体现了数学的对称美如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥， 如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八 个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体若棱长为 2 的二十四 等边体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A16 B 32 3 C8 D4 第 11 页（共 19 页）
23、 【解答】 解： 由正方体的性质及其题意可知： 该球的半径R满足： 22 (2 )22R， 可得 2 2R 该球的表面积 2 48SR 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13 （5 分）已知3sintan80,(, ) 2 ，则tan 2 2 【解答】解：3sintan80,(, ) 2 ， 2 3(1) 80 cos cos ，整理可得 2 3cos8cos30，解得 1 cos 3 ，或 3（舍去） ， 2 2 2 sin1 3 cos则 sin tan2 2 cos
24、故答案为：2 2 14 （5 分）某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 5 4 2 , 6 5 5 ，只有通过前 一关才能进入下一关，且通过每关相互独立某选手参加该节目，则该选手能进入第四关的 概率为 4 15 【解答】解：某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 5 4 2 , 6 5 5 ， 只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立 某选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为： 5424 65515 P 故答案为： 4 15 15 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 13 10aa， 9 72S 数列 n b的首项 为 3，且 1 3
25、 nn b b ，则 102020 a b 13 【解答】解：因为 13 10aa， 9 72S ， 所以 1 1 2210 93672 ad ad ， 解可得，1d ， 1 4a ， 故 10 13a， 因为数列 n b的首项为 3，且 1 3 nn b b ， 所以数列 n b的奇数项为 3，偶数项为1，即 2020 1b ， 第 12 页（共 19 页） 所以 102020 13a b 故答案为：13 16 （5 分）过点( 1,0)M 的直线l与抛物线 2 :4C yx交于A，B两点(A在M，B之间） ， F是C的焦点，点N满足6NFAF，则ABF与AMN的面积之和的最小值是 8 【解
26、答】解：不妨设直线l的斜率大于 0，即点A，B，N都在x轴上方，如图所示： ， 易知(1,0)F， ABFBMFAMF SSS ， AMNNMFAMF SSS ， 111 222222 222 ABFAMNBMFNMFAMFBNABNA SSSSSyyyyyy ， 6NFAF，(1 N x，)6(1 NA yx，) A y，6 NA yy， 4 ABFAMNBA SSyy ， 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：(1)yk x， 联立方程 2 (1) 4 yk x yx ，消去y得： 2222 (24)0k xkxk， 1 AB xx， 22 4416 ABAB yyxx，4 AB yy，
27、 4242 448 ABFAMNBABA SSyyyy ，当且仅当4 BA yy，即1 A y ，4 B y 时 等号成立， 第 13 页（共 19 页） ABF与AMN的面积之和的最小值是 8， 故答案为：8 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第22、 23题为选考题， 考生根据要求作答（一）题为选考题， 考生根据要求作答（一） 必考题：共必考题：共 60 分分 17（12 分）ABC的
28、内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 7 coscos 7 aBbAac， sin2sinAA （1）求A及a； （2）若2bc，求BC边上的高 【解答】解： （1） 7 coscos 7 aBbAac， 由正弦定理得 7 sincossincossin 7 ABBAaC， 7 sin()sin 7 ABaC，又ABC， 7 sinsin 7 CaC，由sin0C ， 7a ； sin2sinAA，2sincossinAAA，由sin0A ， 1 cos 2 A ， 又(0, )A， 3 A ； （2）由余弦定理得 222 2cosabcbcA，又7a ， 3 A ， 22 7bcbc
29、， 又2bc，代入 22 7bcbc，得 2 230cc， 解得1c 或3（舍去） ，3b， sinsin ac AC ， sin21 sin 14 cA C a ， 设BC边上的高为h， 3 21 sin 14 hbC 18（12 分） 如图， 四边形ABCD是梯形， 四边形CDEF是矩形， 且平面ABCD 平面CDEF， 90BADCDA ， 1 2 2 ABADDECD，M是AE的中点 （1）证明：/ /AC平面MDF； （2）求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值 第 14 页（共 19 页） 【解答】解： （1）连结CE，交DF于N，连结MN，如图所示， 因为四边形CDEF是
30、矩形，所以N是CE的中点，) 由于M是AE的中点， 所以/ /MNAC， 由于MN 平面MDF，AC 平面MDF， 所以/ /AC平面MDF； （2）因为平面ABCD 平面CDEF， 平面ABCD平面CDEFCD，DECD， 所以DE 平面ABCD， 可知AD，CD，DE两两垂直， 以点D为原点，分别以,DA DC DE的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐 标系Oxyz 因为2AB ，则(1M，0，1)，(0F，4，2)，(1,0,1)DM ，(0,4,2)DF ， 设平面MDF的法向量为 1 ( , , )nx y z， 则 1 1 0 0 n DM n DF ，所以 0, 42
31、0, xz yz 取1y ，则 1 (2,1, 2)n ， 依题意，得平面ABCD的一个法向量为 2 (0,0,1)n ， 12 12 12 22 cos, 3|4141 n n n n nn ， 故平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 2 3 第 15 页（共 19 页） 19 （12 分） 2019 年 9 月 24 日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立 70 周年活动新闻中心 举办新闻发布会指出，1952 年 2018年，我国GDP查 679.1 亿元跃升至 90.03 万亿元，实 际增长 174 倍；人均GDP从 119 元提高到 6.46 万元，实际增长 70 倍全国各族人
32、民，砥 砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展如图是全国 2010 年至 2018 年GDP总 量y（万亿元）的折线图注：年份代码1 9分别对应年份2010 2018 （1） 由折线图看出， 可用线性回归模型拟合y与年份代码t的关系， 请用相关系数加以说明； （2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01)，并预测 2021 年全国GDP的总量 附注： 参考数据： 9999 22 1111 582.01,64.668,3254.80,()()345.900 iiiii iiii yyt yttyy 参考公式：相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii
33、ttyy r ttyy ； 回归方程 yabt中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyy b tt ， a ybt 【解答】 解：（1） 由折线图中的数据和附注中参考数据得， 123456789 5 9 t ， 9 2 1 ()60 i i tt ， 第 16 页（共 19 页） 999 111 ()()3254.805 582.01344.75 iiiii iii ttyyt yty ， 所以 344.75 0.997 345.90 r ， 因为y与t的相关系数近似为 0.997，说明y与t的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归
34、模型拟合y与t的关系 （2）由已知及（1）得 9 1 9 2 1 ()() 344.75 5.746 60 () ii i i i ttyy b tt ， 64.6685.746535.94aybt， 所以y关于t的回归方程为35.945.75yt 将 2021 年对应的年份代码12t 代入回归方程， 得35.945.75 12104.94y ， 所以预测 2021 年全国GDP总量约为 104.94 万亿元 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点(2,1)P，且离心率为 3 2 （1）求C的方程； （2） 已知直线l不经过点P， 且斜率为 1 2 ， 若
35、l与C交于两个不同点A，B， 且直线PAPB 的倾斜角分别为， 试判断是否为定值， 若是， 求出该定值； 否则， 请说明理由 【解答】解： （1）离心率为 3 2 c e a ，2ak，3ck，bk，(0)k 由 22 41 1 4kk ，得 2 2k ， 故椭圆的方程为 22 1 82 xy ； （2）设直线 1 :(0) 2 l yxm m， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 由 22 220 1 82 xym xy ，消去y得， 22 2240xmxm， 由 2 4 8 2 4(164)0m，故( 2m ，0)(0，2)， 2 1212 2 ,24xxm x xm
36、， 根据题意，PA与PB的斜率存在，所以， 2 ， 第 17 页（共 19 页） 设直线PA，PB的斜率分别为 1 k， 2 k， 12 12 12 11 , 22 yy kk xx ， 故 121221 12 1212 11(1)(2)(1)(2) 22(2)(2) yyyxyx kk xxxx 1221 12 11 (1)(2)(1)(2) 22 (1)(1) xmxxmx xx 1212 12 (2)()4(1) (2)(2) x xmxxm xx 2 12 24(2)( 2 )4(1) 0 (2)(2) mmmm xx ， 由tantan0，故 21 （12 分）已知函数( )2sin
37、f xlnxxx，证明： （1）( )f x在区间(0, )存在唯一极大值点； （2）( )f x有且仅有 2 个零点 【解答】证明： （1）函数( )2sinf xlnxxx，(0, )x， 1 ( )12cosfxx x ， 令 1 ( )12cosg xx x ，(0, )x， 2 1 ( )2sin0g xx x ，函数( )g x在(0, )上单调递减， 又当0x 时，( )g x ，而 2 ()10 2 g ， 存在唯一 0 (0,) 2 x ，使得 0 ()0g x， 当 0 (0,)xx时，( )0g x ， 即( ) 0fx， 函数( )f x单调递增； 当 0 (xx，)时
38、，( )0g x ， 即( )0fx，函数( )f x单调递减， 函数( )f x在区间(0, )存在唯一极大值点 0 x； （2）由（1）可知，函数( )f x在 0 (0,)x上单调递增，在 0 (x，)上单调递减， 0 x是函数( )f x的极大值点，且 0 (0,) 2 x ， 0 4 ()()20 22222 f xflnln ， 又当0x 时，( )f x ；( )0fln， 在区间 0 (0,)x内存在一个零点，在区间 0 (x，)上存在一个零点， 第 18 页（共 19 页） 当( ,)x时，设( )h xlnxx，则 11 ( )10 x h x xx ， ( )h x在(
39、,)上单调递减，( )( )2h xhln ，又2 2sin2x 剟， ( )2sin0f xlnxxx，函数( )f x在区间( ,)内无零点， 函数( )f x有且仅有 2 个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程（共（共 1 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角
40、坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 3 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，在以坐标 原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为4cos6sin （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为(3,1)，求|AMAN 【解答】解： （1）曲线C的方程4cos6sin， 2 4 cos6 sin， 22 46xyxy， 即曲线C的直角坐标方程为： 22 (2)(3)13xy （2）把直线 2 3 2 : 2 1 2 xt l yt 代入曲线C得 22 22 (1)( 2)13 22 tt ， 整理得， 2 3 280tt 2 ( 3
41、 2)320 ， 设 1 t， 2 t为方程的两个实数根，则 12 3 2tt， 1 2 8t t ， 1 t， 2 t为异号， 又点(3,1)A在直线l上， 2 1212121 2 | | |()4505 2AMANttttttt t 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（共（共 1 小题，满分小题，满分 0 分）分） 23已知函数( ) |21|1|f xxax，aR 第 19 页（共 19 页） （1）当2a 时，求不等式( )1f x 的解集； （2）当(1,2)x时，不等式( )1f xx 成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）当2a 时，( )1f x 即为|21|21| 1xx， 当 1 2 x时，( )212121f xxx ，不成立； 当 11 22 x时，( )122141f xxxx ， 11 24 x ； 当 1 2 x时，( )122121f xxx ，成立； 综上，不等式的解集为 1 (,) 4 ； （2）当(1,2)x时，不等式( )1f xx 可化为21 |1| 1xaxx ， 32 |1|xax， 23132xaxx ， 13 33a xx ， 1 3y x 在(1,2)上是减函数， 5 (, 2) 2 y ； 3 3y x 在(1,2)上是增函数， 3 (0, ) 2 y， 20a 剟，即实数a的取值范围为 2，0
