1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合0A，1，2，3， 2 |230Bx xx，则(AB ) A( 1,3) B( 1，3 C(0,3) D(0，3 2 （5 分）设 23 32 i z i ，则z的虚部为( ) A1 B1 C2 D2 3 （5 分）某工厂生产的 30 个零件编号为 01
2、，02，19，30，现利用如下随机数表从中 抽取 5 个进行检测若从表中第 1 行第 5 列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的 第 5 个零件编号为( ) 34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 A25 B23 C12 D07 4 （5 分）记 n S为等差数列 n a的前 n 项和，若 2 3a ， 5 9a ，则 6 S为(
3、) A36 B32 C28 D24 5 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线经过点(1, 2)，则该双曲线的离心 率为( ) A3 B 5 2 C5 D2 6 （5 分）已知tan3 ，则sin2()( 4 ) A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 7 （5 分） 7 2 ()x x 的展开式中 3 x的系数为( ) A168 B84 C42 D21 8 （5 分）函数 2 ( )|1| x f xln ex的图象大致为( ) 第 2 页（共 20 页） A B C D 9 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四面体的三
4、视图，则该四 面体的外接球表面积为( ) A 32 3 3 B32 C36 D48 10 （5 分）已知动点M在以 1 F， 2 F为焦点的椭圆 2 2 1 4 y x 上，动点N在以M为圆心， 半径长为 1 |MF的圆上，则 2 |NF的最大值为( ) A2 B4 C8 D16 11 （5 分）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直 线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线被称为三角形的欧拉线，该定 理则被称为欧拉线定理设点O，H分别是ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则( ) A33ABACHMMO B33ABACHMMO C24ABACHMMO
5、 D24ABACHMMO 12 （5 分）已知定义在0， 4 上的函数( )sin()(0) 6 f xx 的最大值为 3 ，则正实数 的取值个数最多为( ) 第 3 页（共 20 页） A4 B3 C2 D1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若x，y满足约束条件 22 0 1 0 1 xy xy x ，则2zxy的最小值为 14 （5 分）设数列 n a的前 n 项和为 n S，若2 nn San，则 6 a 15 （5 分）很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全某马拉松赛事报名网 站的登录验证码
6、由 0，1，2，9 中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验 证码称为“递增型验证码” （如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码” ，则该验证码 的首位数字是 1 的概率为 16 （5 分）已知点 1 ( ,) 2 M m m 和点(N n， 1)( ) 2 nmn，若线段MN上的任意一点P都满 足：经过点P的所有直线中恰好有两条直线与曲线 2 1 :( 13) 2 C yxxx 剟相切，则|mn 的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必
7、须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S， 222 2abcS （1）求cosC； （2）若cossinaBbAc，5a ，求b 18 （12 分）如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是平行四边形，点M，N 分别在棱 1 C C， 1 A A上，且 1 2C MMC， 1 2ANNA （1）求证： 1/ / NC平面BMD； （2）若 1 3A A ，22ABAD， 3
8、 DAB ，求二面角NBDM的正弦值 第 4 页（共 20 页） 19 （12 分） 已知以F为焦点的抛物线 2 :2(0)C ypx p过点(1, 2)P， 直线l与C交于A， B两点，M为AB中点，且OMOPOF （1）当3时，求点M的坐标； （2）当12OA OB 时，求直线l的方程 20 （12 分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体 出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期 一研究团队统计了 某地区 1000 名患者的相关信息，得到如下表格： 潜伏期（单位：天） 0，2 (2，4 (4，6 (6，8 (8，10 (10， 12
9、(12， 14 人数 85 205 310 250 130 15 5 （1）求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） ； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是 否超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表请 将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期6天 潜伏期6天 总计 50 岁以上（含 50 岁） 100 50 岁以下 55 总计 200 第 5 页（共 20 页） （3） 以这 1000 名患者的潜伏期超过
10、 6 天的频率， 代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生 的概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患者，其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附： 2 0 ()P Kk 0.05 0.025 0.010 0 k 3.841 5.024 6.635 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 21 （12 分）已知函数( )(1) x f xealn x （其中常数2.71828e ，是自然对数的底数） （1）若aR，求函数( )f x的极值点个数； （2）若函数( )
11、f x在区间(1,1) a e上不单调，证明： 11 1 a aa （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定两题中任选一题作答注意：只能做所选定 的题目如果多做，则按所做的第一题计分的题目如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 2 3cos ,( sin , xt t yt 为参数，为 倾斜角） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 4sin （1）求 2 C的直角坐标方
12、程； （2）直线 1 C与 2 C相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为(2 3, )，若 2 | |EFPEPF，求直线 1 C的普通方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且满足1abc证明： （1） 111 9 abc ； （2） 8 27 acbcababc 第 6 页（共 20 页） 2020 年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给
13、出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合0A，1，2，3， 2 |230Bx xx，则(AB ) A( 1,3) B( 1，3 C(0,3) D(0，3 【解答】解：集合0A，1，2，3， 2 |230( 1,3)Bx xx ， 则( 1AB ，3， 故选：B 2 （5 分）设 23 32 i z i ，则z的虚部为( ) A1 B1 C2 D2 【解答】解： 23(23 )(32 )13 32(32 )(32 )13 iiii zi iii ， z的虚部为 1 故选：B 3 （5 分）某工厂生产的 30 个零件编号为 01，02，19，30，现利
14、用如下随机数表从中 抽取 5 个进行检测若从表中第 1 行第 5 列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的 第 5 个零件编号为( ) 34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 A25 B23 C12 D07 【解答】解：根据随机数的定义，1 行的第 5 列数字开始由左向右依次选取两个数字，依次 为 07，04，08，23，12， 则抽
15、取的第 5 个零件编号为，12， 故选：C 4 （5 分）记 n S为等差数列 n a的前 n 项和，若 2 3a ， 5 9a ，则 6 S为( ) A36 B32 C28 D24 第 7 页（共 20 页） 【解答】解： 25 6 6() 3 (39)36 2 aa S 故选：A 5 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线经过点(1, 2)，则该双曲线的离心 率为( ) A3 B 5 2 C5 D2 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线经过点(1, 2)， 点(1, 2)在直线 b yx a 上， 2 b a 则
16、该双曲线的离心率为 2 2 15 b e a 故选：C 6 （5 分）已知tan3 ，则sin2()( 4 ) A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 【解答】解：因为tan3 ， 则 222 222 1194 sin2()cos2 41195 cossintan cossintan 故选：D 7 （5 分） 7 2 ()x x 的展开式中 3 x的系数为( ) A168 B84 C42 D21 【解答】解：由于 7 2 ()x x 的展开式的通项公式为 7 2 17 ( 2) rrr r TCx ， 则令723r，求得2r ，可得展开式中 3 x的系数为 2 7 484C， 故选：B
17、 8 （5 分）函数 2 ( )|1| x f xln ex的图象大致为( ) 第 8 页（共 20 页） A B C D 【解答】解： 2 2 1 (1)|1| 10 e fln eln e ，故排除CD； 22 1 ( 1)|1| 1(1)()0fln elnelneln e e ，故排除B 故选：A 9 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四 面体的外接球表面积为( ) A 32 3 3 B32 C36 D48 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为三棱锥体:ABCD 如图所示： 设外接球的半径为r， 则： 2222 (2 )444r，解
18、得 2 12r ， 第 9 页（共 20 页） 所以：41248S 故选：D 10 （5 分）已知动点M在以 1 F， 2 F为焦点的椭圆 2 2 1 4 y x 上，动点N在以M为圆心， 半径长为 1 |MF的圆上，则 2 |NF的最大值为( ) A2 B4 C8 D16 【解答】解：由椭圆的方程可得焦点在y轴上， 2 4a ，即2a ， 由题意可得 2221 | |NFF MMNF MMF，当N，M， 2 F三点共线时取得最大值 而 21 | 24F MMFa，所以 2 |NF的最大值为 4， 故选：B 11 （5 分）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直
19、线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线被称为三角形的欧拉线，该定 理则被称为欧拉线定理设点O，H分别是ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则( ) A33ABACHMMO B33ABACHMMO C24ABACHMMO D24ABACHMMO 【解答】解：如图所示的Rt ABC，其中角B为直角，则垂心H与B重合， O为ABC的外心，OAOC，即O为斜边AC的中点， 又M为BC中点，2AHOM， M为BC中点， 22()2(2)4224ABACAMAHHMOMHMOMHMHMMO 故选：D 第 10 页（共 20 页） 12 （5 分）已知定义在0， 4 上的函数( )sin()(
20、0) 6 f xx 的最大值为 3 ，则正实数 的取值个数最多为( ) A4 B3 C2 D1 【解答】解：定义在0， 4 上的函数( )sin()(0) 6 f xx 的最大值为 3 ， 01 3 ，解得03 ， 7 6612 x 剟 8 0 3 时，则sin() 463 ， 令( )sin() 463 g ，sin() 46 y 在(0， 8 3 上单调递增， 1 (0)0 2 g ， 881 ( )10 399 g ， 因此存在唯一实数，使得sin() 463 8 3 3 ，sin()1 6 x ，必须3， 2 94 x 综上可得：正实数的取值个数最多为 2 个 故选：C 二、填空题：本
21、大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若x，y满足约束条件 22 0 1 0 1 xy xy x ，则2zxy的最小值为 3 【解答】解：画出x，y满足约束条件 22 0 1 0 1 xy xy x ，表示的平面区域，如图所示； 结合图象知目标函数2zxy过A时，z取得最小值， 由 1 10 x xy ，解得(1,2)A， 所以z的最小值为1223z 故答案为：3 第 11 页（共 20 页） 14 （5 分）设数列 n a的前 n 项和为 n S，若2 nn San，则 6 a 63 【解答】解：数列 n a的前n项和为 n
22、S，由于2 nn San， 所以当2n时， 11 2(1) nn San ， 得： 1 21 nn aa ，整理得 1 (1)2(1) nn aa ， 所以 1 1 2 1 n n a a （常数） ，所以数列1 n a 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 所以12n n a ，整理得21 n n a 所以 6 6 2163a 故答案为：63 15 （5 分）很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全某马拉松赛事报名网 站的登录验证码由 0，1，2，9 中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验 证码称为“递增型验证码” （如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码” ，则
23、该验证码 的首位数字是 1 的概率为 4 15 【解答】 解： 基本事件的总数为 4 10 ， 其中该验证码的首位数字是 1 的包括的事件个数为 3 8 该验证码的首位数字是 1 的概率 3 8 4 10 4 15 故答案为： 4 15 16 （5 分）已知点 1 ( ,) 2 M m m 和点(N n， 1)( ) 2 nmn，若线段MN上的任意一点P都满 足：经过点P的所有直线中恰好有两条直线与曲线 2 1 :( 13) 2 C yxxx 剟相切，则|mn 第 12 页（共 20 页） 的最大值为 4 3 【解答】解：由点 1 ( ,) 2 M m m 和点 1 ( ,) 2 N n n
24、， 可得M，N在直线 1 2 yx上， 联立曲线 2 1 :( 13) 2 C yxxx 剟， 可得 2 11 22 x ，无实数解， 由 2 1 2 yxx的导数为1yx， 可得曲线C在1x 处的切线的斜率为 0， 可得切线的方程为 1 2 y ， 即有与直线 1 2 yx的交点 1 (0,) 2 E， 同样可得曲线C在3x 处切线的斜率为 4， 切线的方程为 9 4 2 yx，联立直线 1 2 yx，可得交点 4 (3F， 5) 6 ， 此时可设 1 (0,) 2 M， 4 (3N， 5) 6 ， 则由图象可得|mn的最大值为 44 0 33 ， 故答案为： 4 3 三、解答题：共三、解答
25、题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 第 13 页（共 20 页） 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S， 222 2abcS （1）求cosC； （2）若cossinaBbAc，5a ，求b 【解答】解： （1） 222 2abcS， 所以2cossinabCabC，即sin2co
26、s0CC， 22 sincos1CC，cos0C ， 解可得， 5 cos 5 C ， （2）cossinaBbAc， 由正弦定理可得，sincossinsinsinsin()ABBACAB， 故sincossinsinsincossincosABBAABBA， 所以sincosAA， (0, )A，所以 4 A ， 所以 2522 53 10 sinsin()sin() 4252510 BACC ， 由正弦定理可得， 3 10 5 sin 10 3 sin2 2 aB b A 18 （12 分）如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是平行四边形，点M，N 分别在棱 1
27、 C C， 1 A A上，且 1 2C MMC， 1 2ANNA （1）求证： 1/ / NC平面BMD； （2）若 1 3A A ，22ABAD， 3 DAB ，求二面角NBDM的正弦值 第 14 页（共 20 页） 【解答】解： （1）连接BD，AC交于E，取 1 C M的中点F，连接AF，ME， 由 1 2C MMC， 1 2ANNA， 故 1 C FAN，以且 1 / /C FAN， 故平行四边形 1 C FAN，所以 1 / /C NFA， 根据中位线定理，/ /MEAF， 由ME 平面MDB，FA平面MDB， 所以/ /FA平面MDB， 1/ / NCFA， 故 1/ / NC平面
28、BMD； （2）22ABAD， 3 DAB ，由 2 142 1 2cos3 3 DB ， 由 222 ABADDB，得ADBD， 以D为原点，以DA，DB，?DD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， (0D，0，0)，(0B，3，0)，( 1M ，3，1)，(1N，0，1)， (0DB ，3，0)，( 1DM ，3，1)，(1DN ，0，1)， 设平面MBD的一个法向量为(mx，y，) z， 由 30 30 m DBy m DMxy ，令1x ，得(1m ，0，1)， 设平面NBD的一个法向量为(na，b，) c， 第 15 页（共 20 页） 由 30 0 n DBb n DNac ，得
29、(1,0, 1)n ， 由 1 1 cos,0 22 m n ， 所以二面角NBDM为 2 ，正弦值为 1 19 （12 分） 已知以F为焦点的抛物线 2 :2(0)C ypx p过点(1, 2)P， 直线l与C交于A， B两点，M为AB中点，且OMOPOF （1）当3时，求点M的坐标； （2）当12OA OB 时，求直线l的方程 【解答】解： （1）将(1, 2)P代入抛物线 2 :2C ypx方程，得2p ， 所以C的方程为 2 4yx，焦点(1,0)F， 设 0 (M x， 0) y，当3时，3OMOPOF，可得(2,2)M （2）方法一：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x，
30、2) y， 0 (M x， 0) y， 由OMOPOF可得 0 (1x ， 0 2)(y，0)，所以 0 2y ， 所以直线l的斜率存在且斜率 12 12120 42 1 yy k xxyyy ， 第 16 页（共 20 页） 设直线l的方程为yxb，联立 2 4 yxb yx ，消去y，整理得 22 (24)0xbxb， 22 (24)416160bbb，可得1b ， 则 12 42xxb， 2 12 x xb， 2 121212 ()4y yx xb xxbb， 所以 2 1212 412OA OBx xy ybb， 解得6b ，2b （舍)， 所以直线l的方程为6yx 方法二：设直线l的
31、方程为xmyn，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 0 (M x， 0) y， 联立方程组 2 4 xmyn yx ，消去x，整理得 2 440ymyn， 2 16160mn， 则 12 4yym， 12 4y yn ，则 2 1212 ()242xxm yynmn， 则 2 (2Mmn，2 )m，由OMOPOF得 2 (21mn，22)(m，0)，所以1m ， 所以直线l的方程为xyn， 由16160n，可得1n ， 由 12 4y yn ，得 2 212 12 () 16 y y x xn， 所以 2 1212 412OA OBx xy ynn， 解得6n 或2n
32、， （舍去） 所以直线l的方程为6yx 20 （12 分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体 出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期 一研究团队统计了 某地区 1000 名患者的相关信息，得到如下表格： 潜伏期（单位：天） 0，2 (2，4 (4，6 (6，8 (8，10 (10， 12 (12， 14 人数 85 205 310 250 130 15 5 （1）求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） ； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是
33、第 17 页（共 20 页） 否超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表请 将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期6天 潜伏期6天 总计 50 岁以上（含 50 岁） 100 50 岁以下 55 总计 200 （3） 以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率， 代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生 的概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患者，其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附： 2 0 ()P Kk
34、0.05 0.025 0.010 0 k 3.841 5.024 6.635 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 【解答】解： （1）根据统计数据，计算平均数为 1 (1 8532055 31072509 13011 1513 5)5.4 1000 x （天)； （2）根据题意，补充完整列联表如下； 潜伏期6天 潜伏期6天 总计 50岁以上 （含 50 岁） 65 35 100 50岁以下 55 45 100 总计 120 80 200 根据列联表计算 2 2 200(65455535)25 2.0833.841 12080 100 10
35、012 K ， 所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关； （3）根据题意得，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 4002 10005 ， 设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为X，则 2 (20, ) 5 XB， 第 18 页（共 20 页） 20 20 23 ()( ) ( ) 55 kkk P XkC ，0k ，1，2，20； 由 ()(1) ()(1) P XkP Xk P XkP Xk ， 得 201119 2020 201121 2020 2323 ( ) ( )( )( ) 5555 2323 ( ) ( )( )( ) 5555 kkkkkk kkk
36、kkk CC CC ， 化简得 3(1) 2(20) 2(21) 3 kk kk ，解得 3742 55 k剟； 又kN，所以8k ，即这 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数最有可能是 8 人 21 （12 分）已知函数( )(1) x f xealn x （其中常数2.71828e ，是自然对数的底数） （1）若aR，求函数( )f x的极值点个数； （2）若函数( )f x在区间(1,1) a e上不单调，证明： 11 1 a aa 【解答】解： （1）易知 (1) ( ),1 1 x xea fxx x ， 若0a，则( )0fx，函数( )f x在(1,)上单调递增， 函数( )f
37、 x无极值点，即此时极值点个数为 0； 若0a ，易知函数 x ye的图象与(0) 1 a ya x 的图象有唯一交点 0 (M x， 0) y， 0 0 0 ,1 1 x a ex x ， 当 0 (1,)xx时，( )0fx，函数( )f x在 0 (1,)x上单调递减， 当 0 (xx，)时，( )0fx，函数( )f x在 0 (x，)上单调递增， 函数( )f x有较小值点 0 x，即此时函数( )f x的极值点个数为 1； 综上所述，当0a时，函数( )f x的极值点个数为 0；当0a 时，函数( )f x的极值点个数为 1； （2）证明：函数( )f x在区间(1,1) a e上
38、不单调， 存在 0 (1,1) a xe为函数( )f x的极值点， 由（1）可知，0a ，且 1 (1)0 a ae a a eea fe e ，即 1 a a e ea ，两边取自然对数得 1 a aelna ，即1 a elnaa ， 第 19 页（共 20 页） 要证 11 1 a aa ，不妨考虑证 11 1 1 a elna aa ， 又易知1 x ex， 11 1 a a e ea ，即 1 1 a e a ， 又 1 1 1 a e a ， 1 1 a ea ， 1 1lna a ，即 1 1lna a ， 11 1 1 a elna aa ， 11 1 a aa （二）选考题
39、：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定两题中任选一题作答注意：只能做所选定 的题目如果多做，则按所做的第一题计分的题目如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 2 3cos ,( sin , xt t yt 为参数，为 倾斜角） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 4sin （1）求 2 C的直角坐标方程； （2）直线 1 C与 2 C相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为(2
40、3, )，若 2 | |EFPEPF，求直线 1 C的普通方程 【解答】解： （1）曲线 2 C的极坐标方程为4sin即 2 4 sin，可得普通方程： 22 4xyy （2）点P的极坐标为(2 3, )，可得直角坐标为( 2 3，0) 把直线 1 C的参数方程为 2 3cos ,( sin , xt t yt 为参数，为倾斜角） ，代入 2 C方程可得： 2 (4 3cos4sin)120tt， 2 (4 3cos4sin)480， 可得： 3 sin() 32 ，或 3 sin() 32 ，由为锐角可得： 3 sin() 32 ，解得： 第 20 页（共 20 页） 0 3 则 12 4
41、3cos4sintt， 1 2 12t t 22 121 2 |()44 4()3 3 EFttt tsin ， 1212 | | | 8|sin()| 3 PEPFtttt ， 2 8 4()38|sin()| 33 sin ， 化为：sin()1 3 ，2 6 k ，kZ 满足0 3 可得 6 直线 1 C的参数方程为： 3 2 3 2 1 2 xt yt ， 可得普通方程：32 30xy 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且满足1abc证明： （1） 111 9 abc ； （2） 8 27 acbcababc 【解答】证明：（1） 111111 ()()332229 abcabca bc ab c abc abcabcbaaccbb aa cc b ， 当且仅当 1 3 abc时，等号成立； （2）a，b，c为正数，且满足1abc， 1cab ，10a，10b，10c， 3 (1)(1)(1)8 ()()(1)(1)(1)()(1)(1)(1) 327 abc acbcababcabab cabababababbaababc ， 8 27 acbcababc，当且仅当 1 3 abc时，等号成立
