1、 第 1 页(共 20 页) 2020 年广东省茂名市高考数学一模试卷(理科)年广东省茂名市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:一、选择题: 1 (3 分)已知集合| 24AxZx , 2 |230Bx xx,则(AB ) A( 2,1) B( 1,3) C 1,0 D0,1,2 2 (3 分)i为虚数单位,复数 2 1 i z i 在复平面内对应的点所在象限为( ) A第二象限 B第一象限 C第四象限 D第三象限 3 (3 分)记 n S为等差数列 n a的前n项和,已知 53 16Sa, 1 1a ,则 26 (aa ) A10 B11 C12 D13 4 (3 分)剪纸是我国的传统工艺
2、,要剪出如图“双喜”字,需要将一张长方形纸对折两次 进行剪裁,下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字( ) A B C D 5 (3 分)记 n S为等比数列 n a的前n项和,若 1 1a , 3 7S ,则 35 (a a ) A64 B729 C64 或 729 D64 或 243 6 (3 分)公元 263 年左右,我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积 求圆周率,他从单位圆内接正六边形算起,令边数一倍一倍地增加,即 12,24,48, 192,逐个算出正六边形,正十二边形,正二十四边形,正一百九十二边形,的 面积,这些数值逐步地逼近圆面积,刘徽算到了正一百九十二边形,
3、这时候的近似值是 3.141024,刘徽称这个方法为“割圆术” ,并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细,所 失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” 刘徽这种想法的可贵之处 在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的,用有限来逼近无穷,这种思想极其重要,对 后世产生了巨大影响按照上面“割圆术” ,用正二十四边形来估算圆周率,则的近似值 是( )(精确到0.01) (参考数据sin150.2588) 第 2 页(共 20 页) A3.14 B3.11 C3.10 D3.05 7 (3 分)已知 1 F、 2 F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点
4、,点P在双曲线C 上,且线段 1 PF的中点坐标为(0, )b,则双曲线C的离心率为( ) A2 B3 C5 D2 8 (3 分)前进中学高二学生会体育部共有 5 人,现需从体育部派遣 4 人,分别担任拔河比 赛活动中的裁判、 记录结果、 核查人数、 维持纪律四项工作, 每个人只能担任其中一项工作, 其中体育部的张三不能担任裁判工作,则共有( )种派遣方法 A120 B96 C48 D60 9 (3 分)设函数( )sin()cos()(0f xxx ,|) 2 的最小正周期为,且过 点(0, 2),则下列正确的为( ) ( )f x在(0,) 2 单调递减 ( )f x的一条对称轴为 2 x
5、 (|)fx的周期为 2 把 函 数( )f x的 图 象 向 左 平 移 6 个 长 度 单 位 得 到 函 数( )g x的 解 析 式 为 ( )2cos(2) 6 g xx A B C D 10 (3 分)下列函数图象中,函数 | | ( )() x f xx eZ 的图象不可能的是( ) A B C D 11 (3 分)已知(2,0)A ,( 2,0)B及抛物线方程为 2 8(1)xy,点P在抛物线上,则使 第 3 页(共 20 页) 得ABP为直角三角形的点P个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12 (3 分)已知函数 2 1,1 ( )() ,1 axaxx f
6、 xaR xalnx x ,若函数( )f x有四个零点,则a的取值 范围是( ) A(,0) B( ,)e C(4,) D 2 (4,)e 二、填空题:二、填空题: 13 (3 分)已知实数x,y满足 5 21 0 22 0 xy xy xy ,则3zxy的最小值为 14(3 分) 在ABC中,60BC ,2AB , 且点M满足2BMCM, 则A MB C 15 (3 分)点P为曲线 2 1 2(41)() 4 yxlnxx 图象上的一个动点,为曲线在点P处 的切线的倾斜角,则当取最小值时x的值为 16 (3 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 0.5,某多面体的正视图、左视图、俯视图为 同
7、一图形,粗实线画出如图所示,则该多面体外接球的体积等于 三、解答题:三、解答题: 17 在ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知sin(sinsin )sinbBaABcC ()求角C的大小; ()求sinsinAB的取值范围 18如图,在三棱柱 111 ABCABC中, 1 AA 平面ABC,D是AB的中点,BCAC, 22 2ABDC, 1 4AA ()求证: 1/ / BC平面 1 ACD; ()求平面 11 BCC B与平面 1 ACD所成锐二面角的平面角的余弦值 第 4 页(共 20 页) 19当前,以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初三毕业学生进
8、行 体育测试,是激发学生、家长和学校积极开展体育活动,保证学生健康成长的有效措施某 地区 2019 年初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远、掷实心球、1 分钟跳 绳三项测试,三项考试满分为 50 分,其中立定跳远 15 分,掷实心球 15 分,1 分钟跳绳 20 分 某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况, 随机抽取了 100 名学生 进行测试,得到如下频率分布直方图,且规定计分规则如表: 每分钟跳 绳个数 165,175) 175,185) 185,195) 195,205) 205,215) 得分 16 17 18 19 20 ()现从样本的 100 名学生中,
9、任意选取 2 人,求两人得分之和不大于 33 分的概率; ()若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布 2 ( ,)N ,用样本数据的平均 值和方差估计总体的期望和方差(结果四舍五入到整数) ,已知样本方差 2 77.8S (各组数 据用中点值代替) 根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人每 分钟跳绳个数都有明显进步, 假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时 个数增加 10 个,利用现所得正态分布模型: ()预估全年级恰好有 1000 名学生,正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数 (结果四舍 五入到整数) ()若在该地区 2020 年所有初三毕业
10、生中任意选取 3 人,记正式测试时每分钟跳 202 个 以上的人数为,求随机变量的分布列和期望 附: 若随机变量X服从正态分布 2 ( ,)N ,77.89, 则() 0 . 6 8 2 6PX, (22 )0.9544PX,(33 )0.9974PX 第 5 页(共 20 页) 20 设 函 数( ) x f xemxn, 曲 线( )yf x在 点( 2ln,( 2)f ln处 的 切 线 方 程 为 2 20xyln ()求m,n的值; ()当0x 时,若k为整数,且1() ( )1xkxf xx ,求k的最大值 21在圆 22 4xy上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足,当
11、点P在圆上 运动时,点M在线段PD上,且 1 2 DMDP,点M的轨迹为曲线 1 C (1)求曲线 1 C的方程; (2)过抛物线 2 2: 8Cyx的焦点F作直线l交抛物线于A,B两点,过F且与直线l垂直 的直线交曲线 1 C于另一点C,求ABC面积的最小值,以及取得最小值时直线l的方程 22设A为椭圆 22 1: 1 424 xy C上任意一点,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立 极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 2 10 cos240,B为 2 C上任意一点 ()写出 1 C参数方程和 2 C普通方程; ()求|AB最大值和最小值 23已知函数( ) |22 |()f xxaa
12、R,对xR ,( )f x满足( )(2)f xfx ()求a的值; ()若xR ,使不等式 2 1 ( )(2) 2 f xf xmm,求实数m的取值范围 第 6 页(共 20 页) 2020 年广东省茂名市高考数学一模试卷(理科)年广东省茂名市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:一、选择题: 1 (3 分)已知集合| 24AxZx , 2 |230Bx xx,则(AB ) A( 2,1) B( 1,3) C 1,0 D0,1,2 【解答】解: 1A ,0,1,2,3, | 13Bxx , 0AB,1,2 故选:D 2 (3 分)i为虚数单位,复数 2
13、 1 i z i 在复平面内对应的点所在象限为( ) A第二象限 B第一象限 C第四象限 D第三象限 【解答】解: 22 (1) 1 1(1)(1) ii i zi iii , 在复平面内对应的点为(1, 1), 故选:C 3 (3 分)记 n S为等差数列 n a的前n项和,已知 53 16Sa, 1 1a ,则 26 (aa ) A10 B11 C12 D13 【解答】解:设等差数列 n a的公差为d, 53 16Sa, 1 1a , 54 51216 2 dd ,解得 3 2 d 则 26 3 2611 2 aa 故选:B 4 (3 分)剪纸是我国的传统工艺,要剪出如图“双喜”字,需要将
14、一张长方形纸对折两次 进行剪裁,下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字( ) 第 7 页(共 20 页) A B C D 【解答】解:如图“双喜”字,第一次对折后为; 第二次对折后为; 故选:D 5 (3 分)记 n S为等比数列 n a的前n项和,若 1 1a , 3 7S ,则 35 (a a ) A64 B729 C64 或 729 D64 或 243 【解答】解:设等比数列 n a的公比为1q , 1 1a , 3 7S , 2 17qq ,解得2q ,或3 则 6 35 64a aq或 729 故选:C 6 (3 分)公元 263 年左右,我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼
15、近圆的面积 求圆周率,他从单位圆内接正六边形算起,令边数一倍一倍地增加,即 12,24,48, 192,逐个算出正六边形,正十二边形,正二十四边形,正一百九十二边形,的 面积,这些数值逐步地逼近圆面积,刘徽算到了正一百九十二边形,这时候的近似值是 3.141024,刘徽称这个方法为“割圆术” ,并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细,所 失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣” 刘徽这种想法的可贵之处 在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的,用有限来逼近无穷,这种思想极其重要,对 后世产生了巨大影响按照上面“割圆术” ,用正二十四边形来估算圆周率,则的近似值 是( )(精确到
16、0.01) (参考数据sin150.2588) A3.14 B3.11 C3.10 D3.05 【解答】解:连接圆心与正二十四边形的各个顶点,正二十四边形被分成了 24 个面积相等 第 8 页(共 20 页) 的等腰三角形,每个等腰三角形的腰长为 1,顶角为 0 0 360 15 24 ,所以每个等腰三角形的面 积 0 0 13601 1 1 sinsin15 2242 s ,所以正二十四边形的面积为 2412sin15120.25883.11s , 故选:B 7 (3 分)已知 1 F、 2 F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点,点P在双曲线C 上,且线段
17、 1 PF的中点坐标为(0, )b,则双曲线C的离心率为( ) A2 B3 C5 D2 【解答】 解: 1 F、 2 F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、 右焦点, 点P在双曲线C上, 且线段 1 PF的中点坐标为(0, )b, 可得: 2 2 b b a ,可得2ab, 所以双曲线的离心率为: 22 2 5 cab e aa 故选:C 8 (3 分)前进中学高二学生会体育部共有 5 人,现需从体育部派遣 4 人,分别担任拔河比 赛活动中的裁判、 记录结果、 核查人数、 维持纪律四项工作, 每个人只能担任其中一项工作, 其中体育部的张三不能担任裁判工作,则共有(
18、)种派遣方法 A120 B96 C48 D60 【解答】解:根据题意,需要先在 5 人中选出 4 人,分 2 种情况讨论: , 选出的 4 人中没有张三, 此时将选出的 4 人全排列, 对应 4 项工作即可, 此时有 4 4 24A 种情况, ,选出的 4 人中没有张三,需要在其他 4 人中选出 3 人,再让选出 4 人担任 4 项工作,张 三不担任裁判工作,有 33 43 372CA 种情况, 则一共有247296种安排方法; 故选:B 9 (3 分)设函数( )sin()cos()(0f xxx ,|) 2 的最小正周期为,且过 点(0, 2),则下列正确的为( ) 第 9 页(共 20
19、页) ( )f x在(0,) 2 单调递减 ( )f x的一条对称轴为 2 x (|)fx的周期为 2 把 函 数( )f x的 图 象 向 左 平 移 6 个 长 度 单 位 得 到 函 数( )g x的 解 析 式 为 ( )2cos(2) 6 g xx A B C D 【解答】解:函数( )sin()cos()2sin()(0f xxxx ,|) 2 , 由于函数的最小正周期为, 所以 2 2 , 由于函数的图象经过点(0, 2), 所以22sin, 所以 2 所以函数( )2sin(2)2cos2 2 f xxx , 对于( )f x在(0,) 2 x 时,2(0, )x,所以函数单调
20、递减故正确 对于( )f x的一条对称轴为 2 x 当 2 x 时,函数取得最小值,故正确 (|)2cos2|fxx,所以函数的周期为故错误 把函数( )f x的图象向左平移 6 个长度单位得到函数( )2cos(2) 3 g xx ,故错误 故选:A 10 (3 分)下列函数图象中,函数 | | ( )() x f xx eZ 的图象不可能的是( ) A B 第 10 页(共 20 页) C D 【解答】解:A图象中函数的定义域为R,函数是偶函数,则为正偶数时,满足对应图 象, B图象中函数的定义域为 |0x x ,函数是偶函数,则为负偶数时,满足对应图象, C图象中函数的定义域为R,函数是
21、奇函数,则为正奇数,函数为增函数,且递增的速 度越来越快,故C不满足条件 D图象中函数的定义域为R,函数是奇函数,则为正奇数,函数为增函数,且递增的速 度越来越快,故D满足条件 故选:C 11 (3 分)已知(2,0)A ,( 2,0)B及抛物线方程为 2 8(1)xy,点P在抛物线上,则使 得ABP为直角三角形的点P个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解:由题意如图所示,当PAB,PBA为直角时,即当PBAB,PAAB时有 两个点, 当PAPB,即0PA PB ,APB为直角时,设 2 ( ,1) 8 a P a, (2PA PBa, 2 1) (2 8 a a,
22、2 1)0 8 a ,即 2 2 (2)(2)(1)0 8 a aa, 整理: 42 80640aa,可得由两个根,即有两个P点关于y轴对称, 综上所述共有 4 个点P满足ABP为直角三角形, 故选:D 第 11 页(共 20 页) 12 (3 分)已知函数 2 1,1 ( )() ,1 axaxx f xaR xalnx x ,若函数( )f x有四个零点,则a的取值 范围是( ) A(,0) B( ,)e C(4,) D 2 (4,)e 【解答】解:当0a 时,显然不符合题意,舍去; 当0a 时,( )f xxalnx为(1,)上的增函数,在区间(1,)上至多有一个零点,与条 件矛盾,不合
23、题意,舍去; 当0a 时,则( )f x在(,1上有两个零点,在(1,)上有两个零点 当1x时, 22 14 ( )1() 24 a f xaxaxa x , 由于对称轴是 1 2 x ,(0)ff(1)10 , 故只要 1 ( )0 2 f,即4a ; 当1x 时,( )f xxalnx,( )1 axa fx xx ,令( )0fx,则xa, 当01a 时,( )0fx,( )f x在(1,)上单调递增,与条件矛盾,不符合题意,舍去; 当1a 时,(1, )xa时,( )0fx,( )f x单调递减;当( ,)xa时,( )0fx,( )f x单 调递增; 且根据不同函数的增长率的知识知,
24、必然存在 0 ( ,)xa,使得 000 ()0f xxalnx; 故xa时( )f x有极小值,要满足条件,只要f(a)0aalna,即ae; 综上所述,4a 且ae,故4a ; 故选:C 二、填空题:二、填空题: 13 (3 分)已知实数x,y满足 5 21 0 22 0 xy xy xy ,则3zxy的最小值为 1 第 12 页(共 20 页) 【解答】解:由实数x,y满足 5 21 0 22 0 xy xy xy ,作出可行域如图, 联立 210 220 xy xy ,解得(0,1)A, 化目标函数3zxy为3yxz , 由图可知, 当直线3yxz 过A时, 直线在y轴上的截距最小,z
25、有最小值为3011 故答案为:1 14 (3 分)在ABC中,60BC ,2AB ,且点M满足2BMCM,则AM BC 6 【解答】解:因为在ABC中,60BC ,2AB , 所以ABC是等边三角形 因为点M满足2BMCM,所以,点C是BM的中点, 2AMABBMABBC, 所以 2 2 (2)222 cos120226AM BCABBC BCAB BCBC , 故答案为:6 15 (3 分)点P为曲线 2 1 2(41)() 4 yxlnxx 图象上的一个动点,为曲线在点P处 第 13 页(共 20 页) 的切线的倾斜角,则当取最小值时x的值为 1 4 【解答】解:由 2 1 2(41)()
26、 4 yxlnxx , 得 444 4411 2 (41)13 414141 yxxx xxx , 当且仅当 4 41 41 x x ,即 1 4 x 时,y最小,此时tan最小,最小 故答案为: 1 4 16 (3 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 0.5,某多面体的正视图、左视图、俯视图为 同一图形,粗实线画出如图所示,则该多面体外接球的体积等于 8 2 3 【解答】解:根据该几何体的三视图可知该几何体外框架为正方体,棱长为 2, 则其外接球的半径 222 222 2 2 R ,所以其体积为 3 48 2 33 VR, 故答案为: 8 2 3 三、解答题:三、解答题: 17 在ABC中,
27、 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知sin(sinsin )sinbBaABcC ()求角C的大小; ()求sinsinAB的取值范围 【解答】解: ()由sin(sinsin )sinbBaABcC, 及正弦定理 sinsinsin abc ABC ,得 22 ()a abbc,即 222 abcab, 由余弦定理得 222 1 cos 22 abc C ab , 结合0C,得 3 C () 3 C , 2 3 ABC ,即 2 3 BA , 第 14 页(共 20 页) 则 23133 sinsinsinsin()sincossinsincos3sin() 322226 ABAA
28、AAAAAA , 2 (0,) 3 A , ( 6 A 6 , 5 ) 6 , 1 sin()( 62 A ,1, 则sinsinAB的取值范围是 3 ( 2 ,3 18如图,在三棱柱 111 ABCABC中, 1 AA 平面ABC,D是AB的中点,BCAC, 22 2ABDC, 1 4AA ()求证: 1/ / BC平面 1 ACD; ()求平面 11 BCC B与平面 1 ACD所成锐二面角的平面角的余弦值 【解答】解: ()证明:取 11 AB中点E,连结BE, 1 C E, 在三棱柱 111 ABCABC中,D是AB的中点, 1 / /BEAD, 1 / /C ECD, 1 DADCD
29、, 1 BEC EE,平面 1/ / CDA平面 1 C EB, 1/ / BC平面 1 ACD ()解:取BC的中点O,连结AO, 过O作 11 / /BFAB,交 11 BC于F,F是 11 BC中点, 1 AA 平面ABC,D是AB的中点,BCAC,22 2ABDC, 1 4AA AOBC,以O为原点,OC为x轴,OF为y轴, 1 OA为z轴,建立空间直角坐标系, 第 15 页(共 20 页) 平面 11 BCC B的法向量为(0m ,0,1), 1(0 A,4,2),(2C,0,0),( 2B ,0,0),(0A,0,2),( 1D ,0,1), 设( 3CD ,0,1), 1 ( 2
30、CA ,4,2), 设平面 1 ACD的法向量(nx,y,) z, 则 1 30 2420 n CDxz n CAxyz ,取1x ,得(1n ,1,3), 设平面 11 BCC B与平面 1 ACD所成锐二面角的平面角为, 则 |33 11 cos | |1111 m n mn 平面 11 BCC B与平面 1 ACD所成锐二面角的平面角的余弦值为 3 11 11 19当前,以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初三毕业学生进行 体育测试,是激发学生、家长和学校积极开展体育活动,保证学生健康成长的有效措施某 地区 2019 年初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远、掷
31、实心球、1 分钟跳 绳三项测试,三项考试满分为 50 分,其中立定跳远 15 分,掷实心球 15 分,1 分钟跳绳 20 分 某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况, 随机抽取了 100 名学生 进行测试,得到如下频率分布直方图,且规定计分规则如表: 每分钟跳 绳个数 165,175) 175,185) 185,195) 195,205) 205,215) 得分 16 17 18 19 20 ()现从样本的 100 名学生中,任意选取 2 人,求两人得分之和不大于 33 分的概率; 第 16 页(共 20 页) ()若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布 2 ( ,)N
32、 ,用样本数据的平均 值和方差估计总体的期望和方差(结果四舍五入到整数) ,已知样本方差 2 77.8S (各组数 据用中点值代替) 根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人每 分钟跳绳个数都有明显进步, 假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时 个数增加 10 个,利用现所得正态分布模型: ()预估全年级恰好有 1000 名学生,正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数 (结果四舍 五入到整数) ()若在该地区 2020 年所有初三毕业生中任意选取 3 人,记正式测试时每分钟跳 202 个 以上的人数为,求随机变量的分布列和期望 附: 若随机变量X服从正态分
33、布 2 ( ,)N ,77.89, 则() 0 . 6 8 2 6PX, (22 )0.9544PX,(33 )0.9974PX 【解答】解: ()现从样本的 100 名学生中,任意选取 2 人,两人得分之和不大于 33 分, 即两人得分均为 16 分,或两人中 1 人 16 分,1 人 17 分, 由题意知:得 16 分的分数为 5 人,得 17 分的人数为 9 人, 两人得分之和不大于 33 分的概率为: 211 559 2 100 1 90 CC C P C ()( )1700.051800.091900.52000.32100.06192.3192i X (个), 2 77.8,9,正
34、式测试时,202,9, 193,211, 10.6826 (193)10.8413 2 P , 0.8413 1000841.3841, 第 17 页(共 20 页) 正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数为 841 个 ( )ii由正态分布模型得,在该地区 2020 年初三毕业生中任取 1 人, 每分钟跳绳个数 202 以上的概率为 1 2 ,即 1 (3, ) 2 B, 003 3 111 (0)( ) (1) 228 PC, 12 3 113 (1)( )(1) 228 PC, 22 3 113 (2)( ) (1) 228 PC, 330 3 111 (3)( ) (1) 228 P
35、C, 的分布列为: 0 1 2 1 P 1 8 3 8 3 8 1 8 13313 ( )0123 88882 E 20 设 函 数( ) x f xemxn, 曲 线( )yf x在 点( 2ln,( 2)f ln处 的 切 线 方 程 为 2 20xyln ()求m,n的值; ()当0x 时,若k为整数,且1() ( )1xkxf xx ,求k的最大值 【解答】解: ()( ) x fxem,易知切线方程的斜率为 1,且过点( 2,2)lnln, 222 21 mlnnln m ,解得1m ,2n ; ()由()知,( )2 x f xex, 1() ( )1xkxf xx 即为1()(1
36、) x xkx e , 当0x 时,等价于 1 (0) 1 x x kx x e , 令 1 ( )(0) 1 x x g xx x e ,则 2 (2) ( ) (1) xx x e ex g x e , 令( )2 x h xex,由0x 得,( )10 x h xe , 函数( )h x在(0,)上递增, 第 18 页(共 20 页) 而h(1)0,h(2)0,故存在唯一的零点 0 (1,2)x ,使得 0 ()0h x,即存在唯一的 零点 0 (1,2)x ,使得 0 ()0g x, 当 0 (0,)xx时,( )0g x,( )g x递减,当 0 (xx,)时,( )0g x,( )
37、g x递增, 0 ( )() min g xg x, 又 0 ()0h x,即 0 0 2 x ex,故 00 ()1(2,3)g xx , 整数k的最大值为 2 21在圆 22 4xy上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足,当点P在圆上 运动时,点M在线段PD上,且 1 2 DMDP,点M的轨迹为曲线 1 C (1)求曲线 1 C的方程; (2)过抛物线 2 2: 8Cyx的焦点F作直线l交抛物线于A,B两点,过F且与直线l垂直 的直线交曲线 1 C于另一点C,求ABC面积的最小值,以及取得最小值时直线l的方程 【解答】解(1)设( , )M x y,( ,)P x y,由题意可知
38、( ,0) D x ,因为 1 2 DMDP,所以可得M 是DP的中点, 2 xx y y ,即 2 xx yy , 而P在圆 22 4xy上,所以可得 22 (2 )4xy,整理得: 2 2 1 4 x y, 所以曲线 1 C的方程: 2 2 1 4 x y (2) 由题意焦点F的坐标(2,0), 显然直线l的斜率不为 0, 设直线l的方程为:2xmy, 设交点( , )A x y,( ,)B x y,联立直线与抛物线的方程: 2 2 8 xmy yx , 2 8160ymy,8yym,16yy , 所以弦长 22222 1()4164648(1)ABmyyyymmm, 由 题 意 可 知C
39、F的 方 程 为 :(2 )ym x , 与 曲 线 1 C联 立 2 2 (2 ) 1 4 ym x x y 可 得 : 第 19 页(共 20 页) 2222 (14)161640mxm xm, 2 2 16 2 14 m x m , 2 2 82 14 C m x m , 代入直线CF中 2 22 824 (2) 1414 C mm ym mm ,即C的坐标为 2 2 82 (1 4 m m , 2 4 ) 14 m m , 所以 22 22 222 8244 1 (2)() 141414 mmm CF mmm , 所以 22 22 22 114 11 8(1)16(1) 221414
40、ABC mm SAB CFmm mm , 令 2 11tm,则 3 2 16 43 ABC t S t ,令 3 2 ( )(1) 43 t f tt t , 22322 2222 3 (43)4(49) ( ) (43)(43) tttttt f t tt ,令( )0f t,1t, 3 2 t , 当 3 1 2 t ,( )0f t,( )f t单调递减 当 3 2 t ,( )0f t,( )f t单调递增, 所以1t,), 3 ( ) 2 f最小,且最小值 3 2 3 ( ) 39 2 ( ) 3 216 4 ( )3 2 f , 所以ABC面积的最小值为 9 169 16 ,且这时
41、 2 3 1 2 m,解得 5 2 m , 即直线l的方程为: 5 2 2 xy 22设A为椭圆 22 1: 1 424 xy C上任意一点,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立 极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 2 10 cos240,B为 2 C上任意一点 ()写出 1 C参数方程和 2 C普通方程; ()求|AB最大值和最小值 【解答】解: ()椭圆 22 1: 1 424 xy C转换为参数方程为 2cos ( 2 6sin x y 为参数) 曲线 2 C的极坐标方程为 2 10 cos240, 转换为直角坐标方程为 22 10240xyx, 整理得 22 (5)1xy ( )
42、 椭 圆 上 点(2cosA,2 6sin )到 曲 线 2 C的 圆 心(5,0)的 距 离 第 20 页(共 20 页) 222 197 (2cos5)24sin2(cos) 22 d, 当 1 cos 2 时, 97 | 2 max AO, 当cos1时,|2 11 min AO, 所以 97 |12 1941 2 max AB , |2 111 min AB 23已知函数( ) |22 |()f xxaaR,对xR ,( )f x满足( )(2)f xfx ()求a的值; ()若xR ,使不等式 2 1 ( )(2) 2 f xf xmm,求实数m的取值范围 【解答】解: ()函数( ) |22 |()f xxaaR,对xR ,( )f x满足( )(2)f xfx, 可得( )f x的图象关于直线1x 对称,可得1a ; ()由()可得( )2|1|f xx, 若xR ,使不等式 2 1 ( )(2) 2 f xf xmm, 可得 2 |1|22|mmxx的最大值, 由|1|22| |1|1|1|11| 1 1| 2xxxxxxx , 当且仅当1x 时,取得等号,即最大值 2, 则 2 2mm,解得21m 剟