1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年河南省、河北省九师联盟高考数学模拟试卷（理科） （年河南省、河北省九师联盟高考数学模拟试卷（理科） （3 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）若全集 1 ,|1UR Mx x ，则( UM ) A |1x x B |01xx剟 C |0x x D |0x x 或1x 2 （5 分）若1( 3 z i i i 为虚数单位） ，则复数z的共轭复数的模是( ) A2
2、2 B20 C2 5 D8 3 （5 分）在“新零售”模式的背景下，自由职业越来越流行，诸如淘宝店主、微商等等现 调研某行业自由职业者的工资收入情况，对该行业 10 个自由职业者人均年收入y（千元） 与平均每天的工作时间x（小时）进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且线性回 归方程为1260yx，若自由职业者平均每天工作的时间为 5 小时，估计该自由职业者年 收入为( ) A50 千元 B60 千元 C120 千元 D72 千元 4 （5 分）函数 ()sin ( ) xx eex f x x 的部分图象大致是( ) A B C D 5 （5 分）2020 年东京夏季奥运会将设置4 10
3、0米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比 赛的规则是：每个参赛国家派出 2 男 2 女共计 4 名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶 第 2 页（共 20 页） 泳自由泳的接力顺序， 每种泳姿 100 米且由 1 名运动员完成， 且每名运动员都要出场 若 中国队确定了备战该项目的 4 名运动员名单， 其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳， 男 运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳， 剩下的 2 名运动员四种泳姿都可以承担， 则中国队参赛的 安排共有( ) A144 种 B8 种 C24 种 D12 种 6 （5 分） 算经十书是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，它们曾经是附唐时 代国子监算学科的教科书
4、十部书的名称是： 周髀算经 九章算术 海岛算经 五曹算经 孙子算经 夏侯阳算经 张丘建算经 五经算术 缉古算经 缀术 小明计划从这 十部书中随机选择两部书购买则选择到九章算术的概率是( ) A 1 2 B 3 10 C 2 5 D 1 5 7 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出k的值是( ) A8 B10 C12 D14 8（5分） 已知菱形ABCD边长为2，120BAD， 点E，F分别在边BC，DC上，3BCBE， 2DCDF，则(AE AF ) A2 B2 C1 D一 1 9 （5 分）将函数( )2sin(3)(0)f xx图象向右平移 8 个单位长度后，得到函数的 图象关于直线
5、 3 x 对称，则函数( )f x在, 8 8 上的值域是( ) A 1，2 B3，2 C 2 ,1 2 D2,2 10 （5 分）已知三棱锥DABC的体积为 2，ABC是边长为 2 的等边三角形，且三棱锥 DABC的外接球的球心O恰好是CD的中点，则球O的表面积为( ) A 52 3 B 40 3 C 25 3 D24 第 3 页（共 20 页） 11 （5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别是 1 F， 2 F， 若以线段 12 FF 为直径的圆交双曲线C于点P，且 1221 2 PFFPF F ，则双曲线C的离心率为( ) A3 B2 C
6、31 D 5 2 12 （5 分）已知定义域为R的函数( )f x满足( )2(2)f xf x，当0x，2)时， 2 3 | 2 1,0,1) ( ) 1 ( ),1,2) 2 x xxx f x x ，设( )f x在22n，2 n上的最大值为() n a nZ，则数列 n a的 前n项和 n S的值为( ) A 1 55( ) 2 n B 51 5( ) 22 n C 1 1 5( ) 2 n D 1 51 5( ) 22 n 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知随机变量X满足( , )XN ，且(22 )
7、0.9544PXa，若随机 变量(2019,4)XN，则(2023)P X 的值大约是 14 （5 分）已知 n a是公差不为零的等差数列， n S为其前n项和若 1 S， 2 S， 4 S成等比数 列，且 5 9a ，则数列 n a的前n项和为 15 （5 分）已知F为抛物线 2 :8C xy的焦点，P为C上一点，( 4,3)M ，则PMF周长 的最小值是 16 （5 分）若对于曲线2 x yex上的任意一点处的切线 l l，总存在曲线cosyaxx上的 一点处的切线 2 l，使 12 ll，则实数a的取值范围是 三三.解答题： 共解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算
8、步骤 第分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 sin sinsinsin abcB cABC （1）求角A的大小； （2）若ABC的外接圆半径为 2，求ABC的面积S的最大值 18 （12 分）为调研高中生的作文水平在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理 科生人数之比为1:4，且成绩分布在0，60的范
9、围内，规定分数在 50 以上（含50)的作文 被评为“优秀作文” ，按文理科用分层抽样的方法抽取 400 人的成绩作为样本，得到成绩的 第 4 页（共 20 页） 频率分布直方图，如图所示其中a，b，c构成以 2 为公比的等比数列 （1）求a，b，c的值； （2） 填写下面22列联表， 能否在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下认为 “获得优秀作文” 与“学生的文理科”有关“？ 文科生 理科生 合计 获奖 6 不获奖 合计 400 （3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取 2 名学生，记“获 得优秀作文”的学生人数为X，求X的分布列及数学期望 附： 2 2 () ()
10、()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 2 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，90BAC，3ABAC， 1 4A A，过点 l A作平面ABC的垂线，垂足为线段BC的中点E，D是 11 BC的中点 （1）证明： ll ADAB； （2）求二面角 1 CABD的正弦值 第 5 页（共 20 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 .1(0) xy Cab
11、 ab 的离心率为 3 2 直线:10m xy 经过椭圆 C的上顶点，直线:10n x 交椭圆C于A、B两点，P是椭圆C上异于A、B的任意一 点，直线AP，BP分别交直线:40l x 于Q、R两点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：(OQ OR O为坐标原点）为定值 21 （12 分）已知函数( )() x f xeax aR （1）当2a 时，求函数( )f x的极值； （2）若 (1) 2()ln e xfx对任意的0x，)成立，求实数a的取值范围 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos (
12、sin x y 为参数） ， 直线l的参数方程为( xt t yt 为参数） （1）若以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系， 试求曲线C的极坐标方程； （2）求直线l被曲线C截得线段的长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知实数x、y、z满足24xyz （1）求 222 xyz的最小值； （2）若yxz，求xz的最大值 第 6 页（共 20 页） 2020 年河南省、河北省九师联盟高考数学模拟试卷（理科） （年河南省、河北省九师联盟高考数学模拟试卷（理科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本
13、题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）若全集 1 ,|1UR Mx x ，则( UM ) A |1x x B |01xx剟 C |0x x D |0x x 或1x 【解答】解： |0Mx x或1x ，UR， |01 UM xx剟 故选：B 2 （5 分）若1( 3 z i i i 为虚数单位） ，则复数z的共轭复数的模是( ) A2 2 B20 C2 5 D8 【解答】解：由1 3 z i i ，得(1)(3)42ziii， 22 | |4( 2)2
14、 5zz 故选：C 3 （5 分）在“新零售”模式的背景下，自由职业越来越流行，诸如淘宝店主、微商等等现 调研某行业自由职业者的工资收入情况，对该行业 10 个自由职业者人均年收入y（千元） 与平均每天的工作时间x（小时）进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且线性回 归方程为1260yx，若自由职业者平均每天工作的时间为 5 小时，估计该自由职业者年 收入为( ) A50 千元 B60 千元 C120 千元 D72 千元 【解答】解：由线性回归方程为1260yx， 取5x ，得12 560120y （千元） 估计该自由职业者年收入为 120 千元 故选：C 4 （5 分）函数 ()sin
15、 ( ) xx eex f x x 的部分图象大致是( ) 第 7 页（共 20 页） A B C D 【解答】解：函数的定义域为(，0)(0，)， ()sin()()sin ()( ) xxxx eexeex fxf x xx ， 故函数( )f x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD； 又( )0f，故排除B 故选：A 5 （5 分）2020 年东京夏季奥运会将设置4 100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比 赛的规则是：每个参赛国家派出 2 男 2 女共计 4 名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶 泳自由泳的接力顺序， 每种泳姿 100 米且由 1 名运动员完成， 且每名运动员都要出场
16、 若 中国队确定了备战该项目的 4 名运动员名单， 其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳， 男 运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳， 剩下的 2 名运动员四种泳姿都可以承担， 则中国队参赛的 安排共有( ) A144 种 B8 种 C24 种 D12 种 【解答】解：由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有 2 2 2A 种安排方法，其他两名运动员有 2 2 2A 种安排方法，共计224种方法， 若甲运动承担自由泳，则乙运动员由 2 2 2A 种安排方法，其他两名运动员有 2 2 2A 种安排方 法，共计224种方法， 所以中国队共有448种不同的安排方法， 故选：B 第 8 页（共 20 页） 6 （5
17、 分） 算经十书是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，它们曾经是附唐时 代国子监算学科的教科书十部书的名称是： 周髀算经 九章算术 海岛算经 五曹算经 孙子算经 夏侯阳算经 张丘建算经 五经算术 缉古算经 缀术 小明计划从这 十部书中随机选择两部书购买则选择到九章算术的概率是( ) A 1 2 B 3 10 C 2 5 D 1 5 【解答】解： 算经十书是指汉唐一千多年间的十部著名的数学著作， 它们曾经是附唐时代国子监算学科的教科书十部书的名称是： 周髀算经 九章算术 海岛算经 五曹算经 孙子算经 夏侯阳算经 张丘建算经 五经算术 缉古算经 缀术 小明计划从这十部书中随机选择两部书购买 基
18、本事件总数 2 10 45nC， 选择到九章算术包含的基本事件个数 11 19 9mC C， 则选择到九章算术的概率是 91 455 m p n 故选：D 7 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出k的值是( ) A8 B10 C12 D14 【解答】解：模拟程序的运行，可得 0k ，0s 满足条件38s ，执行循环体，0s ，2k 满足条件38s ，执行循环体，4s ，4k 满足条件38s ，执行循环体，12s ，6k 满足条件38s ，执行循环体，24s ，8k 第 9 页（共 20 页） 满足条件38s ，执行循环体，40s ，10k 此时，不满足条件38s ，退出循环，输出k的值为
19、 10 故选：B 8（5分） 已知菱形ABCD边长为2，120BAD， 点E，F分别在边BC，DC上，3BCBE， 2DCDF，则(AE AF ) A2 B2 C1 D一 1 【解答】 解： 如图， 1 3 AEABBEABBC， 11 22 AFADDFADDCBCAB， 所以 2211111111 () ()22cos1204422cos1201 32236236 AE AFABBCBCABAB BCABBCBC AB ， 故选：C 9 （5 分）将函数( )2sin(3)(0)f xx图象向右平移 8 个单位长度后，得到函数的 图象关于直线 3 x 对称，则函数( )f x在, 8 8
20、上的值域是( ) A 1，2 B3，2 C 2 ,1 2 D2,2 【解答】解：把函数( )2sin(3)(0)f xx图象向右平移 8 个单位长度后， 可得 3 2sin(3) 8 yx 的图象； 再根据得到函数的图象关于直线 8 x 对称， 3 3 882 k ，kZ， 2 ，函数( )2sin(3)2cos3f xxx 在, 8 8 上， 3 3 8 x 3 8 ， 3 cos3cos 8 x ，1， 故( )2f x 3 cos32cos 8 x ，2，即( )f x的值域是 3 2cos 8 ，2， 故选：D 第 10 页（共 20 页） 10 （5 分）已知三棱锥DABC的体积为
21、2，ABC是边长为 2 的等边三角形，且三棱锥 DABC的外接球的球心O恰好是CD的中点，则球O的表面积为( ) A 52 3 B 40 3 C 25 3 D24 【解答】解：设D点到平面ABC的距离为h，因为O是CD中点， 所以O到平面ABC的距离为 2 h ， 三棱锥DABC的体积 11 1 22sin602 33 2 ABC VShh ，解得2h 3， 作OO 平面ABC，垂足 O 为ABC的外心，所以 2 3 3 CO ，且3 2 h OO ， 所以在RtCO O中， 22 13 3 OCCOO O ，此为球的半径， 2 1352 44 33 SR 故选：A 11 （5 分） 已知双曲
22、线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别是 1 F， 2 F， 若以线段 12 FF 为直径的圆交双曲线C于点P，且 1221 2 PFFPF F ，则双曲线C的离心率为( ) A3 B2 C31 D 5 2 【解答】解：设 12 | 2FFc， 由于P是以 12 FF为直径的圆与该双曲线的一个交点 则 12 FF P是直角三角形， 12 90FPF， 由 1221 2PFFPF F ，则 12 60PFF， 第 11 页（共 20 页） 2 |3PFc， 1 |PFc， 21 |32PFPFcca， 2 31 31 c e a 故选：C 12 （5 分）已知定义
23、域为R的函数( )f x满足( )2(2)f xf x，当0x，2)时， 2 3 | 2 1,0,1) ( ) 1 ( ),1,2) 2 x xxx f x x ，设( )f x在22n，2 n上的最大值为() n a nZ，则数列 n a的 前n项和 n S的值为( ) A 1 55( ) 2 n B 51 5( ) 22 n C 1 1 5( ) 2 n D 1 51 5( ) 22 n 【解答】解：当0x，2)时， 2 3 | 2 1,0,1) ( ) 1 ( ),1,2) 2 x xxx f x x ， 可得01x 时， 22 15 ( )1() 24 f xxxx ，最大值为 15
24、( ) 24 f， 12x 时， 3 | 1 ( )( ) 2 x x f x ，最大值为 3 ( )1 2 f， 02x时，( )f x的最大值为 5 4 当24x 时， 1 ( )(2) 2 f xf x的最大值为 5 8 ； 当48x 时， 1 ( )(2) 2 f xf x的最大值为 5 16 ， 数列 n a是首项为 5 4 ，公比为 1 2 的等比数列， 前n项和 1 51 (1) 51 42 5( ) 1 22 1 2 n n n S 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知随机变量X满足(
25、, )XN ，且(22 )0.9544PXa，若随机 变量(2019,4)XN，则(2023)P X 的值大约是 0.0228 第 12 页（共 20 页） 【解答】解：随机变量(2019,4)XN，则(22 )0.9544PXa， 即：(20152023)0.9544PX， 则： 1(20152023) (2023)0.0228 2 PX P X 故答案为：0.0228 14 （5 分）已知 n a是公差不为零的等差数列， n S为其前n项和若 1 S， 2 S， 4 S成等比数 列，且 5 9a ，则数列 n a的前n项和为 2 n 【解答】解：设等差数列 n a的公差为(0)d d ，则
26、 11 Sa， 21 2Sad， 41 46Sad， 由 1 S， 2 S， 4 S成等比数列，得 2 111 (2)(46 )adaad， 又 51 49aad， 联立解得 1 1 2 a d ， 数列 n a的前n项和为 2 1 (1)(1) 2 22 n n ndn n Snann 故答案为： 2 n 15 （5 分）已知F为抛物线 2 :8C xy的焦点，P为C上一点，( 4,3)M ，则PMF周长 的最小值是 517 【解答】解：如图，F为抛物线 2 :8C xy的焦点，P为C上一点，( 4,3)M ， 抛物线 2 :8C xy的焦点为(0,2)F，准线方程为2y 过M作准线的垂线，
27、交抛物线于P，则PMF的周长最小 最小值为 22 5( 4)(32)517 故答案为：517 第 13 页（共 20 页） 16 （5 分）若对于曲线2 x yex上的任意一点处的切线 l l，总存在曲线cosyaxx上的 一点处的切线 2 l，使 12 ll，则实数a的取值范围是 1 1, 2 【解答】解：由2 x yex，得2 x ye ， 2 x yex上的任意一点 1 (x， 1) y处的切线 1 l的斜率 1 1 2 x ke， 同 理 可 得 曲 线c o sya xx上 的 任 意 一 点 2 (x， 2) y处 的 切 线 2 l的 斜 率 22 sin1,1kaxaa， 12
28、 ll， 12 1k k ， 1 2 1 sin 2 x ax e ， 1 11 (,0) 22 x e ， 1 (,0)1,1 2 aa， 1 1 2 1 0 a a ， 1 1 2 a 剟， 实数a的取值范围为 1 1, 2 故答案为： 1 1, 2 三三.解答题： 共解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17
29、 （12 分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 sin sinsinsin abcB cABC （1）求角A的大小； （2）若ABC的外接圆半径为 2，求ABC的面积S的最大值 第 14 页（共 20 页） 【解答】解： （1）由正弦定理可得， sin sinsinsin abcBb cABCabc ， 整理可得， 222 bcabc， 由余弦定理可得， 1 cos 2 A ， 故 1 3 A， （2）由正弦定理可得，4 1 sin 3 a ，故2 3a ， 由 222 bcabc，可得 22 122bcbcbc， 解可得，12bc，当且仅当bc时取等号， 此时 113
30、 sin123 3 222 SbcA即面积的最大值3 3 18 （12 分）为调研高中生的作文水平在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理 科生人数之比为1:4，且成绩分布在0，60的范围内，规定分数在 50 以上（含50)的作文 被评为“优秀作文” ，按文理科用分层抽样的方法抽取 400 人的成绩作为样本，得到成绩的 频率分布直方图，如图所示其中a，b，c构成以 2 为公比的等比数列 （1）求a，b，c的值； （2） 填写下面22列联表， 能否在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下认为 “获得优秀作文” 与“学生的文理科”有关“？ 文科生 理科生 合计 获奖 6 14 不获奖 合计 4
31、00 （3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取 2 名学生，记“获 得优秀作文”的学生人数为X，求X的分布列及数学期望 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 2 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第 15 页（共 20 页） 【解答】 解：（1） 由频率分布直方图可知，10 ()1 10 (0.0180.0220.025)0.35abc ， 因为a，b，c构成以 2
32、 为公比的等比数列，所以240.035aaa，解得0.005a ， 所以20.01ba，40.02ca 故0.005a ，0.01b ，0.02c （2）获奖的人数为0.005 1040020人， 因为参考的文科生与理科生人数之比为1:4， 所以 400 人中文科生的数量为 1 40080 5 ， 理 科生的数量为40080320 由表可知，获奖的文科生有 6 人，所以获奖的理科生有20614人，不获奖的文科生有 80674人 于是可以得到22列联表如下： 文科生 理科生 合计 获奖 6 14 20 不获奖 74 306 380 合计 80 320 400 2 2 400(63061474)
33、1.326.635 20380 80320 K 所以在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科” 有关“ （3）由（2）可知，获奖的概率为 201 40020 ， X的可能取值为 0，1，2， 002 2 119361 (0)() () 2020400 P XC， 111 2 1193819 (1)() () 2020400200 P XC， 第 16 页（共 20 页） 220 2 1191 (2)() () 2020400 P XC， 分布列如下： X 0 1 2 P 361 400 19 200 1 400 数学期望为 3611911 ()012
34、40020040010 E X 19 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，90BAC，3ABAC， 1 4A A，过点 l A作平面ABC的垂线，垂足为线段BC的中点E，D是 11 BC的中点 （1）证明： ll ADAB； （2）求二面角 1 CABD的正弦值 【解答】解： （1）ABAC，E为BC的中点， 故AEBC，又?A E 平面ABC， 所以AE，?A E，BC两两垂直， 以AE，BC，?A E分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由3ABAC，90BAC，?4A A ， 得3 2BC ， 13 2 22 AEBEBC， 22 1 3 246 4() 22 AE ，
35、 所以 1 46 (0,0,) 2 A， 3 2 (0,0) 2 B， 3 246 (,0,) 22 D ， 所以 1 3 2 (,0,0) 2 AD ， 1 3 246 (0,) 22 AB ， 由 11 3 23 2 0000 22 AD AB ， 所以 1l ADAB； （2）设平面?A BD的一个法向量为( , , )mx y z， 第 17 页（共 20 页） 由 1 1 3 2 0 2 3 246 0 22 m ADx m AByz ，得(0, 46,3 2)m ， 平面?A BC的法向量为(1,0,0)n ， 由 222 0 cos,0 0( 46)(3 2) 1 m n ， 故
36、二面角?CA BD的最小值为 1 20 （12 分）已知椭圆 22 22 .1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 直线:10m xy 经过椭圆 C的上顶点，直线:10n x 交椭圆C于A、B两点，P是椭圆C上异于A、B的任意一 点，直线AP，BP分别交直线:40l x 于Q、R两点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：(OQ OR O为坐标原点）为定值 【解答】解： （1）依题意，椭圆焦点在x轴且1b ，即 22 1ac， 椭圆的离心率 3 2 c e a ，因此2a ，3c ， 从而椭圆方程为： 2 2 1 4 x y； （2）证明：设 0 (P x， 0) y，( 1, )
37、At，( 1,)Bt ，则有 22 00 440xy， 第 18 页（共 20 页） 直线AP的方程为 0 0 (1) 1 ty ytx x ，令4x ，整理得 00 0 (4)3 1 x ty y x ， 同理可得点R纵坐标 00 0 3(4) 1 yx t y x ， 所以点Q，R的纵坐标之积 222 000000 2 000 (4)33(4)9(4) 11(1) QR x tyyx tyxt yy xxx ， 又因为 22 00 1 1 4 yx ， 2 3 4 t ， 所以 22 2 00 0 22 00 13 9(1)(4) 3(1) 44 3 (1)(1) QR xx x yy x
38、x ， 所以( 4,) ( 4,)1613 QRQR OQ ORyyyy ， 所以(OQ OR O为坐标原点）为定值 21 （12 分）已知函数( )() x f xeax aR （1）当2a 时，求函数( )f x的极值； （2）若 (1) 2()ln e xfx对任意的0x，)成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）当2a 时，( )2 x f xex ，则( )2 x fxe ， 令( )0fx，解得 1 2 xln， 分析知，当 1 2 xln时，( )0fx，当 1 2 xln时，( )0fx， 函数( )f x在 1 (,) 2 ln单调递减，在 1 (,) 2 ln单调递增
39、， 当2a 时，( )f x的极小值为 1 ()22 2 2 f lnln，不存在极大值； （2）( ) x f xeax ， () x fxeax， 又 (1) 2()ln e xfx对任意的0x，)成立， (1)1 0 x eaxln x 对任意的0x，)成立， 引入函数( )(1)1(0) x G xeaxln xx，则 1 ( ) 1 x G xea x ， 令( )0G x，即 1 0 1 x ea x ， 引入函数 1 ( )(0) 1 x p xex x ，则 2 1 ( ) (1) x p xe x ， 第 19 页（共 20 页） 当0x时，( ) 0p x， 函数( )p
40、x在0，)上单调递增， 当0x 时，( )(0)2 min p xp， 讨论： 当2a ，即2a时，( ) 0G x，此时函数( )G x在0，)上单调递增， 0 ( )(0)0(01)10G xGealn ，满足题意； 当2a，即2a 时，存在唯一实数 0 x，使 0 ()0G x，且分析可知，当0x， 0 x时， ( ) 0G x，当 0 (xx，)时，( )0G x， 又(0)0G，故当 0 (0,)xx时，( )0G x ，不满足题意； 综上，所求实数a的取值范围是 2，) 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参
41、数方程为 2cos ( sin x y 为参数） ， 直线l的参数方程为( xt t yt 为参数） （1）若以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系， 试求曲线C的极坐标方程； （2）求直线l被曲线C截得线段的长 【解答】解： （1）曲线C的参数方程为 2cos ( sin x y 为参数） ，转换为直角坐标方程为 2 2 1 4 x y， 转换为极坐标方程为： 2 2 13sin （2）直线l的参数方程为( xt t yt 为参数） 转换为直角坐标式为yx， 代入 2 2 1 4 x y，得到： 2 2 1 4 x y yx ，解得： 2 5 5 2 5 5
42、x y 或 2 5 5 2 5 5 x y ， 第 20 页（共 20 页） 所以直线l被曲线所截得的线段长为 22 2 52 52 52 54 10 ()() 55555 d 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知实数x、y、z满足24xyz （1）求 222 xyz的最小值； （2）若yxz，求xz的最大值 【解答】解：由柯西不等式可得 2222222 (2)1( 2)1 ()xyzxyz ， 222 8 3 xyz， 当且仅当 121 xyz 且24xyz即 2 3 x ， 4 3 y ， 2 3 z 时取等号， 故 222 xyz的最小值 8 3 ， （2）由yxz及24xyz可得4xz ， 因为 22 2xzxz， 2 ()4xzxz，即4xz，当且仅当2xz时取等号，此时xz取得最大值 4
