2020年广东省肇庆市高考数学二模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年广东省肇庆市高考数学二模试卷（理科）年广东省肇庆市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |10Ax x ， 2 |560Bx xx，则(AB ) A(,1) B( 6,1) C( 1,1) D(,6) 2 （5 分）设复数z满足|1| 1z ，则z在复平面内对应的点为( , )x y，则( ) A 22 (1)1xy B 22 (1)1

2、xy C 22 (1)1xy D 22 (1)1xy 3 （5 分）下列函数为奇函数的是( ) Asin|yx B|sin|yx Ccosyx D xx yee 4 （5 分）袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球从袋中 任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为( ) A 5 21 B 10 21 C 11 21 D1 5 （5 分）等差数列x，33x ，66x ，的第四项等于( ) A0 B9 C12 D18 6 （5 分） 25 3 2 ()x x 展开式中的常数项为( ) A80 B80 C40 D40 7 （5 分）已知

3、l，m是两条不同的直线，m 平面，则“lm”是“/ /l”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，yR，那么输出的S的最大值为( ) 第 2 页（共 20 页） A0 B1 C2 D3 9 （5 分）已知e为自然对数的底数，设函数( )(1)(1) (1,2) xk f xexk，则( ) A当1k 时，( )f x在1x 处取得极小值 B当1k 时，( )f x在1x 处取得极大值 C当2k 时，( )f x在1x 处取得极小值 D当2k 时，( )f x在1x 处取得极大值 10 （5 分）抛物

4、线方程为 2 4xy，动点P的坐标为(1, ) t，若过P点可以作直线与抛物线交 于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率为( ) A 1 2 B 1 2 C2 D2 11 （5 分）已知函数( )f x为定义域为R的偶函数， 且满足(1)(1)fxfx， 当 1x ，0 时( )f xx ，则函数 4 ( )( ) 12 x F xf x x 在区间 9，10上零点的个数为( ) A10 B12 C18 D20 12 （5 分）已知函数( )sin() (0) 4 f xx ，则下述结论中错误的是( ) A若( )f x在0，2 有且仅有 4 个零点，则( )f x在0，2 有

5、且仅有 2 个极小值点 B若( )f x在0，2 有且仅有 4 个零点，则( )f x在 2 (0,) 15 上单调递增 第 3 页（共 20 页） C若( )f x在0，2 有且仅有 4 个零点，则的范围是 15 19 ,) 88 D若( )f x图象关于 4 x 对称，且在 5 (,) 18 36 单调，则的最大值为 9 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量(1,2),(2, 2),(1, )abc，若(2)cab，则 14 （5 分）记 n S为等比数列 n a的前n项和，若 3 1a ， 3 3S ，

6、则 1 a 15 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线与圆 22 430xyx相切，则该 双曲线的离心率为 16（5 分） 在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面是边长为 4 的菱形，60ABC， 1 4AA ， 过点B与直线 1 AC垂直的平面交直线 1 AA于点M，则三棱锥AMBD的外接球的表面积 为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （ 12 分 ） 已 知 在ABC中 ， 角A、B、C对 应 的 边 分 别 为a、b、c， sinsinsinsinbBaCaAcC

7、 （1）求角B； （2）若1c ，ABC的面积为 3 4 ，求C 18（12 分） 某公司新上一条生产线， 为保证新的生产线正常工作， 需对该生产线进行检测 现 从该生产线上随机抽取 100 件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14， 标准差2，绘制如图所示的频率分布直方图以频率值作为概率估计值 （1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判(P表 示对应事件的概率）: () 0.6826PX (22 ) 0.9544PX (33 ) 0.9974PX 评判规则为： 若至少满足以上两个不等式， 则生产状况为优， 无需检修； 否则需检修生产线， 试判断该生

8、产线是否需要检修； （2）将数据不在(2 ,2 ) 内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取 2 件，次品数记为Y，求Y的分布列与数学期望EY 第 4 页（共 20 页） 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD 底面ABCD， 且1PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F （1）证明：/ /PA平面EDB； （2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 3 ，求PA与面ABCD所成角的正弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab 的短半轴长为2，离心率为 2 2 （1）求椭圆的方程； （2）设A，B是椭圆上

9、关于坐标原点对称的两点，且点A在第一象限，AEx轴，垂足 为E，连接BE并延长交椭圆于点D，证明：ABD是直角三角形 21 （12 分）设函数 2 ( )22(1)()f xxaxalnx aR （1）讨论( )f x的单调区间； （2）证明：若13a ，对任意的 1 x， 2 (0,)x ， 12 xx，有 12 12 ( )() 2 f xf x xx 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用作答时，请用 第 5 页（共 20 页） 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡

10、上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt ，(t为参数， 0)在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 2 4 13cos （1）求l的普通方程和C的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点的直角坐标为(1,2)，求直线l的斜率 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 1 ( ) |f xxax a ， （实数0)a （1）当1a ，求不等式( )3f x 的解集； （2）求证：( ) 2f x 第 6 页（共

11、20 页） 2020 年广东省肇庆市高考数学二模试卷（理科）年广东省肇庆市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |10Ax x ， 2 |560Bx xx，则(AB ) A(,1) B( 6,1) C( 1,1) D(,6) 【解答】解：集合 |10 |1Ax xx x ， 2 |560 | 16Bx xxxx ， 6(,6)ABx x 故

12、选：D 2 （5 分）设复数z满足|1| 1z ，则z在复平面内对应的点为( , )x y，则( ) A 22 (1)1xy B 22 (1)1xy C 22 (1)1xy D 22 (1)1xy 【解答】解：设( ,)zxyi x yR， 由|1| 1z ，得|(1)| 1xyi 22 (1)1xy 故选：B 3 （5 分）下列函数为奇函数的是( ) Asin|yx B|sin|yx Ccosyx D xx yee 【解答】解：由奇偶函数的定义可知，选项ABC显然是偶函数，选项D为奇函数 故选：D 4 （5 分）袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球从袋中

13、 任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为( ) A 5 21 B 10 21 C 11 21 D1 【解答】解：这是一个古典概型，从 15 个球中任取 2 个球的取法有 2 15 105； 基本事件总数为 105； 设“所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球”为事件A； 第 7 页（共 20 页） 则A包含的基本事件个数为 11 105 50痧； P（A） 5010 10521 故选：B 5 （5 分）等差数列x，33x ，66x ，的第四项等于( ) A0 B9 C12 D18 【解答】解：等差数列: n ax，33x ，66x ， 2(33)66xx

14、x， 解得0x 此数列的首项 1 0a ，公差3d 4 03 (41)9a 故选：B 6 （5 分） 25 3 2 ()x x 展开式中的常数项为( ) A80 B80 C40 D40 【解答】解：设 25 3 2 ()x x 展开式中的通项为 1r T ， 则 2(5)310 5 155 ( 2)( 2) rrrrrrr r TCxxCx ， 令1050r得2r ， 25 3 2 ()x x 展开式中的常数项为 22 5 ( 2)4 1040C 故选：C 7 （5 分）已知l，m是两条不同的直线，m 平面，则“lm”是“/ /l”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件

15、D既不充分也不必要条件 【解答】解：若已知l，m是两条不同的直线，m 平面，则“lm” ，当l在平面内 时，推不出“/ /l” ， 若已知l，m是两条不同的直线， “/ /l” ，能推出m 平面，则“lm” ， 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 l，m是两条不同的直线，m 平面，则“lm”是“/ /l”的必要而不充分条件， 故选：B 第 8 页（共 20 页） 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，yR，那么输出的S的最大值为( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域 0 0 1 x y xy 内，目标还是2Sxy的最 大值， 画出可

16、行域如图： 当 1 0 x y 时，2Sxy的值最大，且最大值为 2 故选：C 第 9 页（共 20 页） 9 （5 分）已知e为自然对数的底数，设函数( )(1)(1) (1,2) xk f xexk，则( ) A当1k 时，( )f x在1x 处取得极小值 B当1k 时，( )f x在1x 处取得极大值 C当2k 时，( )f x在1x 处取得极小值 D当2k 时，( )f x在1x 处取得极大值 【解答】解：当1k 时，函数( )(1)(1) x f xex 求导函数可得( )(1)(1)(1) xxx fxexexe， f （1）10e ， f （2） 2 210e ， 则( )f x

17、在在1x 处与在2x 处均取不到极值， 当2k 时，函数 2 ( )(1)(1) x f xex 求导函数可得 2 ( )(1)2(1)(1)(1)(2) xxxx fxexexxxee， 当1x ，( )0fx，且当1x 时，( )0fx，当 0 1xx时 0 (x为极大值点） ，( )0fx， 故函数( )f x在(1,)上是增函数； 在 0 (x，1)上是减函数，从而函数( )f x在1x 取得极小值对照选项 故选：C 10 （5 分）抛物线方程为 2 4xy，动点P的坐标为(1, ) t，若过P点可以作直线与抛物线交 于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率为( ) A

18、1 2 B 1 2 C2 D2 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，两点代入抛物线的方程： 2 11 2 22 4 4 xy xy ，两式相减可 第 10 页（共 20 页） 得 1212 12 4 yyxx xx ， 而由题意可得 12 2 12xx ，所以直线的斜率 1212 12 21 442 yyxx k xx ， 故选：A 11 （5 分）已知函数( )f x为定义域为R的偶函数， 且满足(1)(1)fxfx， 当 1x ，0 时( )f xx ，则函数 4 ( )( ) 12 x F xf x x 在区间 9，10上零点的个数为( ) A10 B1

19、2 C18 D20 【解答】解：条件等价于函数( )f x与 4 ( ) 12 x g x x 图象在 9，10上交点的个数， 因为(1)(1)fxfx，所以函数( )f x图象关于1x 对称， 又因为( )f x为偶函数且当 1x ，0时( )f xx ，所以当0x，1时( )f xx， 4419 ( ) 1221242 xx g x xxx ， 作出函数( )f x与( )g x的图象如图： 由图可知，共 10 个交点， 故选：A 12 （5 分）已知函数( )sin() (0) 4 f xx ，则下述结论中错误的是( ) A若( )f x在0，2 有且仅有 4 个零点，则( )f x在0

20、，2 有且仅有 2 个极小值点 B若( )f x在0，2 有且仅有 4 个零点，则( )f x在 2 (0,) 15 上单调递增 C若( )f x在0，2 有且仅有 4 个零点，则的范围是 15 19 ,) 88 D若( )f x图象关于 4 x 对称，且在 5 (,) 18 36 单调，则的最大值为 9 第 11 页（共 20 页） 【解答】解：0，2 ，2 444 x 剟 类比函数sinyx可得，要使( )f x在0，2 有且仅有 4 个零点， 必有425 4 ， 所以15 19 88 所以选项C正确； 此时，( )f x在第 1 个零点与第 2 个零点之间有一个 极小值点，在第 3 个零

21、点与第 4 个零点之间有一个 极小值点，故( )f x在0，2 有且仅有 2 个极小值点，故选项A正确； 2 0 15 x， 2 44154 x ； 1519 88 故取2，此时 31 4460 x 时函数不是单调函数，所以选项B错误； ( )f x图象关于 4 x 对称，且在 5 (,) 18 36 单调， , 442 41.012 521 36182 kkZ k 11时， 11 4 k，可得( )sin(11) 44 f xx 在 5 (,) 18 36 不单调， 9时， 9 4 k， 4 ，( )sin(9) 4 f xx 在 5 (,) 18 36 单调， 故的最大值为 9故选项D正确

22、 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量(1,2),(2, 2),(1, )abc，若(2)cab，则 2 【解答】解：根据题意，(1,2)a ，(2, 2)b ，则2(4,2)ab， 若(2)cab，则(2)4 120cab ， 解可得：2 ； 故答案为：2 14 （5 分）记 n S为等比数列 n a的前n项和，若 3 1a ， 3 3S ，则 1 a 1或4 【解答】解：因为 3 1a ， 3 3S ， 第 12 页（共 20 页） 1q 时，显然满足，此时 1 1a ， 1q 时， 2 1 3

23、 1 1 (1) 3 1 a q aq q ，整理可得， 2 210qq ， 解可得，1q （舍)或 1 2 q ， 1 4a ， 故答案为：1 或4 15 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线与圆 22 430xyx相切，则该 双曲线的离心率为 2 3 3 【解答】解：化圆 22 430xyx为 22 (2)1xy，则圆心坐标为(2,0)，半径为 1 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 b yx a ，即0bxay 由 22 |2 | 1 b ab ，得2bc，即 222 4()cac， 解得 2 3 3 c e a

24、故答案为： 2 3 3 16（5 分） 在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面是边长为 4 的菱形，60ABC， 1 4AA ， 过点B与直线 1 AC垂直的平面交直线 1 AA于点M，则三棱锥AMBD的外接球的表面积为 68 【解答】解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系 (0O，0，0)，(2 3B，0，0)，( 2 3D ，0，0)，(0A，2，0)， 1(0 C，2，4)， 设(0M，2，) t，( 2 3BM ，2，) t， 1 (0AC ，4，4)， 1 BMAC， 1 840BM ACt ，解得2t | 2AM CBCACD，ABD的外接圆的圆心为点C， 则三棱锥

25、AMBD的外接球的球心G在 直线 1 CC上 线段AM的垂直平分面与 1 CC的交点为球心(0G，2，1) 22 |1417RGM 三棱锥AMBD的外接球的表面积 2 468R 故答案为：68 第 13 页（共 20 页） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （ 12 分 ） 已 知 在ABC中 ， 角A、B、C对 应 的 边 分 别 为a、b、c， sinsinsinsinbBaCaAcC （1）求角B； （2）若1c ，ABC的面积为 3 4 ，求C 【解答】解： （1）由sinsinsinsinbBaCaAcC及正弦

26、定理 可得 222 bacac， 由余弦定理可得 22222 1 cos 222 acbbacb B acac ， 又因为(0, )B， 所以 3 B （2）因为 1133 sin 2224 ABC SacBa ， 所以1a 又因为1, 3 acB ， 所以ABC是等边三角形， 所以 3 C 18（12 分） 某公司新上一条生产线， 为保证新的生产线正常工作， 需对该生产线进行检测 现 从该生产线上随机抽取 100 件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14， 标准差2，绘制如图所示的频率分布直方图以频率值作为概率估计值 （1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以

27、下不等式评判(P表 示对应事件的概率）: 第 14 页（共 20 页） () 0.6826PX (22 ) 0.9544PX (33 ) 0.9974PX 评判规则为： 若至少满足以上两个不等式， 则生产状况为优， 无需检修； 否则需检修生产线， 试判断该生产线是否需要检修； （2）将数据不在(2 ,2 ) 内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取 2 件，次品数记为Y，求Y的分布列与数学期望EY 【解答】解： （1）由频率分布直方图可得：(1216)(0.290.11)20.8PX， (1018)(0.040.290.110.03)20.94PX， (820)(0.0050.040.

28、290.110.030.015)20.98PX， 符合，均不符合，故该生产线需要检修 （2）100 件产品中，次品个数为100(10.94)6，正品个数为 94， 故从生产线上任意抽取一件产品，该产品为合格品的概率为 0.94 故抽取 2 件产品，次品个数Y的取值可能为 0，1，2， 其中 2 (0)0.940.8836P Y ， 1 2 (1)0.94 0.060.1128P YC， 2 (2)0.060.0036P Y Y的分布列为： Y 0 1 2 P 0.8836 0.1128 0.0036 Y的数学期望为( )0 0.88361 0.11282 0.00360.12E Y 19 （1

29、2 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD 底面ABCD， 第 15 页（共 20 页） 且1PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F （1）证明：/ /PA平面EDB； （2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 3 ，求PA与面ABCD所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：连接AC交BD于G，则G是AC的中点，连接EG， 则EG是PAC的中位线，所以/ /PAEG， 又因为PA面EDB，EG 面EDB， 所以/ /PA平面EDB； （2）法一：如图以D为原点，,DA DC DP方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直 角坐标系， 设DAa， 则(A

30、 a， 0，0)，(B a， 1，0)，(0C， 1，0)，(0P， 0，1)， 1 1 (0, ) 2 2 E，( ,1, 1)PBa， 设(, ,)PFtPBat tt，则(F at，t，1) t， 1 1 (,) 2 2 EFat tt， 又EFPB，即0EF PB ，解得 2 1 2 t a 设( , , )nx y z是平面DEF的一个法向量，则 0 0 n DE n DF ，即 0 22 (1)0 yz atxtyt z ，方程的 一组解为 21 1 1 t x at y z ， 显然DP是面ABCD的一个法向量，依题意有 2 11 cos 32|21 ()1 1 DP n DP

31、nt at ，得 2 21 ()2 t at ，结合式得2a ， 第 16 页（共 20 页） 因为PD 底面ABCD， 所以PAD是PA与面ABCD所成的角， 3 sin 3 PD PAD PA 20 （12 分）已知椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab 的短半轴长为2，离心率为 2 2 （1）求椭圆的方程； （2）设A，B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A在第一象限，AEx轴，垂足 为E，连接BE并延长交椭圆于点D，证明：ABD是直角三角形 【解答】解： （1）依题意可得 2 2, 2 c b a ，所以 2222 222 21 2 caba aaa ， 解得2a ， 所以椭

32、圆的方程是 22 1 42 xy ； （2）法一：设 1 (A x， 1) y，( D D x，) D y，则 1 (Bx， 1) y， 1 (E x，0)， 直线BE的方程为 1 1 1 () 2 y yxx x ，与 22 1 42 xy 联立得 222 2 111 2 11 (1)40 22 yyy xx xx ， 因为 D x， 1 x是方程的两个解，所以 2 1 2 21 11 222 111 2 1 4 8 2 () 2 (1) 2 D y y xxx yxy x ， 又因为 22 11 1 42 xy ， 所以 2 1 1 2 1 8 38 D y xx y ，代入直线方程得 3

33、 1 2 1 38 D y y y ， 3 1 1 22 111 22 111 11 2 1 3824 1 8 38 ABAD y y yyy kk yxx xx y ， 所以ABAD，即ABD是直角三角形； （2）法二：设 1 (B x， 1) y， 2 (D x， 2) y，则 1 (Ax， 1) y， 1 (Ex，0) 第 17 页（共 20 页） 设直线BD的方程为ykxm，与 22 1 42 xy 联立得 222 (12)4240kxkmxm， 12 2 4 12 km xx k ， 2121 212112 ()()21 2 AD yykxmkxmm kk xxxxxxk ， 1 1

34、 2 BE y kk x ， 1 1 2 AB y kk x ， 所以1 ABAD kk ， 所以ABAD，即ABD是直角三角形； （2）法三：设 1 (B x， 1) y， 2 (D x， 2) y，则 1 (Ax， 1) y， 1 (Ex，0) 设 1 1 2 BDBE y kkk x ，则 1 1 2 AB y kk x ， 22 212121 22 212121 ADBD yyyyyy kk xxxxxx ， 因 为 1 (B x， 1) y， 2 (D x， 2) y在 椭 圆 上 ， 满 足 椭 圆 方 程 ， 所 以 2222 2121 2222 2121 1 (42)(42)2

35、 ADBD yyyy kk xxyy ， 所以 1 2 AD k k ， 所以1 ABAD kk ， 所以ABAD，即ABD是直角三角形 21 （12 分）设函数 2 ( )22(1)()f xxaxalnx aR （1）讨论( )f x的单调区间； （2）证明：若13a ，对任意的 1 x， 2 (0,)x ， 12 xx，有 12 12 ( )() 2 f xf x xx 【解答】解： （1）函数的定义域为(0,)， 2 2(1)1 ( )222 axaxa fxxa xx ， 令 2 ( )1g xxaxa， 当 2 4(1) 0aa ，即22 222 2a剟时，( ) 0g x 恒成立

36、， 所以( )f x的单调增区间是(0,)，无减区间 当 2 4(1)0aa，即22 2a 或22 2a 时， 设( )g x的两个零点为 2 1 44 2 aaa x ， 2 2 44 2 aaa x ( ) i若22 2a ，因为 12 0xxa， 12 10x xa ，所以 1 x， 2 x都大于 0， 第 18 页（共 20 页） 所以当 1 (0,)xx时，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x单调递增； 当 1 (xx， 2) x时，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x单调递减； 当 2 (xx，)时，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x单调

37、递增 ( )ii若22 2a ， 12 0xxa， 当 12 1 0x xa 即122 2a时， 1 x， 2 x都不为正数， 所以当(0,)x时，( )0g x ， 即( )0fx，所以( )f x单调递增； 当 12 10x xa 即1a 时， 12 0xx，所以当 2 (0,)xx时，( )0g x ，即( )0fx，所 以( )f x单调递减； 当 2 (xx，)时，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x单调递增 综上所述， 当1a 时 ，( )f x的 单 调 递 减 区 间 为 2 44 (0,) 2 aaa ， 单 调 递 增 区 间 为 2 44 ,) 2 aaa

38、； 当122 2a剟时，( )f x的单调增区间是(0,)，无减区间 当22 2a 时，( )f x的单调递减区间为 22 4444 (,) 22 aaaaaa ，单调递增 区间为 2 44 (0,) 2 aaa ， 2 44 ,) 2 aaa （2）不妨设 21 0xx，要证明 12 12 ( )() 2 f xf x xx ，只需证明 1212 ()()22f xf xxx，只需 证明 1122 ()2()2f xxf xx， 令 2 ( )( )22(1)2(1)h xf xxxaxalnx， 则 2(1)(1) ( )22(1)42(1)21(21) aa h xxaxaaa xx 因

39、为13a ，所以012a，所以( )0h x，( )h x在(0,)是增函数， 所以当 21 0xx时， 21 ()()h xh x， 即 1122 ()2()2f xxf xx， 故命题得证 第 19 页（共 20 页） 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1cos 2sin xt

40、 yt ，(t为参数， 0)在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 2 4 13cos （1）求l的普通方程和C的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点的直角坐标为(1,2)，求直线l的斜率 【解答】解： （1）直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt ，(t为参数，0)转换为直角 坐标方程为2tan(1)yx 曲线C的极坐标方程为 2 4 13cos 转换为直角坐标方程为 22 416xy，整理得 22 1 416 xy （ 2 ） 把 直 线 的 参 数 方 程 1cos 2sin xt yt 代 入 22 416xy， 得 到 ： 2

41、2 4(1cos )(2sin )16tt， 整理得 22 (3cos1)(4sin8cos )80tt， 所以 12 2 (4sin8cos ) 3cos1 tt 由于曲线C截直线l所得线段的中点的直角坐标为(1,2)， 所以 12 2 (4sin8cos ) 0 3cos1 tt ， 即：4sin8cos0， 解得tan2k 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 1 ( ) |f xxax a ， （实数0)a （1）当1a ，求不等式( )3f x 的解集； （2）求证：( ) 2f x 【解答】解： （1）当1a 时，( ) |1|1|f xxx，因为( )3f x ， 第 20 页（共 20 页） 当1x时，可得113xx ， 3 2 x ； 当11x 时，可得113xx ，23不成立； 当1x时，可得113xx ， 3 2 x ； 综上所述，原不等式的解集为 33 | 22 x xx 或 （2） 111 ( ) |f xxaxaa aaa ， 当且仅当 1 ()() 0xa x a 时等号成立， 又 11 22aa aa ，当且仅当1a 的时等号成立， ( ) 2f x